физика акимов (АДб)
.pdf
равенство(3)и вынося общий множитель |
|
1 |
|
|
|
за знак корня, получим |
|||||||||||||||||||||
4 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
Q2 |
|
Q2 |
|
|
|
Q Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
E |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
cos . |
(4) |
||||||||||
|
4 |
|
|
|
r4 |
|
|
|
|
r2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
r4 |
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив числовые значения величин в формулу (4), произ- |
|||||||||||||||||||||||||||
ведём вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10 9)2 |
|
(2 10 9)2 |
|
|
||||||||||||||
E |
1 |
|
|
|
|
(0,09)4 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(0,07)4 |
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
10 |
9 |
2 10 |
9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 9 109 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0,238) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(0,07) |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,09) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3,58 103 3,58 кВ/м.
При вычислении E знак заряда Q2 опущен, так как знак заряда определяет направление вектора напряжённости, а направление E2 должно быть учтено при его графическом изображении.
В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, созданного двумя зарядами Q1 и Q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.
|
. |
(5) |
1 |
2 |
|
Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой
|
Q |
|
. |
(6) |
4π |
|
|||
|
r |
|
||
0
В данном случае, согласно формулам (5) и (6), получим
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
4π |
r |
4π |
r |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Q |
|
Q |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
. |
||||||
4π |
|
r |
r |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
||
Подставив в это выражение числовые значения физических величин, получим
51
|
1 |
|
|
10 9 |
2 10 9 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
157 B. |
|
12 |
|
|
|||||
|
4 8,85 10 |
|
0,09 |
|
0,07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 7. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут в одном направлении токи силой I=60 А, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А, отстоящей от одного проводника на расстоянии r1=5 см, от другого на расстоянии r2=12 см.
Решение. Для нахождения магнитной индукции В в указанной точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления векторов магнитной индукции В1 и
В2 полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически:
В В1 В2.
Абсолютное значение магнитной индукции В может быть найдено по теореме косинусов:
B B2 |
B2 |
2B B cos , |
(1) |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
где угол между векторами В1 и В2 .
Значения магнитных индукций (проводник находится в вакууме,
т.е. =1) B1 |
и В2 выражаются соответственно через силу тока I и |
|||||||||||||||||||||
расстояния r1 |
и r2 от проводов до точки А: |
μ I |
|
|||||||||||||||||||
|
B |
μ I |
; |
|
|
|
B |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
||||||||||
|
2πr |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2πr |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 I |
|
|||||
Подставляя выражения В и В в формулу (1) и вынося |
за |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
знак корня, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
B |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
cos . |
(2) |
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
r |
2 |
|
|
r r |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислим cos . По теореме косинусов запишем |
|
|||||||||||||||||||||
|
d2 r2 |
|
r2 |
2r r cos , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
где d – расстояние между проводами.
52
Отсюда
r2 r2 d2
cos |
1 2 |
|
. |
|
|
||
|
2r r |
||
1 |
2 |
|
|
После подстановки числовых значений найдём
cos 52 122 102 23. 2 512 40
Подставляя в формулу (2) значения I, r1, r2 и cos , определяем искомую индукцию:
B |
4 3,14 10 7 |
60 |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
23 |
|
|
2 3,14 |
|
(0,05)2 |
(0,12)2 |
0,05 0,12 |
40 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3,08 10 4 308 мкТл .
Пример 8. На дифракционную решетку в направлении нормали к её поверхности падает монохроматический свет. Период решётки d=2 мкм. Какой наибольший порядок дифракционного максимума даёт эта решётка в случае красного света ( 1=0,7 мкм) и в случае фиолетового ( 2=0,41 мкм)?
Решение. На основании известной формулы дифракционной решётки запишем следующее выражение порядка дифракционного максимума:
m |
dsin |
, |
(1) |
|
|||
|
|
|
|
где d – период решётки; – угол между направлением на дифракционный максимум и нормалью к решётке; – длина волны монохроматического света.
Так как sin не может быть больше 1, то, как это следует из формулы (1), число m не может быть больше d / , то есть
m |
d |
. |
(2) |
|
|||
|
|
|
|
Подставив в формулу (2) числовые значения, получим: для красных лучей
m 2 2,86; 0,7
53
для фиолетовых лучей
m 2 4,88. 0,41
Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то найдём, что для красного света mmax=2 и для фиолетового mmax =4.
Пример 9. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовыми лучами с длиной волны 1=0,155 мкм; 2) -лучами с длиной волны
2=0,01 А.
Решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:
A Tmax, |
(1) |
где – энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А – работа выхода; Tmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.
Энергия фотона вычисляется по формуле
|
h c |
, |
(2) |
|
|||
|
|
|
|
где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; – длина волны.
Кинетическая энергия электрона может быть выражена по классической формуле
m v2
T |
0 |
|
|
|
|
|
(3) |
||
2 |
|
|
|
|
|
||||
или релятивистской формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
T E |
|
|
|
|
|
1 |
, |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона много меньше энергии покоя E0 электрона, то может быть применена формула (3), если же сравнима по величине с E0, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, во избежание которой необходимо кинетическую энергию фотоэлектрона выражать по формуле (4).
54
Вычислим энергию фотона ультрафиолетовых лучей по формуле (2):
|
|
6,63 10 34 3 108 |
|
1,28 10 18 Дж |
|
|
|
||||
1 |
|
1,55 10 7 |
|
||
|
|
|
|||
или |
|
1 |
1,28 10 18 |
8 эВ. |
|
|
1,6 10 19 |
||||
|
|
|
|
||
Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):
m v2
|
A |
0 max |
, |
|
2 |
||||
1 |
|
|
||
откуда |
|
|
|
vmax |
|
2( |
A) |
|
|
1 |
|
. |
(5) |
||
|
|
||||
|
|
m |
|
||
|
|
|
0 |
|
|
Выпишем числовые значения величин: 1=1,28·10-18 Дж
(вычислено выше); A=4,7 эВ = 4,7 · 1,6 · 10-19 Дж = 0,75 · 10-18 Дж ; m0=9,11 · 10-31 кг.
Подставив числовые значения в формулу (5), найдём
vmax 2 (1,28 10 18 0,75 10 18) 1,08 106 м/с. 9,11 10 31
Вычислим энергию фотона -лучей:
|
|
|
hc |
|
6,63 10 34 |
3 108 |
1,99 10 |
13 |
Дж |
|||
|
|
|
10 12 |
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
1,99 10 13 |
1,24 106 |
эВ 1,24 МэВ. |
|||||||
1,6 10 19 |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Работа выхода электрона (А=4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона ( 2=1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:
T 1,24 МэВ.
max 2
55
Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона взять релятивистскую формулу кинетической энергии:
|
|
1 |
|
|
|
|
T E |
|
|
|
1 . |
||
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
||||
|
0 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Выполнив преобразования, найдём
|
(2E0 |
T)T |
|
|
|
|
. |
|
|
||
E0 T
Заметив, что v= c и Тmax= 2, получим
vmax c |
(2E |
) |
||
0 |
2 |
2 |
. |
|
E |
2 |
|
||
|
0 |
|
|
|
Сделаем подстановку числовых значений величин и произведём вычисления:
vmax 2 108 
(2 0,51 1,24) 1,24 2,85 108 м/с. 0,51 1,24
Пример 10. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длинуволныдеБройля длядвухслучаев: 1)U1=51B; 2)U2=510 кВ.
Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от её импульса Р и определяется формулой
|
h |
, |
(1) |
|
|||
|
Р |
|
|
где h – постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различ-
на для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы меньше её покоя) и для релятивистского случая (когда кинетичес-
кая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
56
В нерелятивистском случае |
|
|
|
|
|
|||
Р |
|
|
, |
|
(2) |
|||
|
2m T |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
||
где m0 – масса покоя частицы. |
|
|
|
|
|
|||
В релятивистском случае |
|
|
|
|
|
|||
Р |
1 |
|
|
, |
(3) |
|||
|
(2E T)T |
|||||||
c |
||||||||
|
0 |
|
|
|
||||
где E0 = m0 c2 энергия покоя частицы.
Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется в нерелятивистском случае
|
|
|
h |
|
|
, |
|
|
(4) |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2m T |
|
|||||
в релятивистском случае |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(5) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(2E |
T)T |
|
|||||||||
|
|
c |
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1=51 B и U2=510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, какую из формул, (4) или (5), следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна
Te U .
Впервом случае T1 = e U1 =51 эВ =0,51 ·10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона E0 = m0 c2=0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения
расчётов заметим, что T1=10-4m0 c2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в виде
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
102 |
|
|
h |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
2m 10 |
4 m c2 |
|
|
2 m0c |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, что |
|
h |
естькомптоновская длинаволныΛ, получим |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
m c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
1 102 .
2
Так как Λ=2,43 пм (см. табл. 3), то
1 102 2,43 171пм. 
2
Во втором случае кинетическая энергия
T2 eU2 510 кэВ 0,51 МэВ,
то есть равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что T2=0,51 МэВ = =m0 c2, по формуле (5) найдём
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3m c |
||||
|
|
|
|
|
(2m c |
|
m c |
)m c |
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим значение Λ и произведём вычисления:
2,43 1,40 пм.
2 |
3 |
Пример 11. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра 3Li7 . Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра m и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.
m Zmp (A Z)mn m, |
(1) |
где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); mp, mn, m – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.
В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в неё входила масса М нейтрального атома.
Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электрона, составляющих электронную оболочку атома:
58
|
M m Zme, |
|
|
откуда |
m M Zme . |
|
|
Выразив в равенстве (1) массу ядра по последней формуле, |
|||
получим |
m Zmp (A Z)mn M Zme |
|
|
|
|
||
или |
m Z(mp me) (A Z)mn M . |
|
|
Замечая, |
что mp+me= MH, где |
MH – масса атома водорода, |
|
окончательно найдём |
|
|
|
|
m ZM (A Z)m M . |
(2) |
|
|
H |
n |
|
Подставив в выражение (2) числовые значения масс (согласно данным справочных табл. 17 и 19), получим
m [3 1,00783 (7 3) 1,00867 7,01601] 0,04216 а.е.м.
Энергией связи Е ядра называется энергия, которая в той или иной форме выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов.
В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии
E c2 m, |
(3) |
где с – скорость света в вакууме.
Коэффициент пропорциональности с2 может быть выражен двояко:
c2 (3 108 )2 9 1016 м2/с2
|
с |
2 |
|
E |
16 |
или |
|
|
|
9 10 Дж/кг. |
|
|
|
m
Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то
c2 931 МэВ/а.е.м.
С учётом этого формула (3) примет вид
E 931 m, МэВ. |
(4) |
Подставив ранее найденное значение дефекта массы ядра в формулу (4), получим
E 931 0,4216 39,2 МэВ.
59
5.ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1.Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением S =A+Bt2, где А=8 м; В= 2 м/с2.
Найти момент времени t, когда нормальное ускорение точки аn= 9 м/с2, скорость v, тангенциальное а и полное а ускорения точки в этот момент времени.
2. Две материальные точки движутся согласно уравнениям х1 =
=А1t + В1t2 + С1t3 и х2 = А2t + В2t2 + С2t3, где А1 = 4 м/с; B1 = 8 м/с2;
С1= 16 м/с3; А2 = 2 м/с; B2= 4 м/с2; С2 = 1 м/с3. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v1 и v2 точек в этот момент.
3. Движения двух материальных точек выражаются уравне-
ниями х1=А1 + В1t+ С1t2 и х2=А2 + В2t+ С2t2, где А1=20 м; B1=2 м/с;
С1= 4 м/с2; А2=2 м; B2=2 м/с; С2=0,5 м/с2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?
4. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид х = Аt + Вt3, где А = 3 м/с; B = 0,06 м/с3. Найти
скорость vи ускорение точки в момент времени t1=0 и t2=3 с. Каковы средние значения скорости и ускорения за первые 3 с движения?
5. Точка движется по прямой согласно уравнению х=Аt + Вt3, где
А=6 м/с; B=0,125 м/с3. Определить среднюю скорость 
S
точки в t
интервале времени от t1=2 c до t2=6 с.
6.Колесо турбины радиусом 1 м из состояния покоя приводят во вращение, при этом за одну минуту при равноускоренном движении оно достигло угловой скорости 24 рад/с. Определить угловое ускорение; число оборотов, которое сделает колесо за это время; линейную скорость точек обода колеса при этой угловой скорости.
7.Материальная точка движется в плоскости XY согласно уравнениям x = A1 + B1t + C1t2 и y = A2 + B2t + C2t2, где B1 = 7 м/с;
60