3.5 Нагрев плоского слоя точечным источником тепла

При плоском слое тепловой поток, вводимый через z = 0, является пространственным, но искажается граничными поверхностями. Обычно принимается, что обе граничные поверхности z = 0 и z = δ (где δ – толщина плоского слоя – листа) являются непроводящими тепла и все введенное тепло остается внутри тела.

Рис. 3.7. Плоский слой.

Представим полубесконечное тело и как бы выделенный из него плоский слой толщиной δ (Рис. 3.7). В результате действия на его поверхность z = 0 точечного источника мощностью q = q^! распределение температур в глубь тела может быть рассчитано по методике, изложенной выше. Представим, что оно соответствует кривой T = f(z). При плоском слое толщиной δ, часть нагревавшегося металла в случае полубесконечного тела оказалась бы за пределами слоя z = δ. Так как, по условию, поверхность z = δ не пропускает тепла, то тепловой поток от этой поверхности отражается. Непропускание тепла поверхностью z = δ схематически можно представить следующим образом. Пусть при z  δ продолжается тело с такими же теплофизическими свойствами, как и в плоском слое. И в него на поверхности z = 2δ действует другой, фиктивный источник тепла q^!! = q^!, который приводит к температурному полю, симметричному относительно плоскости z = δ, как и от основного источника q^!. Конечная температура, по принципу независимости действия различных источников, является результатом суммирования от действительных и отраженных (принятых фиктивных) источников:

T_(z) = T^!_(z) + T^!!_(z).

Графически такое температурное поле можно получить, повернув вверх через границу z = δ продолжение поля T = f(z), и сложив его с полем внутри слоя.

Общее сравнение влияния точечного источника в полубесконечном теле и плоском слое при одинаковых характеристиках источника и теплофизических свойств тела показывает, что распространение тепла в плоском слое затруднено, область высоких температур в нем больше, а изотермы в сечении не имеют вида сфер.

Аналогичную схему решения с отражением тепловых потоков можно применять для определения температурного поля при сварке от края полубесконечной пластины и от действия источника, перемещающегося параллельно краю пластины.

3.6 Периоды теплонасыщения и выравнивания температуры

В предыдущих лекциях рассматривалось поле предельного состояния при неподвижном и подвижном источниках тепла. При подвижном источнике достижение предельного состояния характеризуется установлением квазистационарного поля, которое, не изменяясь, перемещается вместе с источником. Такое предельное состояние наступает не сразу. Например, при дуговой сварке в начальный момент тепло дуги вводится в холодный металл, температура которого постоянна во всем объеме. По мере горения дуги металл нагревается; при этом зоны нагретого металла, прилегающего к месту ввода тепла, увеличиваются. Когда при данном режиме нагрева зона металла, нагретая выше какой-либо температуры Т, перестает увеличиваться, то можно считать, что для этой зоны наступает предельное состояние. В зонах вблизи источника тепла предельное состояние наступает раньше, чем в более отдаленных зонах.

Период процесса распространения тепла до достижения предельного состояния (стационарного при неподвижном источнике и квазистационарного – при подвижном) называется периодом теплонасыщения. В этом периоде температура любой точки возрастает от нуля до температуры предельного состояния.

Температуру любой точки в период теплонасыщения удобно представлять через изученные температуры предельного состояния через дополнительный коэффициент теплонасыщения:

T(t) = ψ(t,R)T_пр.

Такой коэффициент теплонасыщения, очевидно, от нуля в начальный момент до единицы в предельном состоянии. Возрастание этого коэффициента во времени характеризует процесс насыщения данной точки теплом. Величина этого коэффициента зависит не только от времени, но и от расстояния рассматриваемой точки от источника тепла.

Для удобства вычисления ψ вводят безразмерные параметры расстояния и времени:

а) для пространственного процесса распространения тепла точечного источника в полубесконечном теле – безразмерные критерии расстояния ρ = vR/(2a), времени τ = v²t/(4a);

б) для плоского процесса распространения тепла линейного источника в пластине с теплоотдачей – безразмерный критерий расстояния ρ = vR/(2a), времени τ = t(v/(4a) + b), (b = 2α/(cρδ).

в) для линейного процесса распространения тепла от плоского источника тепла с теплоотдачей: ,b = αp/(cρF); p – периметр стержня; F – сечение.

Порядок расчета температур в период теплонасыщения состоит в отыскании для с заданными координатами температуры предельного состояния, вычислении значения безразмерных критериев и определении ψ по соответствующим номограммам (рис. 3.8).

Пример. На массивное тело из низкоуглеродистой стали (λ = 0,1 кал/(см*с*⁰С); а = 0,1 см²/с) наплавляют валик дуговой сваркой при q = 2000 кал/с и v = 0,2 см/с. (Для предельного состояния расчет уже делали). Рассчитать термический цикл точки, расположенной в 1 см от линии перемещения источника тепла (у = 1 см), впереди места начала сварки на 1 см (х = 1 см).

Решение. Температуры предельного состояния для этого случая

Рис. 3.8. Номограммы для определения коэффициентов теплонасыщения для пространственного (а) и плоского (б) процессов.

Рис. 3.9. Термический цикл в период теплонасыщения.

Рис. 3.10. Закономерности периода теплонасыщения в полубесконечном теле.

Расстояние R до рассматриваемой точки в различные моменты времени R = √(x² +y²) = √(х² + 1). Безразмерные критерии расстояния и времени:

Время, прошедшее от начала сварки, t = x/v.Результаты расчета заносим в таблицу.

Таблица 3.4

Результаты расчета температур в период теплонасыщения.

Х, см	Х2 см2	R, см	X+R См	e-(x+R)	1380 R	Тпр 0С	T,c	τ	ρ	ψ	T!,0C
1,0	1,0	1,41	2,41	0,09	1310	118	0	0	1,41	0	0
0,5	0,25	1,12	1,62	0,196	2850	560	2,5	0,25	1,12	0,2	118
0	0	1,0	1,0	0,368	3180	1170	5,0	0,5	1,0	0,68	795
-0,5	0,25	1,12	0,62	0,538	2850	1530	7,5	0,75	1,12	0,76	1160
-1,0	1,0	1,41	0,41	0,664	2250	1495	10,0	1,0	1,41	0,77	1150
-2,0	4,0	2,23	0,23	0,803	1140	1160	15,0	1,5	2,23	0,77	890
-4,0	16,0	4,1	0,1	0,905	776	700	25,0	2,5	4,1	0,65	525

Изменения температуры во времени для выбранной точки, находящейся вблизи начала наплавки в 1 см от оси перемещения дуги, показаны сплошной линией на рис. 3.9. Штриховой линией показано изменение температуры точек у = 1 см при квазистационарном температурном поле.

Некоторые общие закономерности периода теплонасыщения в полубесконечном теле при подвижном точечном источнике (q = 1000 кал/с, v = 0,1 см/с, λ = 0,1 кал/(см*с*⁰С), а = 0,1 см²/с) изображены на рис. 3.10. Как видно из схемы изменения вида изотерм и приведенных характеристик влияния основных факторов на достижение состояния, близкого к предельному теплонасыщению (ψ = 0,95), кроме расстояния большое влияние оказывает и скорость перемещения источника тепла. Так, при скорости v = 0,3 см/с период теплонасыщения на расстоянии R = 3 см от оси дуги практически заканчивается в течение 10 с. При меньших скоростях сварки влияние периода теплонасыщения проявляется в большей степени и должно учитываться при выполнении сварки.

После окончания действия источника тепла введенное тепло продолжает распространяться в теле вследствие теплопроводности. Период процесса распространения тепла, начиная от момента прекращения действия источника, называется периодом выравнивания температуры.

Пусть после прохождения отрезка ОК источник мощностью q, прекративший ввод тепла в тело в момент его нахождения в точке К, продолжает действовать и дальше (вплоть до достаточно отдаленной точки М) как фиктивный источник той же мощности. Одновременно в момент К введен и фиктивный сток тепла мощностью –q, приложенный к тем же участкам тела, что и фиктивный источник +q, т.е. на участке КМ тело тепла не получает.

Температуру Т_в в момент М в периоде выравнивания можно представить как алгебраическую сумму температуры Т от продолжающего действовать источника q и температуры –Т от начавшего действовать стока тепла -q:

T_B(t) = T_(t) – T_(t-tk) t  t_k.

Обе температуры можно выразить через температуру предельного состояния Т_пр и соответствующие коэффициенты теплонасыщения

T_B(t) = T_np(ψ_(t) – ψ_(t-tk)).

Пример На поверхность массивного тела наплавляют валик ОК длиной 10 см. Режим наплавки: q = 1000 кал/с; v = 0,1 см/с; теплофизические свойства металла: λ = 0,1 кал/ ( см*с*⁰С), a = 0,1 см² /с.

Рассчитать температуру точки К через 10 с после окончания наплавки.

Решение. При наплавке действительный точечный источник на длине валика 10 см перемещался со скоростью v = 0.1 cм /с. Длительность его действия t _к = =10 / 0,1 =100 с. После окончания наплавки фиктивные источник и сток, двигаясь той же скоростью, через 10 с находятся в точке М. Координаты точки К, температура которой нас интересует, относительно фиктивного источника и стока x _k =- 0,1*10 = -1 см; y_k = 0; z _k =0. Температура предельного состояния точки ( -1; 0; 0), лежащей на отрицательной полуоси х < 0, вычисляется по уравнению

Рис. 3.11. Расчетная схема периода выравнивания температуры.

Рис. 3.12. Пример расчета температур после окончания наплавки.

Длительность действия источника (действительного и фиктивных) t = 100 + 10 = 110 с. Длительность действия стока t – t_k = 10 c. Безразмерные критерии для нахождения коэффициентов теплонасыщения:

расстояния:

ρ = vR/2a =0,1*1,0/(2*0,1) = 0,5;

времени действительного и фиктивного источников

τ = v²t/4a = 0,1²*110/(4*0,1) = 1,75;

времени стока

τ^! = 0,1²*10/(4*0,1) = 0,25.

Соответствующие коэффициенты теплонасыщения ψ = 1,0 ψ^! = 0,7. Температура точки К через 10 с после окончания наплавки Т_(-1,110) = 1590(1,0 – 0,7) = 477 ⁰С.