Глава 7. Кручение прямого бруса

7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов

Кручение – это деформация прямого бруса внешними парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса (рис.7.1,а).

Моменты внешних пар называют скручивающими моментами и обозначают Mx.

Стержни, работающие на кручение, встречаются очень часто, особенно в машиностроении. Неподвижные стержни называются осями, вращающиеся – валами. Как правило, валы испытывают кручение в сочетании с изгибом (валы паровых и газовых турбин, компрессоров, двигателей внутреннего сгорания, редукторов, электродвигателей и прочих машин); реже кручение сочетается с растяжением (валы гидравлических турбин). В настоящей главе рассматривается кручение в чистом виде.

а б

Рис. 7.1

Во вращающихся валах скручивающий момент совершает работу на угле поворота вала (рис.7.1,б). Если – угловая скорость в радианах/сек, то работа скручивающего момента будет

A = Mx α = Mx ωt.

В то же время мощность N, передаваемая валом, это работа в единицу времени t:

A = Nt.

Отсюда получим выражение для скручивающего (внешнего) момента

. (7.1)

где N – кВт, Mx – кНм.

Очень часто угловую скорость задают в об/мин. Тогда

,

где n – об/мин. Формула (7.1) приобретает вид

, (7.2)

где N – кВт, Mx – в кгм; или

, (7.3)

где N – в лошадиных силах, Mx – в кгм.

В общем случае на брус могут действовать несколько скручивающих моментов, приложенных в различных сечениях и взаимно уравновешивающихся (рис.7.2).

При этом внутренним усилием будет крутящий момент M_кр, который представляет собой результирующий момент касательных напряжений в поперечном сечении бруса. Крутящий момент М_кр равен сумме внешних скручивающих моментов Mx, расположенных по одну сторону от сечения. Закон изменения крутящих моментов по длине бруса представляют в виде графика – эпюры крутящих моментов.

Рис. 7.2

Знак крутящего момента физического смысла не имеет, но о нём необходимо договориться для построения эпюры. Будем считать, что внешние скручивающие моменты, действующие на рассматриваемую отсечённую часть стержня по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения, вызывают в этом сечении положительный крутящий момент, а действующие против часовой стрелки – отрицательный. В соответствии с принятым правилом построена эпюра М_кр для бруса на рис. 7.2.

7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений

Задача о кручении прямого бруса статически неопределима: для определения напряжений необходимо рассмотреть статическую и геометрическую стороны. Сначала рассмотрим геометрическую картину деформации круглого стержня. Опыты показывают, что предварительно нанесённая на поверхность стержня сетка, состоящая из линий, параллельных оси, и линий, представляющих собой параллельные круги, после закручивания будет перекашиваться (рис.7.3): продольные линии сетки станут винтовыми, а расстояния между кругами останутся неизменными. Это видно особенно наглядно, если в качестве материала вала взять резину.

На основании указанных экспериментальных данных принимаются следующие допущения о деформации круглого стержня.

1. Плоские поперечные сечения остаются плоскими и после деформации.

2. Расстояние между поперечными сечениями не меняется.

3. Прямые радиусы, проведённые в сечении, остаются прямыми.

Эти особенности деформации круглого стержня получены из гипотезы плоских сечений. Деформация при кручении характеризуется углом закручивания .

γ – угол сдвига; φ – угол закручивания

Рис.7.3.

Искажение прямых углов сетки, нанесённой на поверхности, свидетельствует о том, что мы имеем дело с деформацией чистого сдвига. Следует отметить, что гипотезу плоских сечений мы уже использовали при выводе формулы для нормальных напряжений при чистом изгибе (см. п. 5.4).

Из стержня, показанного на рис. 7.3, вырежем участок длиной dx (рис. 7.4,а), а из него – сектор . Далее покажем деформацию этого сектора (рис. 7.4,б).

а б

Рис. 7.4

Угол закручивания участка стержня длиной dx составляет dφ. Следовательно, радиус o₁b после деформации займёт положение o₁b′, исходный элемент abcdoo₁ превратится в элемент ab′c′doo₁.

На поверхности стержня

bb′ = dx tg γ₀ = dx γ₀, bb′ = rtg φ = rd φ,

dx γ₀ = rdφ, .

В произвольном месте (на расстоянии  от оси)

kk′ = dx · γ, kk′ = ρdφ, dx γ = ρdφ

. (7.4)

Величина dφ/dx является относительным (погонным) углом закручивания, имеет размерность см^-1 и обычно обозначается через θ. Учитывая это, формулу (7.4) можно переписать так:

γ = θρ. (7.5)

Теперь рассмотрим физическую сторону задачи: элемент испытывает чистый сдвиг и поэтому в соответствии с формулой (6. 8) получим

τ = Gθρ. (7.6)

Формула (7.6) показывает, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону прямо пропорционально расстоянию ρ точек от центра сечения. Очевидно, максимальные напряжения будут у поверхности стержня при ρ = r. Нам пока неизвестен относительный угол закручивания θ. Для определения его необходимо рассмотреть статическую сторону задачи (рис. 7.5).

∑ M_x = 0: ;

;

- М_кр + GθJ_р = 0;

, (7.7)

где GJ_р – жёсткость стержня при кручении, J_р – полярный момент инерции.

Рис. 7.5

Зная выражение (7.7) относительного угла закручивания, можно написать формулу для определения взаимного угла закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии ℓ:

.

Если в пределах участка длиною ℓ крутящий момент не изменяется, то

. (7.8)

Для определения касательного напряжения τ в любой точке сечения надо в формулу (7.6) подставить выражение для  по формуле (7.7). Тогда

. (7.9)

График касательных напряжений в поперечном сечении представлен на рис.7.6,а. Максимальное напряжение у поверхности стержня будет

, (7.10)

где W_p – полярный момент сопротивления.

а б

Рис. 7.6

Из графика следует, что материал в окрестности центра стержня почти не работает (напряжения близки к нулю), поэтому его можно удалить. Получится трубчатое или кольцевое сечение (рис.7.6,б). Это сечение выгоднее круглого – при равной прочности имеет меньший вес.

Геометрические характеристики сплошного круглого сечения определяются по формулам (4.11) и (4.25)

,. (7.11)

Геометрические характеристики трубчатого сечения будут

, ,

(7.12)

где α – отношение внутреннего диаметра трубы к наружному,  = d_B/d_H.

В качестве примера решим задачу о соотношении площадей поперечного сечения равнопрочных трубчатого и сплошного валов, приняв α = 0,8. Прочность характеризуется моментом сопротивления, поэтому 0,2d³ = 0,2d³_H (1 – α⁴).

Выразим диаметр трубчатого вала через диаметр круглого

0,2d³ = 0,2d³_H (1 – (0,8)⁴) = 0,2d³_H ∙ 0,59

d_H = 1,195d

Теперь найдём площади поперечного сечения:

сплошной вал ;

трубчатый вал .

Таким образом мы получили, что трубчатый вал имеет на 20% больший диаметр, чем сплошной. При этом площадь поперечного сечения его на 50% меньше.

Поэтому валы, передающие большие крутящие моменты, делают трубчатыми. Например, валы гидротурбин, карданные валы транспортных машин. В случае небольших моментов затраты на изготовление трубчатого вала не окупаются экономией материала.