5.1.2. Некоторые виды графов

Определение. Граф такой, что любые две его вершины смежны, называетсяполнымграфом. Полный граф ср вершинами обозначается. На рис. 6 показаны графы.

Рис. 6

Степень каждой вершины графа К_рравна. Следовательно, число ребер графаК_рравно.

Определение. Граф называетсярегулярным степени k, если все его вершины имеют одну и туже степеньk. На рис. 7 приведены примеры регулярных графов степени 3. Всякий полный графК_р– это регулярный граф степени.

Рис.7

Определение.Графс пустым множеством ребер называетсявполне несвязным графом. Вполне несвязный граф срвершинами будем обозначать черезN_p. ГрафN₁, состоящий из единственной вершины, называетсятривиальнымграфом.

5.1.4. Маршруты, цепи, циклы

Определение. Маршрутомназывают последовательность вершин и ребер, в которой любые два соседних элемента инцидентны.

В случае простого графа маршрут однозначно определяется последовательностью вершин или последовательностью ребер. Если маршрут в простом графе задан последовательностью вершин v₀, v₁,, … , v_k, то вершины v₀, v_k называютконцами маршрута. Еслиv₀ = v_k, то маршрут называютзамкнутым,в противном случае –незамкнутым.

Определение. Маршрут, в котором нет повторений ребер, называетсяцепью. Цепь, в которой все вершины различны, кроме, может быть, ее концов называетсяпростой. Замкнутая простая цепь называетсяпростым циклом.Про цепь говорят, что она соединяет свои концы.

Определение. Простой цикл с р вершинами обозначается Ср . Например, граф – это одновременно граф с3.

Определение.Ориентированная простая цепь называетсяпутем, ориентированный простой цикл называютконтуром.

Рассмотрим граф на рис. 11. Маршруты в этом графе будем задавать последовательностью вершин.

Пример маршрута:1 – 2 – 3 – 5 – 7 – 4 – 3 – 5 – 6 – 2 – 3 – 4.

Пример замкнутого маршрута:3 – 4 – 5 – 7 – 3 – 4 – 1 – 3.

Пример цепи, соединяющий вершины 6 и 8:6 – 5 – 3 – 4 – 5 – 7 – 3 – 2 – 6 – 8.

Пример цикла:5 – 3 – 2 – 6 – 5 – 7 – 4 – 5.

Примеры простых цепей, соединяющих вершины 1 и 6: 1 – 3 – 4 – 5 – 6; 1 – 2 – 6; 1 – 4 – 7 – 8 – 6.

Примеры простых циклов:3 – 5 – 7 – 4 – 3; 1 – 2 – 6 – 8 – 7 – 4 – 1;

1 – 2 – 6 – 5 – 7 – 3 – 1.

Рис. 11

Рассмотрим ориентированный граф на рис. 12. Ориентированные маршруты в этом графе будем задавать последовательностью вершин, проходимых в направлении ориентации дуг.

Рис. 12

Пример ориентированного маршрута:12352685.

Пример замкнутого ориентированного маршрута:1452685231.

Пример ориентированной цепи:457852.

Пример замкнутой ориентированной цепи: 68523156.

Пример пути, соединяющего вершины 3 и 9:314569.

Пример контура: 5745.

5.2.2. Матрица смежности графа

Матрица смежности неориентированного графа.

Пусть – граф и |V| =p.

Определение. Матрицей смежности неориентированногографаназывается квадратная матрица срстроками и ср столбцами. Элементы матрицы определяются правилом:

Матрицу смежности обозначим буквой А.

Пример графа и его матрицы смежности показан на рис. 9.

j i	1	2	3	4	5	6
1	0	1	0	0	0	0
2	1	0	1	0	1	0
3	0	1	0	1	1	1
4	0	0	1	0	1	1
5	0	1	1	1	0	1
6	0	0	1	1	1	0

Рис. 9

Свойства матрицы смежности неориентированного графа.

• Число единиц в i-й строке равно степени i-ой вершины, i = 1, 2, …, р.

• Число единиц в -м столбце равно степени -ой вершины, = 1, 2, …, р.

• Число единиц в матрице равно удвоенному числу ребер.

• <=> , матрица смежности симметрична относительно главной диагонали, она совпадает со своей транспонированной.

Матрица смежности ориентированного графа.

Это квадратная матрица, в которой р строк и р столбцов, элементы которой определяются правилом

Пример орграфа и его матрицы смежности показан на рис. 10.

	1	2	3	4	5	6
1	0	1	1	1	0	0
2	0	0	1	0	1	0
3	0	1	0	1	0	0
4	0	0	0	0	0	1
5	0	0	1	0	0	1
6	0	0	0	1	1	0

Рис. 10

Свойства матрицы смежности ориентированного графа.

• Число единиц в i-ой строке равно степени выходаi-ой вершины,i= = 1, 2, … ,р.

• Число единиц в -м столбце равно степени входа-ой вершины, = 1, 2, …,р.

• Число единиц в матрице равно числу дуг в графе.

• Матрица смежности не симметрична относительно главной диагонали.