4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей

Дано: моменты инерции фигуры относительно осей z, y; расстояния между этими и параллельными осями z₁, y₁ – a, b.

Определить: моменты инерции относительно осей z₁, y₁ (рис.4.7).

Рис.4.7

Координаты любой точки в новой системе z₁Oy₁ можно выразить через координаты в старой системе так:

z₁ = z + b, y₁ = y + a.

Подставляем эти значения в формулы (4.6) и (4.8) и интегрируем почленно:

,

.

В соответствии с формулами (4.1) и (4.6) получим

,

, (4.13)

.

Если исходные данные оси zCy – центральные, то статические моменты S_z и

S_y равны нулю и формулы (4.13) упрощаются:

,

, (4.14)

.

Пример: определить осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z₁, проходящей через основание (рис.4.6,а). По формуле (4.14)

.

4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Дано: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей α (рис.4.8). Считаем угол поворота против часовой стрелки положительным.

Определить: моменты инерции фигуры относительно z₁, y₁.

Рис.4.8

Координаты произвольной элементарной площадки dF в новых осях выражаются через координаты прежней системы осей следующим образом:

z₁ = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y₁ = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.

Подставим эти значения в (4.6) и (4.8) и проинтегрируем почленно:

,

,

Учитывая формулы (4.6) и (4.8), окончательно находим:

,

, (4.15)

. (4.16)

Складывая формулы (4.15), получим: (4.17)

.

Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной. При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (4.15). Ясно, что при каком-то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим.

4.5. Главные оси и главные моменты инерции

Наибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами u, υ. Следовательно, J_uυ = 0. Начальную произвольную систему координат z, y надо повернуть на такой угол α₀, чтобы центробежный момент инерции стал равным нулю. Приравняв нулю (4.16), получим

. (4.18)

Оказывается, что теория моментов инерции и теория плоского напряжённого состояния описываются одним и тем же математическим аппаратом, так как формулы (4.15) – (4.18) идентичны формулам (3.10), (3.11) и (3.18). Только вместо нормальных напряжений σ записываются осевые моменты инерции J_z и J_y, а вместо касательных напряжений τ_zy – центробежный момент инерции J_zy. Поэтому формулы для главных осевых моментов инерции приводим без вывода, по аналогии с формулами (3.18):

.(4.19)

Полученные из (4.18) два значения угла α₀ отличаются друг от друга на 90⁰, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает 45⁰.

6. Радиус инерции и момент сопротивления

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции:

, (4.20)

где i_z – радиус инерции относительно оси z.

Из выражения (4.20) следует, что

,. (4.21)

Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции

,. (4.22)

Зная главные радиусы инерции, можно графическим способом найти радиус инерции (а, следовательно, и момент инерции) относительно произвольной оси.

Рассмотрим еще одну геометрическую характеристику, характеризующую прочность стержня при кручении и изгибе – момент сопротивления. Момент сопротивления равен моменту инерции, делённому на расстояние от оси (или от полюса) до наиболее удалённой точки сечения. Размерность момента сопротивления – единица длины в кубе (см³).

Для прямоугольника (рис.4.6,а) ,, поэтому осевые моменты сопротивления

,. (4.23)

Для круга (рис.4.6,б),, поэтому полярный момент сопротивления

. (4.24)

Для круга ,, поэтому осевой момент сопротивления

. (4.25)