2 5 7 6 2 -2 8 3 2 5 7 6 2 -2 8 3 2 5 7 6 2 -2 8 3 2 5 7 6 2 -2 8 3 2 5 7 6 2 -2 8 3 2 5 7 6 2 -2 8 3 2 10 10 3 2

d^≤2(3) = min(∞; 6+2) = 8

d^≤2(4 = min(∞; 6+2;1+7) = 8

d^≤2(5) = min(∞; 1+3) = 4

d^≤2(6) = min(∞; 7+2;1+6) = 7

d^≤2(7) = min(∞; 6-1;1+1) = 2

d^≤2(9) = min(∞; 7+2;1+8) = 9

d^≤2(10) = min(1; 6+1;1+9) = 1

8

8

9

d^≤3(2) = min(6;8+3;8+7;4+5;7+5;9+5) = 6

d^≤3(3) = min(8;8+7) = 8

d^≤3(4) = min(8;4-2) = 2

d^≤3(5) = min(4;2+3;9+10) = 4

d^≤3(6) = min(7;8+2;4+2) = 6

d^≤3(7) = min(2;8-2;7+3;9+2) = 2

d^≤3(8) = min(7; 8+2;2+5;9+3) = 7

d^≤3(9) = min(9;8+3;2+2) =4

d^≤3(10) = min(1;2+3;9+7) = 1

d^≤4(2) = min(6;2+7;6+5;4+5) = 6

d^≤4(3) = min(8;2+7) = 8

d^≤4(5) = min(4;4+10) = 4

d^≤4(7) = min(2;2-2;6+3;4+7) = 0

d^≤4(8) = min(7;2+2;4+3) = 7

d^≤4(10) = min(1;4+7) = 1

d^≤5(5) = min(4;0+3) = 3

d^≤5(6) = min(6;4+2) = 6

d^≤5(8) = min(4;0+5) = 5

d^≤5(9) = min(4;0+2) = 2

d^≤5(10) = min(1;0+3;4+9) = 1

d^≤6(2) = min(6;3+5;2+5) = 6

d^≤6(4) = min(2;3-2) = 1

d^≤6(5) = min(3;2+10) = 3

d^≤6(6) = min(6;3+2) = 6

d^≤6(7) = min(0;2+7) = 0

d^≤6(8) = min(4;2+3) = 4

d^≤6(10) = min(1;2+7) = 1

d^≤7(2) = min(6;3+5;2+5) = 6

d^≤7(3) = min(8;1+7) =8

d^≤7(7) = min(0;1-2;5+3) = -1

d^≤7(8) = min(4;1+2) = 3

d^≤8(5) = min(3;-1+3) = 2

d^≤8(6) = min(5;3+2) = 5

d^≤8(8) = min(3;-1+5) = 3

d^≤8(9) = min(2;-1+2;3+10) = 1

d^≤8(10) = min(1;-1+3;3+9) = 1

d^≤9(2) = min(6;2+5;1+5) = 6

d^≤9(4) = min(1;2-2) = 0

d^≤9(5) = min(2;1+10) = 2

d^≤9(6) = min(5;2+2) = 4

d^≤9(7) = min(-1;1+7) = -1

d^≤9(8) = min(3;1+3) = 3

d^≤9(10) = min(1;1+7) = 1

d^≤10(2) = min(6;0+7;5+4) = 6

d^≤10(3) = min(8;0+7) =7

d^≤10(7) = min(0;0-2;4+3) = -2

d^≤10(8) = min(3;0+2) = 2

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
≤1	0	6	∞	∞	∞	∞	∞	7	∞	1
≤2	0	6	8	8	4	7	2	7	9	1
≤3	0	6	8	2	4	6	2	7	4	1
≤4	0	6	8	2	4	6	0	4	4	1
≤5	0	6	8	2	3	6	0	4	2	1
≤6	0	6	8	1	3	5	0	4	2	1
≤7	0	6	8	1	3	5	-1	3	2	1
≤8	0	6	8	1	2	5	-1	3	1	1
≤9	0	6	8	0	2	4	-1	3	1	1
≤10	0	6	7	0	2	4	-2	2	1	1

Задание 3. Алгоритм Флойда: Определить кратчайшие пути между всеми парами вершин графа, используя алгоритм Флойда. Построить деревья кратчайших путей (матрица 2).

														Матрица 2
				1				2				3			4	5
1				−				3				−			-1	8
2				−				−				9			6	−
3				8				−				−			1	−
4				−				−				1			−	2
5				7				-1				−			3	−

D0	1	2	3	4	5
1	0	9	∞	-1	8
2	∞	0	9	6	∞
3	8	∞	0	1	∞
4	∞	∞	1	0	2
5	7	-1	∞	9	0

= min(∞; 8+3) = 11

= min(1; 8-1) = 1

= min(∞; 8+8) = 16

= min(-1; 7+3) = -1

= min(3; 7-1) = 3

D1	1	2	3	4	5
1	0	3	∞	-1	8
2	8	0	9	6	∞
3	8	11	0	1	16
4	∞	∞	1	0	2
5	7	-1	∞	3	0

= min(∞; 3+9) = 12

= min(-1; 3+6) = -1

= min(1; 11+6) = 1

= min(∞; 7+9) = 16

= min(3; 7+6) = 3

D2	1	2	3	4	5
1	0	3	12	-1	8
2	∞	0	9	6	∞
3	8	11	0	7	∞
4	∞	∞	1	0	2
5	7	-1	16	3	0

= min(3; 12-11) = 3 = min(-1; 12+7) = -1 = min(∞; 9+8) = 17 = min(6; 9-1) = 6 = min(∞; 1+8) = 9 = min(∞; 1+11) = 12

= min(7; 16+8) = 7 = min(-1; 16+11) = -1 = min(3; 16+7) = 3

D3	1	2	3	4	5
1	0	3	12	-1	8
2	17	0	9	6	∞
3	8	11	0	7	∞
4	9	12	1	0	2
5	7	-1	16	3	0

= min(3; -1+12) = 3 = min(12; -1+1) = 0 = min(8; -1+2) = 1 = min(17; 6+9) = 15 = min(9; 6+1) = 7 = min(∞; 6+2) = 8

= min(8; 7+9) = 8 = min(11; 7+12) = 11 = min(∞; 7+2) = 9 = min(7; 3+9) = 7 = min(-1; 3+12) = -1 = min(16; 3+1) = 4

D4	1	2	3	4	5
1	0	3	0	-1	1
2	15	0	7	6	8
3	8	11	0	7	9
4	9	12	1	0	2
5	7	-1	16	3	0

= min(3; 1-1) = 0 = min(0; 1+4) = 0 = min(-1; 1+3) = -1 = min(15; 8+7) = 15 = min(7; 8+4) = 7 = min(6; 8+3) = 6

= min(8; 9+7) = 8 = min(11; 9-1) = 8 = min(7; 9+3) = 7 = min(9; 2+7) = 9 = min(12; 2-1) = 1 = min(1; 2+4) = 1

D5	1	2	3	4	5
1	0	0	0	-1	1
2	15	10	7	6	8
3	8	8	0	7	9
4	9	1	1	0	2
5	7	-1	4	3	0

Деревья:

1) 5)

2)

3)

4)

Задание 4. Метод ветвей и границ: Отыскать гамильтонов контур наименьшей длины, пользуясь алгоритмом ветвей и границ (матрица 3).

										Матрица 3
		1		2		3		4		5	6	7
1		∞		14		7		15		8	15	10
2		2		∞		9		2		15	5	12
3		12		1		∞		13		10	4	4
4		13		6		1		∞		15	15	12
5		8		14		12		2		∞	3	5
6		6		11		4		11		5	∞	4
7		3		12		10		3		15	7	∞

	1	2	3	4	5	6	7
1	∞	14	7	15	8	15	10	7
2	2	∞	9	2	15	5	12	2
3	12	1	∞	13	10	4	4	1
4	13	6	1	∞	15	15	12	1
5	8	14	12	2	∞	3	5	2
6	6	11	4	11	5	∞	4	4
7	3	12	10	3	15	7	∞	3

	1	2	3	4	5	6	7
1	∞	7	0	8	1	8	3
2	0	∞	7	0	8	3	5
3	11	0	∞	12	9	3	3
4	12	5	0	∞	14	14	11
5	6	12	10	0	∞	1	3
6	2	7	0	7	1	∞	0
7	0	9	7	0	12	4	∞
					1	1

Минимальная длина контуров, содержащая дугу при ветви (3,2) равна 22

Минимальная длина контуров не содержащая дугу при ветви (3,2) равна 22+8=30

	1	2	3	4	5	6	7
1	∞	7	03	8	03	7	3
2	00	∞	7	00	7	2	5
3	11	08	∞	12	8	2	3
4	12	5	05	∞	13	13	11
5	6	12	10	00	∞	03	3
6	2	7	00	7	00	∞	03
7	00	9	7	00	11	3	∞

Минимальная длина контуров, которая содержит дугу при ветви (4,3) будет равна 22

Минимальная длина контуров не содержащая дугу при ветви (4,3) равна 22+12=34

	1	3	4	5	6	7
1	∞	00	8	00	7	3
2	02	∞	00	7	2	5
4	12	012	∞	13	13	11
5	6	10	00	∞	02	3
6	2	00	7	00	∞	03
7	00	7	00	11	3	∞

Минимальная длина контуров, которая содержит дугу при ветви (1,5) будет равна 22

Минимальная длина контуров не содержащих дугу при ветви (1,5) равна 22+3=26

	1	4	5	6	7
1	∞	8	03	7	3
2	02	∞	7	2	5
5	6	01	∞	02	3
6	2	7	00	∞	03
7	00	00	11	3	∞

Минимальная длина контуров, которая содержит дугу при ветви (6,7) будет равна 22

Минимальная длина контуров не содержащая дугу при ветви (6,7) равна 22+5=27

	1	4	6	7
2	02	∞	2	5
5	∞	00	02	3
6	2	7	∞	05
7	00	00	3	∞

Минимальная длина контуров, которая содержит дугу при ветви (5,6) будет равна 22

Минимальная длина контуров не содержащая дугу при ветви (5,6) равна 22+2=24

	1	4	6
2	02	∞	2
5	∞	00	02
7	00	00	∞

Минимальная длина контуров, которая содержит дугу при ветви (5,6) будет равна 22.

	1	4
2	0	∞
7	∞	0

4

3

7

1

5

2

6

8 + 3 + 4 + 3 + 1 + 1 + 2 = 22

4→3→2→1→5→6→7

22

M₁₀

5,6

M₁

3,2

M₈

6,7

M₉

5,6

M₅

1,5

M₆

1,5

M₃

4,3

M₄

4,3

M₂

3,2

M₇

6,7

U

22

22

22

22

22

30

24

25

27

24

Глава 2. Логические исчисления

Вариант 7

Задание 1. Доказать или опровергнуть данные логические следствия, используя два метода: анализ таблицы истинности; от противного.

• ╞;

• ╞.

Построение таблиц истинности:

1. ╞

A	B	C	D
0	0	0	0	1	1	0	0	1
0	0	0	1	1	0	0	1	0
0	0	1	0	1	0	1	0	0
0	0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	1	1
0	1	1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	0	1	1	0	0
1	0	0	1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	0	1	0	0
1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Формула ,является логическим следствием.

A	B	C
0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0
0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0
0	1	0	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1
0	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1
1	0	0	0	1	1	1	0	1	1	0	1	1
1	0	0	0	1	1	1	0	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0
1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0

╞.

Так как в первой строке все посылки истинны, а заключение ложь, то формула не является логическим следствием.