Часть 2 Логические исчисления
ЗАДАНИЕ
Вариант 7.
Доказать или опровергнуть данные клаузы, используя анализ таблицы истинности; метод от противного и метод резолюций
╞
;
╞
.
Ввести необходимые обозначения и записать каждое из высказываний как формулу исчисления предикатов. Обосновать справедливость (ложность) заключения при помощи диаграмм Эйлера-Венна.
Некоторые писатели – женщины. Все женщины любят цветы. Следовательно, среди тех, кто любит цветы, есть писатели.
Пусть предметная область
,
«x
< y».
Рассмотреть все варианты одновременной
квантификации переменных двухместного
предиката
.
Определить истинность получаемых
выражений.
РЕШЕНИЕ
1.1
╞
;
Попытаемся доказать данную клаузу методом резолюций:
Логическое следствие
верно.
Докажем данную клаузу методом от противного:
;
Положим :
и
=0
A=1,
C=1,
B=0,
D=0
Не удалось
обратить все посылки в единицу, логическое
следствие верно
Докажем данную клаузу методом анализа таблицы истинности:
|
A |
B |
C |
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
(1 |
1) |
0 |
0 |
1← |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
(1 |
1) |
1 |
1 |
1← |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
(1 |
1) |
1 |
1 |
1← |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
(1 |
1) |
1 |
1 |
1← |
Логическое
следствие
истинно на всех интерпретациях, на
которых одновременно истинны все
гипотезы
,
Логическое
следствие верно
1.2
╞
.
Попытаемся доказать данную клаузу методом резолюций:
╞
╞
╞
╞
╞
╞
╞
Логическое
следствие неверно
Опровергнем данную клаузу методом от противного:
1.
2.
Логическое
следствие не верно
3.
Опровергнем данную клаузу, используя анализ таблицы истинности
|
A |
B |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
(1 |
1 |
1) |
0 |
0 |
0← |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
(1 |
1 |
1) |
0 |
0 |
0← |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
(1 |
1 |
1) |
1 |
0 |
1← |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
(1 |
1 |
1) |
1 |
0 |
1← |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Логическое
следствие
истинно
не на всех интерпретациях, на которых
одновременно истинны все гипотезы
,
,
Логическое
следствие не верно
2. Некоторые писатели – женщины. Все женщины любят цветы. Следовательно, среди тех, кто любит цветы, есть писатели.
Введем следующие обозначения:
U - Вселенная;
A(x) – х женщина;
B(x) - х писатель;
C(x) - х любит цветы;
Получим следующее логическое следствие:
Обоснуем справедливость (ложность) заключения при помощи диаграмм Эйлера-Венна:
A - Множество женщин;
B - Множество писателей;
С - Множество любителей цветов;
Таким
образом:
-
Верное рассуждение.
3. Пусть предметная
область
,
«x
< y».
Рассмотрим все варианты одновременной квантификации переменных двухместного предиката . Определим истинность полученных результатов.
-"Существует
два натуральных числа, таких что, х<y"
- Тождественная Истина.
Пример " у=х+1 х=любое число"
-"Любые два
натуральных числа таковы, что одно из
них меньше другого". Тождественная
Ложь.
Пример "х=1 у=1"
-"Существует
такое натуральное х, которое меньше
всякого натурального y".
Тождественная Ложь.
Пример "x=1
у=1"
-"Для всякого
натурального у можно найти натуральное
х, которое меньше него". Тождественная
Ложь.
Пример "х=1
у=1"
-" Для всякого
натурального числа х найдется натуральное
число, у которое больше него".
Тождественная Истина.
Пример "х=Любое число у=х+1, предметная
область бесконечно велика"
-" Существует
натуральное число y,
больше любого натурального числа х".
Тождественная Ложь.
Пример " х=Любое число у=1"