- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 1 Глава 1. Введение
- •1.1. Задачи и методы сопротивления материалов
- •1.2. Реальный объект и расчётная схема
- •1.2.1. Модели материала
- •1.3. Классификация сил (модели нагружения)
- •1.4. Напряжения
- •1.5. Общие принципы расчёта на прочность
- •Глава 2. Центральное растяжение – сжатие прямого бруса
- •2.1. Усилия и напряжения в поперечном сечении бруса
- •2.2. Условие прочности
- •2.3. Деформации. Закон Гука
- •2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса
- •2.5. Статически неопределимые системы
- •2.5.1. Расчёт на действие нагрузки
- •2.5.2. Температурные напряжения
- •2.5.3. Монтажные напряжения
- •2.6. Механические характеристики материалов
- •2.6.1. Испытание на растяжение малоуглеродистой (мягкой) стали
- •Характеристики прочности
- •Характеристики пластичности
- •Разгрузка и повторное нагружение
- •Диаграммы напряжений
- •2.6.2. Испытание на сжатие различных материалов
- •2.6.3. Определение твёрдости
- •2.6.4. Сравнение свойств различных материалов
- •2.7. Допускаемые напряжения
- •2.8. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 3. Напряжённое и деформированное
- •3.1. Компоненты напряжений. Виды напряжённых состояний
- •3.2. Линейное напряжённое состояние
- •3.3. Плоское напряжённое состояние
- •3.3.1. Прямая задача
- •3.3.2. Обратная задача
- •3.4. Объёмное напряжённое состояние. Общие понятия
- •3.5.Деформации при объёмном напряжённом состоянии.
- •3.5.1. Обобщённый закон Гука
- •3.5.2. Относительная объёмная деформация
- •3.6. Потенциальная энергия упругой деформации
- •3.7. Теории прочности
- •3.7.1. Задачи теорий прочности
- •3.7.2. Классические теории прочности
- •3.7.3. Понятие о новых теориях прочности
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Статические моменты.
- •4.2. Моменты инерции
- •4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей
- •4.5. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Плоский изгиб прямого бруса
- •5.1. Конструкция опор. Определение реакций. Внутренние усилия
- •5.2. Дифференциальные и интегральные зависимости между q, q и m
- •5.3. Построение эпюр поперечной силы q и изгибающего момента m
- •5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений
- •5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •5.7. Распределение касательных напряжений в балках
- •5.8. Напряжённое состояние при поперечном изгибе.
- •5.9. Касательные напряжения в полках тонкостенных профилей. Центр изгиба
- •Нормальные напряжения:
- •5.10. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 6. Сдвиг
- •6.2. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге
- •6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений
- •Глава 7. Кручение прямого бруса
- •7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов
- •7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений
- •7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость
- •7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации
- •7.5. Кручение стержней прямоугольного сечения
- •7.6. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом
- •Оглавление
3.6. Потенциальная энергия упругой деформации
Как отмечалось выше (см. п. 2.8), в процессе упругой деформации в теле накапливается потенциальная энергия, равная работе внешних сил. При осевом растяжении (линейном напряжённом состоянии) удельная потенциальная энергия (т.е. энергия, приходящаяся на единицу объёма) определяется по формуле (2.37)
.
В общем случае объёмного напряженного состояния
. (3.32)
Подставив значения ε по формуле (3.25), получим
. (3.33)
Экспериментальные исследования показали, что прочность материала зависит не только от величины компонентов напряжений, но и от характера напряжённого состояния. Так, большинство твёрдых тел противостоит без разрушения действию очень большого всестороннего давления – при этом изменяется объём бесконечно малого элемента. И наоборот, те же тела разрушаются при сравнительно невысоких напряжениях, если эти напряжения изменяют форму элемента. Поэтому полную потенциальную энергию упругой деформации, определяемую по формуле (3.33), представляют в виде суммы двух составляющих:
u = u0 + uф, (3.34)
где u0 – удельная потенциальная энергия изменения объёма, т.е. энергия, накапливаемая за счёт изменения объёма;
uф – удельная потенциальная энергия формоизменения, т.е. энергия, накапливаемая вследствие изменения формы элемента.
Для определения этих составляющих заданное напряжённое состояние представим в виде суммы двух напряжённых состояний (рис.3.15): изменяющего объём элементарного кубика (гидростатическое растяжение одинаковыми средними напряжениями) и изменяющего форму кубика.
Рис. 3.15
Чтобы найти u0, в формулу (3.33) подставим σ1 = σ2 = σ3 = σср и получим:
. (3.35)
Подставив в (3.35) значение σср = (σ1 + σ2 + σ3)/3, получим окончательное выражение для удельной потенциальной энергии изменения объёма
. (3.36)
Удельную потенциальную энергию формоизменения найдём простым вычитанием:
uф = u – u0.
Необходимо из (3.33) вычесть (3.36):
(3.37)
Итак, удельная потенциальная энергия формоизменения определяется по формуле
. (3.38)
Из (3.38) легко получить выражения для uф при плоском напряжённом состоянии (σ2 = 0)
, (3.39)
и при линейном напряжённом состоянии (σ2 = σ3 = 0)
. (3.40)
3.7. Теории прочности
3.7.1. Задачи теорий прочности
Важнейшей задачей инженерного расчёта является оценка прочности детали по известному напряжённому состоянию, т.е. по известным главным напряжениям в точках тела.
Материал детали может находиться в различных состояниях. При малых внешних нагрузках материал находится в упругом состоянии. При увеличении внешних сил с определённого момента появляются заметные остаточные деформации и, следовательно, материал переходит в пластическое состояние. При дальнейшем увеличении внешних сил появляются трещины и наступает состояние разрушения. Механическое состояние зависит в первую очередь от напряжённого состояния, а также от ряда других факторов – температуры, времени нагружения и прочих второстепенных факторов.
Предельным (опасным) считается такое напряжённое состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала: переход из упругого состояния в пластическое или переход из упругого в состояние разрушения. Опасные напряжения находятся экспериментально - в процессе лабораторных испытаний материала. Наиболее просто задача определения опасных напряжений решается при стандартных испытаниях на растяжение или сжатие: для пластичного материала это предел текучести σ0 = σт, для хрупкого – предел прочности σоп = σпч. Образцы при этом находятся в линейном напряжённом состоянии (см. п. 2.6.1 и 2.6.2). Не намного сложнее определить опасные напряжения в частном случае плоского напряжённого состояния – при чистом сдвиге. Чистый сдвиг – это такое напряжённое состояние, при котором по некоторым взаимно перпендикулярным площадкам действуют только касательные напряжения. При испытании на кручение тонкостенной трубы нетрудно установить величины опасных напряжений по характерным точкам диаграммы.
Если следовать по указанному пути, то для каждого напряжённого состояния, определяемого тремя величинами главных напряжений, и для каждого материала необходимо иметь соответствующие диаграммы испытаний с числовыми характеристиками предельных точек. Однако такой путь является абсолютно неприемлемым в силу неисчерпаемости типов напряжённых состояний, а также в связи с техническими трудностями постановки соответствующих испытаний.
Поэтому необходимо создать такую методику расчёта, которая позволяла бы оценить степень опасности любого сложного напряжённого состояния, основываясь на результатах опытов при простом растяжении или сжатии. Эта задача решается с помощью так называемых теорий прочности (точнее, теорий предельных напряжённых состояний).
Для этого вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность того или иного фактора – критерий прочности. Считают, что наступление предельного состояния при объёмном напряжённом состоянии произойдёт тогда, когда величина критерия прочности достигнет предельного значения. Предельное же значение этого критерия, "ответственного" за наступление опасного состояния, находят на основании простых стандартных опытов на растяжение – сжатие (кручение).
Таким образом, введение критерия прочности позволяет сопоставить данное сложное напряжённое состояние (плоское или объёмное) с простым линейным, и установить при этом такое расчётное (эквивалентное) напряжение, которое в обоих случаях даёт одинаковый коэффициент запаса прочности.