физика акимов (АДб)

24. Импульс частицы и его связь с кинетической энергией T:

где m0 – масса покоя частицы; m – релятивистская масса; v– ско-

рость частицы; c – скорость света в вакууме; E0 – энергия покоя частицы (E0 = m0 c2).

3.7. Физика атома. Физика твёрдого тела

1. Энергия Ферми в металле при T = 0 K

F 2 (3 2 n)2/3,

2m

где n – концентрация электронов в металле.

2. Полупроводники. Удельная собственная проводимость полупроводников

γ = γ0exp( E / (2k T)),

где E – ширина запрещённой зоны; γ0 – константа. 3. Сила тока в p-n переходе

I I0[exp(eU /kT ) 1],

где I0 – предельное значение силы обратного тока; U – внешнее напряжение, приложенное к p-n переходу.

4. Контактные и термоэлектрические явления. Внутренняя контактная разность потенциалов

где m – масса электрона; vn – скорость электрона на n-й орбите; rn – радиус n-й стационарной орбиты; – приведенная постоянная Планка; n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3,…).

41

6. Радиус n-й стационарной орбиты

rn = a0 n2 ,

где a0 – первый боровский радиус.

7. Энергия электрона в атоме водорода

En = Ei / n2 ,

где Ei – энергия ионизации атома водорода.

8. Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода, равна

где n1 и n2 – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми и совершается переход электрона в атоме.

9. Сериальная формула атома водорода:

1/λ = R (1/n12 – 1/n22),

где n1 и n2 – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми и совершается переход электрона в атоме; λ – длина волны излучения или поглощения атомом; R – постоянная Ридберга.

3.8. Физика атомного ядра и элементарных частиц

1. Закон радиоактивного распада:

dN = λ N dt или N = N0 e-λt ,

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; N – число ядер, не распадающихся к моменту времени t; N0 – число ядер в начальный момент (t = 0); λ – постоянная радиоактивного распада.

2.Число ядер, распавшихся за время t, равно

N = N0 – N = N0 (1 – e-λt ).

3.В случае, если интервал времени t, за который определяется

число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада T1/2 , то число распавшихся ядер можно определить по формуле

N = λ N t.

4. Зависимость периода полураспада от постоянного радиоактивного распада:

T1/2 = (ln2) / λ = 0,693 / λ.

42

5.Среднее время жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в e раз, определяется по формуле

τ= 1/ λ.

6.Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе, рав-

но

N =( m NA) / M,

где m – масса изотопа; M – молярная масса; NA – постоянная Авогадро.

7. Активность радиоактивного изотопа

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; A0 – активность изотопа в начальный момент времени.

8.Удельная активность изотопа a = A / m.

9.Дефект массы ядра

m = [Z mp + (A – Z)mn] – mя ,

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре); A – массовое число

(число нуклонов в ядре); (A – Z) – число нейтронов в ядре; mp – масса протона; mn – масса нейтрона; mя – масса ядра.

10. Энергия связи ядра

Eсв = m c2,

где m – дефект массы ядра; c – скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна Eсв = =931 m, где дефект массы m в а.е.м; 931 – коэффициент пропорциональности (1 а.е.м. – 931 МэВ).

43

4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси

x имеет вид x A B t C t3, где А = 2 м, В = 1 м/с, С = 0,5 м/с3. Найти координату x, скорость v и ускорение а точки в момент времени t = 2 c.

Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

x (2 1 2 0,5 23) 0 м.

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени:

v dx B 3Ct2 . dt

В момент времени t = 2 с

v (1 3 0,5 22) 5 м/c.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

a dv 6Ct. dt

В момент времени t = 2 c

a 6( 0,5) 2 6 м/c2.

Пример 2. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на S = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии в механике, но прежде проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел.

При зарядке пистолета сжимается пружина. При этом совершается работа А1, в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию П1. При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию Т2 пули, а затем при подъеме ее на высоту h превращается в потенциальную энергию П2 пули. Если пренебречь потерями энергии в этой «цепочке» энер-

44

гетических превращений, то на основании закона сохранения энергии можно записать

Выразим работу А1. Сила F1, сжимающая пружину, является переменной: в каждый момент она по направлению противоположна силе упругости F и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации, определяется по закону Гука:

F = k х,

где х абсолютная деформация пружины.

Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на dx выразится формулами:

dА1 = F1 dх; dА1 = k x dx.

Интегрируя в пределах от 0 до S, получим

Потенциальная энергия пули на высоте h определится по формуле

Проверим, дает ли полученная формула единицу измерения жесткости k. Для этого в правую часть формулы (4) вместо величин подставим их единицы измерения (единицу измерения какой-либо величины принято обозначать символом этой величины, заключенной в квадратные скобки):

45

Убедившись, что полученная единица (1 Н/м) является единицей измерения жесткости, можем подставить в формулу (4) числовые значения и произвести вычисления:

Пример 3. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массой m2.

где Т1 кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Т2 скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения надо найти u2 из законов сохранения: 1) закона сохранения импульса; 2) закона сохранения механической энергии. Пользуясь этими законами, найдём u2. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, получим

По закону сохранения механической энергии

Решая совместно уравнения (2) и (3), найдём

u2 2m1v1 .

m1 m2

Подставив это выражение u2 в формулу (1) и сократив на v1 и m1, получим

46

Из полученного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами.

Пример 4. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой m1 = 180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n =10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой m2= 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю. При этом условии момент импульса Lz системы платформа человек остается постоянным:

где Jz момент инерции платформы с человеком относительно оси z;угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому

Jz = J1 + J2 ,

где J1 момент инерции платформы; J2 момент инерции человека. С учетом этого равенство (1) примет вид

(J1 J2 ) ω const

где значения величин без знака штриха относятся к начальному состоянию системы, со знаком штриха к конечному состоянию.

Момент инерции платформы (сплошного диска) относительно оси z при переходе человека не изменяется.

J1 J1 1m1 R2.

2

47

Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном положении (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент инерции человека

J2 = m2 R2.

Подставим в формулу (2) найденные выражения моментов инерции, а также выразим начальную угловую скорость вращения платформы с человеком через частоту вращения n ( =2 n) и конеч-

Пример 5. Точка совершает гармонические колебания с частотой =10 Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение xmax=1 мм. Написать уравнение колебаний точки.

Решение. Уравнение колебаний точки можно записать в виде

где А амплитуда колебаний; циклическая частота; t время; 1 и 2 начальные фазы, соответствующие форме записи (1) и(2).

48

Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. Если использовать форму (1), то начальную фазу можно определить из условия:

в момент времени t=0

Изменение фазы на 2 не изменяет состояния колебательного движения, поэтому можно принять

иx x cos2π v t ,

max

где xmax = 1 мм =10-3 м; =10 Гц.

Пример 6. Два точечных электрических заряда Q1=1 нКл и Q2= 2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить напряжённость E и потенциал поля, создаваемого

49

этими зарядами в точке А, удалённой от заряда Q1 на расстояние r1= 9 см и от заряда Q2 на r2 = 7 см.

Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряжённость Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряжённостей Е1 и Е2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

Е Е1 Е2 .

Напряжённость электрического поля, создаваемого в воздухе первым зарядом ( 1),

Q

Вектор Е1 направлен по силовой линии от заряда Q1, так как заряд Q1 положителен; вектор Е2 направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как заряд Q2 отрицателен.

Абсолютное значение вектора Е найдём по теореме косинусов:

где угол между векторами Е1 и Е2, который может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d:

2r1 r2

В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos вычислить отдельно:

cos (0,1)2 (0,09)2 (0,07)2 0,238. 2 0,09 0,07

Подставляя выражение E1 из формулы (1) и E2 из формулы (2) в

50