Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алматинский университет энергетики и связи

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

toe

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2015

Размер:

7.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

а)

б)

обход

в)

г)

I12

U23

обход

обх. R2

Рис.2.2

б) Цепь с параллельным соединением сопротивлений (рис.2.2,б). В такой цепи напряжение одинаково на всех её сопротивлениях, но токи в них в общем случае различны. Применяем к такой цепи первый закон Кирхгофа для узла

«а», получаем: I − I1 − I 2 = 0 или
I = I1 + I 2 ,	(2.8)
где в соответствии с формулой (2.1) I1 =U / R1; I 2 =U / R2 .
Токи I1 и I2 можно выразить и через проводимость G в соответствии с
формулами (2.2) и (2.1 а)
I1 =UG1 , где G1 =1/ R1; I 2 =UG2 , где	G2 =1/ R2 .
Тогда I =UG1 +UG2 =U (G1 + G2 ) =UGЭ , где
GЭ = G1 + G2 =1/ RЭ.	(2.9)
Таким образом, в параллельной цепи постоянного тока общий ток I есть

сумма токов, а общая проводимость GЭ цепи есть сумма проводимостей всех ее

ветвей. Общее сопротивление цепи из двух параллельных ветвей определяется
формулой (2.9)	1/ RЭ =1/ R1 +1/ R2 , откуда получаем
	RЭ =	1		=	R1 R2			.	(2.10)

		G	Э		R	+ R	2
				1
в) Цепь	с последовательно-параллельным соединением								сопротивлений

(рис.2.2,в). При расчете такой цепи применимы как первый, так и второй законы Кирхгофа. Для узла «а», например, в соответствии с формулой (2.8)

имеем I1 = I 2 + I3 , а для левого контура, используя	формулу (2.6) при
указанном направлении обхода, получаем U =U1 +U 23 ,	где U23 – напряжение

на двух параллельно соединенных сопротивлениях R2 и R3. Таким образом, исследуемая цепь путем упрощений может быть сведена к последовательной цепи (рис.2.3,а).

а)

б)

R23

I12

U23

R12

Рис.2.3

R2 R3

Общее сопротивление этой цепиR

= R + R

= R +

(2.11)

+ R3

г) Цепь с параллельно-последовательным соединением сопротивлений

(рис.2.2,г). Для расчета такой цепи следует использовать как первый, так и второй законы Кирхгофа. Например, для узла «а» в соответствии с формулой (2.8) имеем I = I12 + I3 , а для левого контура цепи (указано принятое

направление его обхода) в соответствии с формулой (2.6) получаем U =U1 +U 2 = I12 (R1 + R2 ) = I12 R12 , где R12 = R1 + R2 . Следовательно, эта цепь путем упрощений может быть сведена к параллельной цепи (рис.2.3,б). Ее

проводимость	определяется в соответствии с формулой (2.9)	GЭ = G12 + G3 ,
где G12 =1/ R12	и G3 =1/ R3 , а общее сопротивление − в	соответствии с

формулой (2.10).

Основные результаты, полученные при исследовании вышеозначенных цепей постоянного тока, суммированы в табл. 2.1.

2.5. Примеры расчета цепей постоянного тока с одним источником энергии

Пример 2.1. Для цепи, изображенной на рис.2.4, известны величины приложенного постоянного напряжения U = 22 В и сопротивлений всех ее ветвей: R1 = 1 Ом; R2 = 2 Ом; R3 = 3 Ом. Определить показания магнитоэлектрических амперметров и вольтметра, включенных в цепь .

U23

обход

A1 Рис.2.4

Магнитоэлектрические амперметры и вольтметры измеряют постоянные токи и напряжения. Амперметр включается последовательно с сопротивлением, а вольтметр - параллельно сопротивлению.

Т а б л и ц а 2.1

Цепи постоянного тока с одним источником энергии

и формулы для их расчета

№

Схемы цепей

Закон Ома и законы

Сопротивления и

п/п

Кирхгофа

проводимости

U = IR ;

R =U / I ;

I =UG

G =1/ R = I / U

U =U1 +U 2 ;

RЭ = R1 + R2 ;

U 1

U1 = IR1; U 2 = IR2 ;

GЭ =

;

U = IRЭ = I / GЭ

RЭ

R1 + R2

G =

; G

;

I = I1 + I 2 ;

I1 =U / R1 =UG1;

GЭ = G1 + G2

I 2 =U / R2 =UG2 ;

RЭ =

R1 R2

I =U / RЭ =UGЭ

GЭ

R1 + R2

I1 = I 2 + I3 ;

RЭ = R1 + R23 ;

I1 =U / RЭ =UGЭ ;

R23 =1/ G23 =

U23

I 2 =U 23 / R2 =U 23G2 ;

R2 R3

;

I3 =U 23 / R3 =U 23G3 ;

U =U1 +U 23 ;

G =1/

;

1/ R

;

U1 = IR1 U 23 = IR23

G3 =1/ R3

I = I12 + I3 ;

G12 =1/ R12 =

I12

I12 =U / R12 =UG12 ;

=1 / (R1 + R2 );

I3 =U / R3 =U G3 ;

G3 =1/ R3 ;

I =U / RЭ =UGЭ;

GЭ = G12 + G3 ;

U =U1 +U 2 ;

R12 R3

RЭ =1/ GЭ

= I

R ;U

= I

+ R

Решение. а) Для определения показания амперметра А1 предварительно находим общее сопротивление цепи. В соответствии с формулой (2.11) имеем

R	Э	= R +	R2 R3		=1 +	2 3	=1 +	6	= 2,2 Ом.

		1	R2 + R3	2 + 3				5

Тогда по закону Ома			(2.1)	I1 =U RЭ = 22 / 2,2 =10 А. Эта величина

соответствует показанию амперметра А1 .

б) Для определения показаний амперметра A2 надо рассчитать ток в сопротивлении R3: I3 =U 23 / R3 . Для этого предварительно определяем

напряжение U23, приложенное к этому сопротивлению. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для левого контура цепи, приняв направление его обхода по часовой стрелке, получаем U 23 =U −U1 , где U1 = I1R1 =10 В. Тогда

U 23 = 22 −10 =12 В и искомый ток I3 =U 23 / R3 =12 / 3 = 4 А. Его величина и соответствует показанию амперметра А2.

в) Вольтметр V1 измеряет напряжение U1 и его показание составляет 10В; вольтметр V2 измеряет напряжение U23 и его показание составляет 12 В.

г) Проверку решения производим, используя первый закон Кирхгофа для

узла «а» цепи.	В соответствии с формулой (2.3) имеем	I1 − I 2 − I3 = 0	или
I1 = I 2 + I3 = 6	+ 4 =10 А, что совпадает со значением	тока I1 = 10	A,

полученным ранее иным путем. Таким образом, проверка показала, что задача решена верно.

Пример 2.2. Для цепи, показанной на рис.2.5, известны величины приложенного напряжения и сопротивлений всех ветвей: U = 24 B; R1 = 1 Ом; R2 = 1 Ом; R3 = 3 Ом. Требуется определить показания всех амперметров и вольтметров магнитоэлектрической системы, включенных в эту цепь.

А1

I12

А2

обход

Рис.2.5

Решение. а) Находим общее

сопротивление

RЭ

(или

общую

проводимость GЭ) всей цепи. Общее сопротивление в соответствии с формулой

(2.10)

R12 R3

(R1 + R2 ) R3

(1 +1) 3

RЭ =

=1,2 Ом.

R + R

+ R

1 +1 + 3 5

Общая проводимость определяется в соответствии с формулой (2.9)

= G

+ G

= 0,5 + 0,33 = 0,833 См.

1 +1

б) Общий

ток

цепи

I =U RЭ =UGЭ = 24 1,2 = 24 0,83 = 20

A. Эта

величина соответствует показанию амперметра А1.

в) Ток в сопротивлении R3 определяем в соответствии с формулой (2.1):

I3 =U R3 =24 3 = 8 А.

Эта величина соответствует показанию амперметра А2.

г) Рассчитываем напряжения, приходящиеся на каждое из последовательно соединенных сопротивлений R1 и R2. Для этого предварительно находим ток I12, протекающий по этим сопротивлениям,

I12	=		U	=	24	=12 А.
		R1	+ R2
				2
Тогда в соответствии с законом Ома находим, что U1 = I12 R1 =12 1 =12 В
и U 2 = I12 R2 =12 1 =12 В.	Эти		величины соответствуют показаниям

вольтметров V1 и V2.

д) Проверку решения осуществляем, используя 1-й и 2-й законы

Кирхгофа. По первому	закону	Кирхгофа для узла «а» цепи	имеем
I = I12 + I3 =12 + 8 = 20 А.	Это	значение совпадает с величиной	тока I,

полученного в пункте б) данной задачи иным способом. По второму закону Кирхгофа для левого контура цепи (указано принятое направление его обхода) имеем U1 +U 2 −U = 0 или U =U1 +U 2 =12 +12 = 24 В. Это значение

совпадает с величиной заданного напряжения цепи. Таким образом, проверка показала, что задача решена верно.

Пример 2.3. Для цепи, изображенной на рис.2.6, известны сопротивления всех ее ветвей, а также показания электродинамического ваттметра : R1 = 3 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 2 Ом, Р = 32 Вт. Требуется определить показания магнитоэлектрических амперметра А и вольтметра V, включенных на входе цепи.

Решение. Принятое направление токов и напряжений во всех ветвях цепи показано на рис.2.6.

а) Для определения показаний амперметра и вольтметра необходимо расcчитать общий ток I и общее напряжение цепи U. Для этого сначала

определяем ток

I3 и напряжение

на сопротивлении

R3. В соответствии с

формулой (2.5)

имеем

P = I

2 R

откуда I

P R = 32 / 2 = 4 А.

Тогда U23 = P I3 = 32 / 4 =8 В.

обх.

U23

Рис.2.6

Мощность Р измеряется ваттметром, включенным в цепь, как показано на рис.2.6. Прибор имеет обмотку тока и обмотку напряжения. Первая включается в цепь последовательно с сопротивлением R3 , а вторая – параллельно сопротивлению R3.

б)

Определяем ток I2, зная напряжение U23 между точками «а» и «б»

схемы : I2 =U23 / R2 =8/ 4 = 2 А.

в) Общий ток цепи определяем в соответствии с первым законом

Кирхгофа

для узла

«а»:

I1 − I 2 − I3 = 0

или

I1 = I 2 + I3 = 2 + 4 = 6 А.

Эта

величина соответствует показанию амперметра А.

г) Находим напряжение U1 на сопротивлении R1: U1 = I1R1 = 6 3 =18 В.

д) Общее напряжение цепи U находим, воспользовавшись 2-м законом

Кирхгофа, составленным для ее левого контура (на рис.2.6 указано принятое

направление обхода),

U1 +U 23 −U = 0

или

U =U1 +U 23 =18 + 8 = 26 В.

Эта величина соответствует показанию вольтметра V.

Пример 2.4. К схеме, изображенной на рис.2.7,а, приложено постоянное

напряжение U =100 В.

Параметры всех ее

ветвей известны: R1 = 10 Ом;

L = 25·10-3 Гн; R2 = 20 Ом; С = 0,2·10-6 Ф. Требуется определить ток I этой цепи.

а)

б)

А1

А2

А4

Рис.2.7

Решение. В цепи постоянного тока индуктивности закорочены, а ветви с

емкостями

разорваны (2.1). Поэтому расчетная схема цепи приобретает вид,

показанный

на

рис.2.7,б.

При

этих

условиях

общий

ток

цепи

I =U / R2 =100 / 20 = 5 А.

Пример 2.5. К цепи, изображенной на рис.2.8,а, приложено постоянное

напряжение U =75 В.

Параметры всех трех ее ветвей известны:

R1 = 10 Ом;

L1 = 15 мГн; R2 = 5 Ом;

L2=25 мГн; С = 75 мкФ; R3

= 10 Ом . Требуется

определить токи во всех ветвях цепи.

Решение. В цепи постоянного тока в соответствии с 2.1 индуктивности не

имеют сопротивления и как бы закорочены (ток в них есть, а напряжения на

них нет), ветви с емкостями как бы разорваны (напряжение на них есть, а тока

нет). Поэтому в схеме на рис.2.8,а все индуктивности закорачиваем, а ветви с

емкостями разрываем. Тогда исследуемая цепь приобретает вид, показанный на

рис.2.8,б. При этих условиях общий ток цепи I1 = I2 =U (R1 + R2 ) = 75/15 = 5 А.

а)

б)

I1 2

A3 V6

А2

Рис.2.8

2.6. Понятие об установившихся и переходных режимах работы

электрических цепей

Из рассмотрения примеров 2.1-2.5 следует, что если к цепи приложено постоянное напряжение, то во всех элементах этой цепи токи и напряжения также являются постоянными величинами. Такой режим работы цепи называется установившимся. Он возникает только спустя некоторое время после включения цепи под постоянное напряжение. Сразу же после включения в индуктивностях и емкостях цепи начинает изменяться запас энергии магнитного и электрического полей. Этот процесс в силу инерционности электромагнитного поля требует некоторого конечного времени для своего завершения. В течение этого времени токи и напряжения на всех элементах цепи изменяются во времени, несмотря на то, что к цепи приложено неизменное во времени напряжение. Режим работы электрической цепи от момента ее включения под напряжение и до окончания процесса изменения запаса энергии в индуктивностях и емкостях называется переходным процессом. В данном учебном пособии рассматривается расчет линейных электрических цепей только при установившихся режимах их работы. Исследование цепей при переходных процессах осуществляется позже во второй части курса теории электрических цепей.

2.7. Расчет сложных цепей постоянного тока непосредственно по 1-му и 2-му законам Кирхгофа

Сложными называются разветвленные электрические цепи со многими источниками энергии. Пример такой цепи показан на рис.2.9.

Для ее расчета, т.е. для определения токов во всех ее ветвях, необходимо составить систему уравнений по законам Кирхгофа. Общее число уравнений в системе должно соответствовать числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей. Для нашей цепи это пять неизвестных токов. При этом:

R1 R2

E1	I	I4	III	E2
I1	R4	R5
I1	R4	II	I5
		R3	I5
		R3
1	I3	E3		3
	Рис.2.9

а) по первому закону Кирхгофа составляется число уравнений, на единицу меньшее числа узлов цепи, поскольку уравнение для последнего узла есть следствие всех предыдущих уравнений и не дает ничего нового для расчета. В нашем примере по 1-му закону Кирхгофа надо составить 2 уравнения, так как в цепи три узла;

б) по второму закону Кирхгофа составляются все недостающие уравнения для любых произвольно выбранных контуров цепи. В нашем примере по 2-му закону Кирхгофа надо составить три уравнения ( 5 − 2 = 3 ).

Предварительно следует задаться (произвольно) направлением токов во всех ветвях цепи и направлением обхода выбранных контуров. При составлении уравнений по 1-му закону Кирхгофа в соответствии с формулой (2.3) токи, подходящие к узлу, будем считать положительными и брать со знаком (+), а токи, отходящие от узла – отрицательными и брать со знаком (−). При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в соответствии с формулой (2.4) ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура будем брать со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (−).

Заметим, что произвольность выбора направлений токов в ветвях цепи и направлений обхода контуров не влияет на конечный результат расчета. Если в результате расчетов некоторые из найденных токов будут иметь знак (−), то это будет означать, что их истинное направление противоположно предварительно принятому.

Приняв для нашей цепи направление токов в ветвях и направление

обхода трех выбранных	контуров, как показано на рис.2.9, составляем
следующую систему уравнений
узел 1	− I1 − I 4 − I3 = 0,
узел2	I1 + I 4 + I5 − I 2 = 0,
контур I	I1R1 − I 4 R4 = E1 ,
контур II	I	4	R	4	−	I	5	R	5	− I	3	R		3	= E	3	,
контурIII		4	R	4		I	5		5		3			3	.	3
контурIII	I	2	R	2	+	I	5	R	5	= −E			2		.
		2		2			5		5				2

Решив полученную систему уравнений, определим токи во всех пяти ветвях этой цепи.

Пример 2.6. Для схемы, изображенной на рис.2.10, известны величины и направления действия ЭДС всех источников и сопротивления всех ее ветвей:

E1 = 20 B; E2 = 16 B; E3 = 10 B; R1 = 2 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 5 Ом. Требуется определить все токи.

Решение. Для решения задачи надо составить систему из трех уравнений относительно трех неизвестных токов (в данной цепи три ветви). При этом по первому закону Кирхгофа следует составить одно (в схеме только два узла), а по второму закону Кирхгофа два уравнения (3 − 1 = 2). Предварительно выбираем направления токов во всех трех ветвях цепи и направления обхода двух выбранных контуров так, как это показано на рис.2.10.

U12

Рис.2.10

При этих условиях система уравнений относительно неизвестных токов

I1, I2 и I3 выглядит следующим образом:

для узла 1

I1 + I 2 + I3 = 0,

дляконтура

I1R1 − I 2 R2 = E1 − E2 ,

дляконтура II

I 2 R2 − I3 R3 = E2 − E3 .

Поставив в эту систему уравнений численные значения ЭДС источников и численные значения сопротивлений приемников, получим

I1 + I 2 + I3 = 0,

2I1 − 4I 2 + 0 = 4,

0 + 4I 2 − 5I3 = 6.

Для решения этой системы уравнений сведем три уравнения к одному. Для этого: а) выразим I1 из второго уравнения через I2, а I3 выразим из третьего уравнения через I2 и получим

I1		4 + 4I 2	= 2 + 2I 2 ; (*)	I3		6 − 4I	2	= (−1,2 + 0,8I2 ) ; (*)
	=				= −
		2				5

б) подставим полученные значения I1 и I3 в первое уравнение системы и

получим	(2 + 2I 2 ) + I 2 + (−1,2 + 0,8I 2 ) = 0	или	3,8I 2 + 0,8 = 0. Тогда
I 2 = −0,8 / 3,8 = −0,21 А. После этого, используя соотношения (*), находим токи
I1 и I3: I1 = 2 − 0,42 = +1,58 А; I3 = −1,2 − 0,17 = −1,37 А. Заметим, что знак (−) у
токов I2	и I3 означает, что реальное направление этих токов противоположно

предварительно выбранному. Проверку решения осуществляем с помощью первого закона Кирхгофа для узла 1 цепи: I1 + I 2 + I3 = 0. Подставив сюда все

значения токов, получаем +1,58 −0,21−1,37 = 0. Таким образом, задача решена верно.

2.8. О других методах расчета сложных цепей постоянного тока

Кроме рассмотренного в 2.7 метода расчета, основанного на непосредственном применении законов Кирхгофа, в теории цепей широко применяются и другие методы, основанные на законах Кирхгофа. Прежде всего, это метод контурных токов и метод узловых напряжений. Их применение позволяет понизить порядок системы уравнений по сравнению со случаем непосредственного применения законов Кирхгофа. Следует упомянуть также метод эквивалентного источника, метод взаимности и метод наложения (суперпозиции).

В этой главе эти методы рассматриваться не будут. Дело в том, что они формально тождественны методам расчета сложных цепей синусоидального тока в так называемой символической форме записи. Поэтому, с целью сокращения объема учебного пособия, они будут рассмотрены в главе пятой.

2.9. Баланс мощностей цепи постоянного тока

Для любой, сколько угодно сложной цепи постоянного тока, можно составить энергетический баланс, вытекающий непосредственно из закона сохранения энергии: алгебраическая сумма всех мощностей источников энергии равна сумме всех мощностей приемников энергии:

К	N
∑Ек I k = ∑I n2 Rn .		(2.12)

kn=1

Вэтой формуле К − число источников энергии цепи; N – число приемников энергии цепи.

Во всех приемниках энергии токи и напряжения имеют одно и то же направление (1.3 главы 1). Поэтому правая часть уравнения (2.12) является арифметической суммой мощностей всех приемников цепи. Что касается левой части этого уравнения, то в некоторых ветвях сложной цепи ток ветви может оказаться направленным противоположно действию ЭДС источника энергии. Тогда произведение EI получается отрицательным. Физически это означает, что при таком режиме работы рассматриваемый источник не генерирует энергию, а потребляет ее (например, аккумулятор при его зарядке).

Пример 2.7. Составим баланс мощностей для электрической цепи, рассмотренной в примере 2.6. В соответствии с формулой (2.12), получаем

E1I1 + E2 I 2 + E3 I3 = I12 R1 + I 22 R2 + I32 R3 . Подставляем значения токов и ЭДС из примера 2.6 в уравнение баланса мощностей рассматриваемой цепи и получаем:

а) левая часть уравнения:

E1I1 + E2 I 2 + E3 I3 = 20 1,58 +16(−0,21) +10(−1,37) = 31,6 − 3,36 −13,7 =14,54 Вт;

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.201527.14 Кб11testy_otsos-ekz.doc
#
13.08.201953.23 Кб1Testy_po_telefonii.docx
#
01.05.201599.33 Кб433TEST_PO_SOTsIOLOGII_s_otvetami.doc
#
01.05.2025273.5 Кб0tes_rgr_Даник.docx
#
01.05.20152.23 Mб42TKS_ekzamen.doc
#
01.05.20157.19 Mб59toe.pdf
#
01.05.2025861.35 Кб1TOE_shpora.docx
#
01.05.201534.3 Кб22topics.doc
#
10.03.20166.3 Mб3TPEMViAFU1.pdf
#
01.05.2025683.25 Кб0tsimp_ekzamen_11111.docx
#
01.05.2025687.62 Кб0turbogeneratрy санжар.doc