Значения квантилей αст функций распределения Стьюдента

n	Значения αст при Фст
	0,80	0,90	0,95	0,99	0,995	0,999
3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 30 ∞	1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,363 1,350 1,341 1,333 1,328 1,316 1,282	2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83 1,80 1,77 1,75 1,74 1,73 1,70 1,64	4,30 3,18 2,77 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,20 2,16 2,13 2,11 2,09 2,04 1,96	9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 2,50 3,36 3,25 3,11 3,01 2,95 2,90 2,86 2,75 2,58	14,10 7,50 5,60 4,77 4,32 4,03 3,83 3,69 3,50 3,37 3,29 3,22 3,17 3,20 2,81	31,60 12,94 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78 4,49 4,22 4,07 3,96 3,88 3,65 3,29

5.2 Порядок выполнения расчетов среднего значения и доверительного интервала

После получения результатов измерений Х_i в виде статистического ряда его анализируют.

1. Исключают систематические ошибки и находят грубые отклонения х_max их_min, определяютS, вычисляют,. Затем исключаютх_max их_min , еслиили, получают новый статистический ряд из новыхn-1 илиn-2 членов.

2. Находят среднеарифметическое , погрешность и среднеквадратичное отклонениеSочищенного ряда.

3. Вычисляют S₀[формулы (5.6); (5.12)] иК_в[формула (5.4)].

4. При n≥30 задаются доверительной вероятностью и находят квантильФ(t)по нормальному закону распределения, а приn‹30 находят квантильα_ст по распределению Стьюдента.

5. Устанавливают действительное значение исследуемой величины.

.

6. Оценивают относительную погрешность результатов измерений при заданной вероятности Ф(t) или Ф(α). [формула (5.7)]

.

7. Вычисляют доверительный интервал [формулы (5.4); (5.8)].

Пример: имеется 18 измерений: 67, 82, 68, 80, 69, 70, 71, 78, 74, 75, 76, 77, 73, 79, 68, 81, 67, 92, необходимо оценить их качество.

1. Нет ли грубых ошибок?

, .

Так как x+3S=74,83+3∙6,58=94,57  92, то измерение 92 не является грубым промахом и x-3S=74,83-3∙6,58=54,34 ≤ 67 тоже.

2. Определим доверительный интервал:

.

При Ф(α)=0,95 и α_ст=2,11 ,

74,83-3,27 ≤ ≤74,83+3,27,

71,56 <<78,1

3. Коэффициент вариации %

4. Относительная погрешность:

%

5.3 Определение минимального количества измерений свойств материалов

Статистические методы применяют для определения свойств новых (ранее неизвестных) материалов или введения новых оценивающих параметров, когда еще не собран достаточный статистический материал [21].

Если в выборке значения x_iравномерно распределены относительносреднеарифметического значения, тоn_min=5…7, то есть если число значений выборки, по величине меньших, равно числу значений выборки, большихи всеx_iне выходят за границы доверительного интервала, тоn_minможно принять 5…7, если нет, то все зависит от гистограммы и закона распределения.

Для дорожно-строительных материалов, свойства которых нормированы стандартами, а также стандартизированы методы отбора проб и их количество, обычно число проб-образцов не превышает двух-трех и за истинное значение принимается среднее:

= ∑ x_i /n=(x₁+ x₂ +. . . + x_i) /n,(5.13)

В тех случаях, когда свойство не стандартизировано или необходимо изменить карьер добычи материала, следует производить отбор проб случайным образом. Для этого необходимо взять 5 проб из разных мест наугад и построить график распределения (рис. 16).

Нанести на нем границы доверительного интервала с квантилем распределения Стьюдента. Если все значения измерений попадают в доверительный интервал, то полученное значение принимается.

Если нет, то берут еще 5 новых проб и наносят их результаты на ранее построенное распределение, проводят линию нового среднего значения параметра и границы нового доверительного интервала. Если границы доверительных интервалов отличаются не более чем на 5%, то принимают за истинное общее среднее значение десяти измерений по ранее описанной методике. Если границы интервала отличаются на большую величину, то определение повторяют [22].