3.2. Линейное напряжённое состояние

Линейное напряжённое состояние имеет место в стержнях, испытывающих растяжение или сжатие, а также в некоторых точках стержня, работающего на изгиб. Рассмотрим растяжение стержня. Как указывалось в главе 2, в поперечных сечениях, удалённых от точек приложения внешних сил, нормальные напряжения распределены равномерно и равны (рис.3.5,а)

. (3.3)

Эти напряжения являются главными, т.к. касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю. Напряжённое состояние при растяжении является однородным, поэтому размеры выделяемых элементов не играют никакой роли. Определим напряжения, действующие по наклонной площадке. Наклон площадки определяется острым углом α между направлением оси стержня и нормалью n_α к площадке. Условимся считать угол α положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки (рис.3.5,а). Элемент, находящийся в линейном напряжённом состоянии, изображаем в виде плоской фигуры, помня, однако, что в действительности он имеет вид, показанный на рис.3.4,а.

Рассмотрим равновесие нижней части стержня, отсечённой наклонной площадкой (рис.3.5,б). По наклонной площадке, площадь которой равна F_α, равномерно распределены напряжения p_α, параллельные осевой силе N = P, следовательно, результирующая этих напряжений

p_αF_α = N.

Отсюда найдём p_α, подсчитав предварительно ,

.

Проектируя p_α на нормаль n_α и на плоскость сечения, получим выражения для нормальных и касательных напряжений по наклонной площадке:

σ_α = p_αcos α, τ_α = p_αsin α

или

σ_α = σ₁cos²α. (3.4)

. (3.5)

а б в

Рис.3.5

Как видно из формул (3.4) и (3.5), при α = 0  τ_α = 0 и σ_α = σ₁, при α = π/2  σ_α = 0 и τ_α = 0. Таким образом, при растяжении действительно имеет место линейное напряжённое состояние: σ₁ = N/F, σ₂ = σ₃ = 0. При сжатии σ₃ = – N/F, σ₁ = σ₂ = 0.

Из выражения (3.5) видно, что касательные напряжения достигают своей наибольшей величины при α = ± 45⁰, причём

. (3.6)

Определим теперь напряжения, действующие по площадке, перпендикулярной заданной наклонной, α₁ = α + 90⁰ (рис.3.5,в):

σ_α1 = σ₁ ∙ cos² (α + 90) = σ₁sin² α,

.

Итак

σ_α+90 = σ₁sin² α. (3.7)

. (3.8)

3.3. Плоское напряжённое состояние

Плоское напряжённое состояние встречается в деталях машин и в строительных конструкциях очень часто. Например, это стержень при кручении (рис.3.6,а) и изгибе (рис.3.6,б), тонкостенный сосуд под действием внутреннего давления (рис.3.6,в).

а б в

Рис.3.6

Плоское напряжённое состояние также имеет место в тонкой пластине, нагруженной силами, параллельными её плоскости и равномерно распределёнными по толщине (рис.3.7): σ_х ≠ 0, σ_у ≠ 0, τ_ху ≠ 0, σ_z = τ_zx = τ_zy = 0.

Рассмотрим два аспекта задачи о плоском напряжённом состоянии: найдём напряжения, действующие по наклонной площадке (прямая задача), и найдём величины и направления главных напряжений (обратная задача).

Рис.3.7

3.3.1. Прямая задача

Дано: напряжения σ_х, σ_у, τ_ху, угол α > 0 (рис.3.8,а).

Определить: напряжения σ_α и τ_α (рис.3.8,б).

Рассмотрим равновесие элемента abc. При записи уравнений статики будем определять силу как произведение напряжения на площадь соответствующей грани:

площадь наклонной грани bc = dF;

площадь прямой грани ab = dF ∙ cos α;

площадь прямой грани ac = dF ∙ sin α.

а б в

Рис.3.8

Теперь запишем уравнения проекций всех сил, действующих на элемент abc, на нормаль к наклонной площадке и на ось, совпадающую с этой площадкой (рис.3.8,в).

∑n = 0: σ_αdF – σ_x dF cos α ∙ cos α – σ_у dF sin α ∙ sin α + τ_xу dF cos α ∙ sin α + τ_ух dF sin α ∙ cos α = 0,

∑t = 0: τ_αdF + σ_у dF sin α ∙ cos α + τ_уx dF sin α ∙ sin α – τ_xу dF cos α ∙ cos α – σ_х dF cos α ∙ sin α = 0.

После несложных преобразований и сокращения на dF получаем следующие выражения:

σ_α = σ_х cos²α + σ_y sin²α – τ_xy sin 2α , (3.9)

. (3.10)

Рис.3.9

Если исходные площадки являются главными (рис.3.9), то формулы (3.9) и (3.10) упрощаются: σα = σ1cos2α + σ2sin2, (3.11) . (3.12) Из формулы (3.12) следует, что наибольшее касательное напряжение

действует по площадке, наклонённой под углом 45⁰ к главным площадкам:

. (3.13)

Преобразуем формулу (3.9), используя выражение для тригонометрических функций

и .

Получим

. (3.14)

Теперь определим напряжения, действующие по площадке, перпендикулярной к заданной: α₁ = α + 90⁰. Воспользуемся формулой (3.14), учитывая, что cos 2α₁ = – cos 2α и sin 2α₁ = – sin 2α. Получим

. (3.15)

Сложим (3.14) и (3.15), чтобы найти сумму нормальных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам.

Получим

σ_α + σ_{α + 90} = σ_х + σ_у = const, (3.16)

т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам инвариантна по отношению к наклону этих площадок.