3.3 Термические расчеты применительно к сварке массивного тела точечным источником тепла

Различают три различные стадии нагрева тела

1) теплонасыщение, когда размеры связанной с источником нагретой зоны увеличиваются;

2) предельное или установившееся состояние, когда температурное поле, оставаясь одинаковым (в подвижной системе координат), перемещается вместе с источником тепла (квазистационарное температурное поле);

3) выравнивание температуры, когда источник тепла перестает действовать.

Рассмотрим предельное или установившееся состояние. Полагая в предыдущей формуле t→∞, получим предельное состояние в виде уравнения в подвижной системе координат:

При неподвижном источнике v = 0,

При перемещении источника по оси х-х температура точек тела на этой оси позади источника (где значения х отрицательны) не зависит от скорости его перемещения и равна температурам предельного состояния неподвижного источника. (R = -x, T = q/(2πλR).

На положительной полуоси (впереди источника) x ≥ 0; R = x:

Так как e^-vR/a всегда меньше единицы, то чем быстрее движется источник тепла и чем меньше коэффициент температуропроводности, тем резче убывает температура впереди источника.

Рис. 3.4. Пример.

Рассчитаем в качестве примера (рис. 3.4) изменение во времени температуры точек, лежащих на оси х-х (точки А с координатами y = 0, z = 0), и точки Б в плоскости xOy с координатами y = 1 и z = 0. Все точки, одинаково расположенные по отношению к оси х-х, при квазистационарном температурном поле испытывают одинаковый характер теплового воздействия, только смещенный во времени. Так, тот термический цикл, который получен точкой А, будет получен и любой другой точкой, лежащей на оси движения источника тепла. Цикл, полученный точкой Б, будет также получен любой точкой, лежащей на принятом расстоянии y = 1 от оси x-x (а также и сточками с R = √(x² + y²) =1 см).

Условие задачи. На массивное тело из низкоуглеродистой стали (λ = 0,1 кал/см*с*⁰С; а = 0,1 см²/с) производится наплавка валика дуговой сваркой плавящимся электродом на постоянном токе режимом: ток – 400А; напряжение – 26 В; скорость сварки – 7,2 м/час = 0,2 см/с. Эфф. КПД – 0,8.

Определяем q; q = 0,24UIη = 0,24*26*400*0,8 = 2000 ккал/с (8370).

Табл. 3.2. Расчетные значения температур (пример).

Х, см	Y, см	R, см	Т,0С
1,0	0	1,0	430
0,5	0	0,5	2340
0	0	0	∞
- 0,5	0	0,5	6360
-1,0	0	1,0	3180
-2,0	0	2,0	1590
-4,0	0	4,0	795
-6,0	0	6,0	530
1,0	1,0	1,41	113
0,5	1,0	1,12	560
0	1,0	1,0	1170
-0,5	1,0	1,12	1530
-1,0	1,0	1,41	1495
-2,0	1,0	2,23	1160
-4,0	1,0	4,1	700
-6,0	1,0	6,06	493

Полученные результаты показаны на рис. 3.5, а, причем по оси абсцисс кроме масштаба х дан и масштаб времени t = │x│/vc.

Рис. 3.5. Результаты расчета температур (пример).

Максимальная температура получается под источником тепла (х = 0), а для точек y = 1 см максимальная температура ниже и достигается позже. Для более отдаленных точек этот характер сохраняется и при

y  1 кривые T = f(t) имеют еще меньшую температуру и она достигается еще позже.

Аналогично можно рассчитать и изохроны – линии температурного распределения в определенном поперечном сечении в различные моменты времени. Для того же примера рассчитаем изохроны для сечений (х = 1,0; - 1,0; - 2,0; - 6,0 см), т.е. для сечений за 5 с до прохождения дуги, и через 5, 10, 30 с после прохождения дуги. Расчет сведен в таблицу 3.3.

На рис. 3.5,б изображены соответствующие изохронны, отвечающие этих сечений. Графически по этим кривым можно получить координаты «y» любой температуры в плоскости z = 0. В связи с тем, что для плоскости на отрицательной полуоси Ох могут быть получены координаты точек для любой температуры (исходя из формулы Т = q/(2πλR) и ее преобразования в виде R = q/(2πλT), так как R = -x), то в плоскости хОу можно построить температурное поле в виде изотерм. Например, изотерма 300⁰С в сечении х = 1,0 см имеет координату у ≈ 0,51 см, в сечении х = -1,0 см у₃₀₀ ≈ 2,3 см; в сечении х = -2,0 см у₃₀₀ ≈ 3,0см; в сечении х = -6,0 см у₃₀₀ ≈ 3,5 см, а при у = 0 значение R = 2000/(2*3.14*0.1*300) = 10.6 см.

Таблица 3.3

Расчет температур для построения изохрон.

Х, см	У, см	R, см	(X +R)	e-(x + R)	3180/R	T
1,0 1,0 1,0 1,0 -1,0 -1,0 -1,0 -1,0 -2,0 -2,0 -2,0 -2,0 -2,0 -6,0 -6,0 -6,0 -6,0 -6,0	0 0,5 1,0 2,0 0 1,0 2,0 4,0 0 1,0 2,0 4,0 5,0 0 2,0 4,0 6,0 7,0	1,0 1,12 1,41 2,23 1,0 1,41 2,23 4,1 2,0 2,23 2,81 4,45 5,40 6,0 6,3 7,18 8,42 9,15	2,0 2,12 2,41 3,23 0 0,41 1,23 3,1 0 0,23 0,81 2,45 3,4 0 0,3 1,18 2,42 3,15	0,135 0,117 0,090 0,040 1,0 0,664 0,292 0,045 1,0 0,795 0,445 0,086 0,033 1,0 0,741 0,307 0,089 0,043	3180 2850 1310 985 3180 2250 1440 103 1590 1440 1135 715 590 530 505 445 378 348	430 333 118 39 3180 1495 420 5 1590 1140 507 62 20 530 360 135 34 16

Соединив на рис. 3.5,в эти точки плавной кривой, получим вид в плане изотермы 300⁰С. Так же построены и другие изотермы.

Изохронны на рис. 3.5,б позволяют провести кривую максимальных температур, достигаемых на различных у (или z) от оси х-х. Эта огибающая штриховая линия указывает предельные значения температур, достигаемых на различных расстояниях у, хотя и в различное время.

На температурном поле в плане (рис. 3.5,в), соединив штриховой линией точки изотерм, при которых касательная к ним параллельна оси х-х, получим расположение кривой максимальных температур в плоскости хОу. В области 1 перед этой кривой температура будет повышаться – это область нагрева, а в области 2 – внутри кривой – температура будет понижаться (область охлаждения).

В полубесконечном теле изотермы представляют собой тела вращения и в любом поперечном сечении, перпендикулярном к оси х-х, изотермы представляют собой полуокружности радиусом, равным координате у этой изотермы в плоскости z = 0.

В связи с тем, что с развитием сварки возрастают мощности источников тепла и скорости их перемещения, целесообразно рассмотрение температурных полей для предельного случая, когда q → ∞; v → ∞; q/v = const.

При большой скорости движения источника тепло перед ним не распространяется. По оси х-х сзади источника распространение тепла от скорости не зависит. Тепло практически распространяется в направлении, перпендикулярном к оси х-х.

Учитывая все это, получаем:

где t - время, отсчитываемое от момента, когда источник тепла пересек плоскость y0z, в которой находится рассматриваемая точка; r = √(y² + z²); y и z – координаты рассматриваемой точки; координата х заменена через v и t.

Схема быстродвижущегося источника тепла совершенно не позволяет оценивать тепловые процессы перед источником и в непосредственной близости от него, но позволяет проще и с относительно небольшой погрешностью определять температурные поля позади источника, в области охлаждения.

В рассматриваемой схеме можно аналитически выразить связь между координатами точек определенной (заданной) температуры. Заменив в формуле vt на (-х), получим выражение

Заменив направление оси х-х на обратное, и решив это уравнение относительно r, получим

где Т₀ – любая заданная конкретная температура.

Для быстродвижущегося источника по полубесконечному телу просто определяются значения r – расстояния от источника тепла до точки с заданной температурой Т₀ в данной плоскости. Из формулы

следует илиоткуда

Задаваясь значениями t = x/v, определяющими заданное сечение позади быстродвижущегося источника тепла, можно вычислить r₀ (а следовательно, y при z = 0 или z при y = 0) для любой принятой температуры.

Для вычисления r₀ максимального распространения какой-то заданной температуры необходимо найти производную температуры по времени и приравнять ее к нулю. Прологарифмировав выражение для температуры в любой точке, получим

После дифференцирование

Отсюда скорость изменения температуры:

Нас интересует случай который и отвечает моментуt_max, когда изотерма достигает своей максимальной величины. Отсюда

t_max = r_x²/(4a) или r_x² = - (4a/v)x_max, так как vt_max = x_max.

Максимальная температура в точке, определяемой r_x, очевидно, равна температуре в момент t_max. Подставив значение t = t_max в формулу для определения температуры, получим

а, заменив a = λ/cρ и e^-1 = 1/e = 0,368, получим выражение

Приведенные решения позволяют выполнить ряд расчетов применительно к получению температурных полей при сварке массивных изделий, при источнике, нагревающим их с поверхности.