Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алматинский университет энергетики и связи

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

toe

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2015

Размер:

7.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2520 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

B = Z 1K	Z 2 X		=12,65e	j71,56o	15,81e
	Z 1X	− Z 1K			3,16e

j18,44o	=12,65e j71,56o	5e− j53,12o	=
j71,56o

=12,65e j71,56o

2,24e− j26,56o = 28,34e− j45o

= (20 + j20)Ом;

C =

= (0,1 − j0,1)См;

Z 2 X (Z 1X − Z 1K )

0,141e− j45

50e j90o

7,07e j45o

D =

Z 2 X

15,81e j18,44o

− j53,12o

2,24e

− j26,56o

= (1,6 − j1,6).

1X − Z

3,16e+ j71,56o

Проверку расчетов осуществляем с помощью формулы (8.2)

AD = 2,24e j26,56o

2,24e− j26,56o

= 5 ;

BC = 28,34e j45o

0,141e− j45o = 4 ;

AD − BC = 5 − 4 =1.

Таким образом, расчеты произведены верно.

8.5. Схемы замещения. Соотношения между А-параметрами и параметрами схем замещения

Любой четырехполюсник может быть заменен простейшей трехэлементной схемой, поскольку он характеризуется тремя независимыми параметрами. Таких схем две: Т-образная (звезда), представленная на рис.8.2,а, и П-образная (треугольник), показанная на рис.8.2,б. Комплексные величины Z1, Z2, Y0 и Y1, Y2, Z0 являются параметрами указанных схем замещения.

а)

Z 1

Z 2

б)

Z 0

I&1

I&2

I&1

I&2

U&1

U&12

Y 0

U&2

U&1

Y 1

Y 2

U&2

Рис.8.2

А-параметры четырехполюсника связаны с параметрами схем его замещения следующими соотношениями .

а) для Т-образной схемы

А =1 + Z 1Y 0 ; B = Z 1 + Z 2 + Z 1 Z 2 Y 0 ; C =Y 0 ; D =1 + Z 2 Y 0

(8.15)

Вывод этих уравнений имеется в [1 − 4].

189

или

Z1 =

A −1

;

Z 2 =

D −1

;

Y 0 = C ;

(8.15 а)

б) для П-образной схемы

А=1 + Z 0Y1; B = Z 0 ; C = Y 1 + Y 2

+ Y 1Y 2 Z 0 ; D =1 + Z 0 Y 2

(8.16)

или

Z 0 = B ;

Y 1 =

D −1

;

Y 2 =

A −1

(8.16 а)

Пример 8.4. Известны комплексные сопротивления Z1, Z2 и

комплексная проводимость Y0

элементов

Т-образной схемы (рис.8.2,а):

Z 1 = − j2000 Ом;

Z 2 = − j1000 Ом;

Y 0 = − j 2 10−4 См.

Определить

A-параметры эквивалентного четырёхполюсника.

Решение. Воспользовавшись формулами (8.15), получаем:

1. A =1 + Z 1Y 0 =1 + [(− j2000)(− j2 10−4 )]=1 − 0,4 = 0,6 ; 2. B = Z 1 + Z 2 + Z 1 Z 2 Y 0 = (− j2000) + (− j1000) +

+[(− j2000)(− j1000)(− j2 10−4 )]= − j3000 + j400 = − j2600 Ом;

3.C = Y 0 = − j2 10−4 См;

4.D =1 + Z 2 Y 0 =1 + [(− j1000)(− j2 10−4 )]=1 − 0,2 = 0,8.

5. Проверка по соотношению AD − BC =1 показывает, что задача

решена верно. Предоставляем читателю возможность убедиться в этом самостоятельно.

Пример 8.5. Известны А-параметры четырехполюсника: A=0,6; В= −j2600 Ом; C = −j2 10-4 Cм; D = 0,8. Определить параметры Т-образной схемы замещения.

Решение. Воспользуемся формулами (8.15,а) и получаем:

Z 1

A −1

0,6 −1

− 0,4 104

= − j2000 Ом;

−

j2 10−4

−

Z 2

D −

0,8 −1

− 0,2 104

= − j1000 Ом;

−

j2 10−4

− j2

Y 0 = C = − j2 10−4 См или

Z 0 =

= + j5000 Ом.

Физическими элементами Z1 и Z2 являются емкости, а физическим

элементом Y0 – индуктивность.

А-параметры

четырехполюсника

Пример 8.6.

Известны

предыдущего примера:

A=0,6;

В=

−j2600

Ом; C =

−j2 10-4 Cм; D = 0,8.

Определить параметры П-образной схемы замещения. Решение. Воспользуемся формулами (8.16 а) и получаем:

1.Y 1 = DB−1 = −0,j82600−1 = − j77 10−6 См;

2.Y 2 = AB−1 = −0,j62600−1 = − j154 10−6 См;

190

3. Z 0 = B = − j2600 Ом.

Физическими элементами Y1, Y2 здесь являются индуктивности, а физическим элементом Z0 – емкость.

8.6. Характеристические параметры. Их связь с А-параметрами

Наряду с рассмотренными выше А-параметрами широко используются так называемые характеристические параметры четырехполюсника. Ими являются характеристические сопротивления Z1C, Z2C и постоянная передачи g .

Всегда

можно

найти

такие

два

сопротивления,

которые

удовлетворяли

следующим

условиям

(рис.8.3): входное сопротивление

четырехполюсника

равно

Z1C , если он

нагружен

сопротивлением

Z2C ;

выходное сопротивление

четырехполюсника

равно

Z2C , если он нагружен

сопротивлением Z1C . Эти

сопротивления называются характеристическими

сопротивлениями четырехполюсника.

1 I&1

I&2 2

1 I&1

I&2

U&1

Z1C

Z 2C

U&2

U&1

Z1C

Z 2C

U&2

Рис.8.3

Подробный

анализ

показывает,

что

связь

источника

нагрузкой

является наиболее

выгодной,

если

комплексное

сопротивление нагрузки

ZН2 = Z2C.

Этот режим работы

называют

режимом

согласованной

нагрузки

или согласованного включения. При таком режиме работы

U&1

= Z1C ;

U&2

= Z 2C .

(8.17)

I&2

I&1

Характеристические сопротивления

определенным образом связаны с А-

параметрами.

Положив

уравнениях

(8.4)

и (8.5)

Z 1BX

= Z 1C и

Z 2BX = Z 2C ,

получим

Z 1C =

АZ 2C

+ B

;

Z 2C =

DZ 1C +

(8.18)

CZ 2C

+ D

CZ 1C +

Совместное решение этих уравнений относительно Z1C

и Z2C

дает

следующий результат:

Z 1C

AB ;

Z 2C =

DB .

(8.19)

C A

Параметров Z1C и

Z2C

недостаточно для

описания

всех

свойств

несимметричного четырехполюсника. Для этого необходимо ввести еще один,

третий параметр, связывающий процессы	на	входе	и	выходе
191

четырехполюсника. Таким параметром является постоянная передачи g . В общем случае − это комплексное число g = α + jβ. Его вещественная часть

(α) называется собственным затуханием четырехполюсника и измеряется в

неперах. Мнимая его	часть (β)	называется коэффициентом	фазы и
измеряется в радианах.	g удовлетворяет следующим условиям:
Постоянная передачи	g удовлетворяет следующим условиям:

chg = АD;		sh g = ВC.	(8.20)

Они всегда выполняются, так как имеющая место связь между коэффициентами AD – BC = 1 соответствует тригонометрической формуле

ch 2 g − sh 2 g =1.

Постоянную

передачи

можно

выразить

через

А-параметры

четырехполюсника,

если

вспомнить,

что chg + shg = e

. Подставив в

эту формулу соотношения (8.20), получаем

g = ln( АD +

ВC ).

АD + ВC

или

(8.21)

Таким образом, формулы (8.19) и (8.21) дают возможность выразить характеристические параметры четырехполюсника через его А-параметры.

В свою очередь, А-параметры четырехполюсника могут быть выражены через его характеристические параметры. На основании (8.19) имеем

Z1C	=	A	;	Z1C Z 2C =	B	.	(8.22)

		D
Z 2C					C

Совместное решение уравнений (8.20) и (8.22) дает

A = ZZ

ch g;

B = Z1C Z 2C sh g;

(8.23)

D = ZZ

ch g;	C =	1	sh g.
		Z 1C Z 2C

Характеристические параметры могут быть выражены также и через параметры холостого хода и короткого замыкания. На основании (8.6−8.9), (8.19) и (8.20) получаем

Z1C = Z1X Z1K ; Z 2C = Z 2 X Z 2K ; th g =	Z
	Z

1K	=	Z 2K .	(8.24)
1X		Z 2 X

Пример 8.7. Для четырехполюсника примера 8.5 по известным А-

параметрам: А=0,6; В = −j2600 Ом; С = −j2 10-4; D = 0,8 , найти его характеристические параметры Z 1C , Z 2C и g .

Справочник по математике, п. 2.5.2.3.1 [9].

192

Решение. Находим характеристические параметры четырехполюсника, воспользовавшись формулами (8.19) и (8.21):

Z 1C

0,6 (− j2600)

− j1560

−1560 10+4

(− j2 10

−4 ) 0,8

j1,6 10−4

−1,6

−

975 10+4 = 3122 Ом.

Z 2C

DВ

0,8 (− j2600)

− j2080

2080 10

C A

(− j2 10−4 ) 0,6

j1,2 10−4

1,2

−

1730 10+4

= 41,63 102 = 4163 Ом.

= eαe jβ = [

AD +

ВC ]= [

0,6 0,8 + (− j2600)(− j2 10−4 )]=

= (

0,48 + −0,52) =0,6928 + j0,7211 =1e j46o .

Таким образом: еα =1 и е jβ = e j46o . Отсюда α = ln1 = 0 непер; β = 46° или β = 0,8 радиан. Поэтому постоянная передачи g = (0 + j0,8) .

4. Проверку расчетов осуществим, перейдя от характеристических параметров вновь к А-параметрам четырехполюсника. Для этого воспользуемся формулами (8.23). В этих формулах:

а) ZZ

=	3122	= 0,75 = 0,866 ;
	4163

б) Z 1C Z 2C = 3122 4163 = 12996886 = 3605;

с)	Z 2C = 1,333 =1,156 .
	Z 1C

Для определения гиперболических синуса и косинуса воспользуемся следующими формулами :

sh g =

− e−

;

ch g =

+ e−

Здесь e

= e j46o = cos 46o

+ j sin 46o = 0,693 + j0,721;

e−

= e− j46o = 6,693 − j0,721.

Поэтому sh g =

(0,693 + j0,721) − (0,693 − j0,721)

j1,442

= j0,721;

сhg =

(0,693 + j0,721) + (0,693 − j0,721)

1,386

= 0,693.

Таким образом:

A = ZZ

ch g = 0,866 0,693 = 0,6 ;

Справочник по математике, п. 2.5.2.3.1 [9].

193

B =	Z 1C Z 2C sh g = 3605 j0,721				= j2600 ;
C =	1	sh g =	1	j0,721 = j0,0002 = j2 10−4		;
	Z 1C Z 2C		3605
D =	Z 2C ch g =1,156 0,693 = 0,8 .
	Z 1C

Заметим, что каждый из А-параметров четырехполюсника, определяемый по формулам (8.23),может иметь как знак (+), так и знак (−). Поэтому в нашем случае проверка решения возможна только для абсолютных значений параметров.

8.7. Уравнения в гиперболической форме записи

Подставим полученные в предыдущем пункте значения А-параметров (8.23), выраженные через гиперболические синус и косинус в уравнения (8.1), и

получим U&1 и I&1 , выраженные через характеристические параметры

&	&	&	=	Z 1C	&
U1	= AU 2	+ BI 2	=	Z 2C	U 2 ch g + Z 1C Z 2C
				Z 2C

=Z 1C (U&2 ch g + Z 2C I&2sh g); Z 2C

I&	= СU&		+ DI&		=	1				sh g +	Z 2C
I&	= СU&	2	+ DI&	2	=			U&	2	sh g +
1		2		2		Z 1C	Z 2C		2		Z 1C
						Z 1C	Z 2C				Z 1C

	Z		U&	2	&
=		2C		2	&
=			Z 2C		sh g + I	2 ch g .
	Z 1C		Z 2C

I&2sh g =

(8.25)

I&2 ch g =

(8.25 а)

Уравнения четырехполюсника в гиперболической форме записи широко применяются в радиотехнике и автоматике, в частности при описании электрических фильтров.

При согласованном режиме, когда ZН2 = Z2C и напряжение на его выходных зажимах U&2 = I&2 Z 2C , уравнения (8.24) значительно упрощаются:

U&1 =

Z 1C U&2 (ch g + sh g ) ;

I&1 =

Z 2C I&2 (sh g + ch g).

Z 2C

Z 1C

Из курса математики известно, что сhg + shg = e

и тогда

Z 1C

Z 2C

;

(8.26)

Z 2C

U 2e ;

Z1C

I2e

или

U&1

Z 1C

I&1

Z 2C

;

(8.27)

Z 2C

Z 1C

I 2

194

8.8. Экспериментальное определение собственного затухания и коэффициента фазы

Формулы (8.27) позволяют найти соотношения для экспериментального определения собственного затухания (α) и коэффициента фазы (β) четырехполюсника. Рассмотрим в начале формулу (8.27) для напряжений.

Левая часть этой формулы

U&1

U1e jψu1 e

j(ψ

−ψ

u 2

)

(8.27 а)

jψ

u 2

U 2

U 2 e

Здесь U1 / U2 - отношение действующих значений напряжений на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке; (ψu1 − ψu2 ) − разность

начальных фаз напряжений на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке.

Правая часть этой формулы

e jϕ1C

(α+ jβ)

j(ϕ

−ϕ

)

(α+ jβ)

(8.27 б)

z2C e jϕ2C

Здесь z1C / z2C − отношение модулей характеристических сопротивлений; ϕ1С и ϕ2С - аргументы характеристических сопротивлений, определяющие

углы сдвига фаз между напряжением и током на входе и					выходе
четырехполюсника	при согласованной	нагрузке;	(ϕ1С − ϕ2С)	-	разность
фазовых сдвигов	между напряжением	и током	на входе	и	выходе

четырехполюсника при согласованной нагрузке.

Сопоставляя формулы (8.27 а) и (8.27 б) и учитывая, что два комплексных числа равны друг другу, когда по отдельности равны их модули и равны их

аргументы , получаем:

уравнение для модулей

z1C eα ;

(8.28)

U 2

z2C

уравнение для аргументов

(ψ

− ψ

U 2

)= β +

(ϕ

− ϕ

(8.29)

Произведя аналогичные преобразования для токов, находим:

уравнение для модулей					I1	=	z2C eα ;			(8.30)
					I 2		z1C	1
уравнение для аргументов						(ψi1	−ψi2 )= β−	1	(ϕ1С −ϕ2С ).	(8.31)
уравнение для аргументов						(ψi1	−ψi2 )= β−	2	(ϕ1С −ϕ2С ).	(8.31)
								2
Для нахождения собственного затухания (α)									умножаем (8.28) на (8.30) и
получаем e2α =	U1 I1	=	S1	,	где	S1 =U1I1 − полная мощность				четырехпо-
получаем e2α =		=		,	где	S1 =U1I1 − полная мощность				четырехпо-
U 2 I 2			S2						− полная мощность на его
люсника на его входных зажимах, а							S2 =U 2 I 2		− полная мощность на его
выходных зажимах. Отсюда следует, что

Справочник по математике, разд.3.4 [9].

195

	1		S	1
α =				1	Нп .	(8.32)

	2	ln	S
	2		S	2
Напомним, что при		экспериментальном определении				собственного

затухания (α) с использованием формулы (8.32) надо вначале согласовать

четырехполюсник с нагрузкой (положить

Z Н2 = Z 2C ), а затем

измерить

полные мощности на его входе (S1) и на выходе (S2). Если, например, для

четырехполюсника,

согласованного

нагрузкой

S1/S2 = e,

то

α =

ln e =

1 = 0,5 Нп, а если S1 / S2 = 10, то

α =

ln10

2,3 =1,15

Нп.

Для нахождения коэффициента фазы (β) складываем левые и правые

части уравнений (8.29) и (8.31) и находим

(ψu1 − ψu2 ) + (ψi1 − ψi2 )

2β = (ψu1 − ψu2 )+ (ψi1 − ψi2 ) или

β =

. (8.33)

α и β,

Очевидно, что

полученные значения

являясь параметрами

четырехполюсника, не зависят от того, согласован ли он с нагрузкой или нет. Пример 8.8. Дан четырехполюсник с известными А-параметрами: A = 1,

B = 5 Ом, C = j0,2 Cм. Определить собственное затухание α и коэффициент фазы β этого четырехполюсника, используя комплексные токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке.

Решение. 1. Находим параметр D :

	D =	1 + ВC		=		1 + 5 0,2e j90o	=1 + j1 =1,41e j45o .

			A			A
2. Находим характеристическое сопротивление
	DB =		1,41e	j45o
Z 2C =				j90	o 5 = 6e− j22,5o Ом.
	C A		0,2e			1

3. Нагружаем четырехполюсник со стороны выходных зажимов
сопротивлением Z Н2	= Z 2C		= 6e− j22,5o Ом.
4. Полагаем (произвольно)				напряжение U&2 = 60e− j22,5o В. Тогда ток на
выходе четырехполюсника I&2 =U&2					Z 2C =10 e j0 = 10 А. Здесь ψi2 = 0 .
5. Находим напряжение U&1				и I&1 на входе, используя систему уравнений
(8.1) :
U&1 = AU&2 + BI&2	=1 60e− j22,5o + 5 10 = (54,9 − j22,7) + 50 =
=104,9 − j22,7 =107,3e− j12,2o				В;
I&1 = CU&2 + DI&2	= 0,2e+ j90o 60e− j22,5o +1,41e j45o 10 =12e j67,5o +14,1e j45o =

= (4,59 + j11,09) (10 + j10) =14,59 + j21,1 = 25,6e j55,3o А.

196

Для проверки этих вычислений найдем входное сопротивление четырехполюсника

		U&		1		107,3e− j12,2o			− j67,5o	Ом.
Z 1ВХ	=				=			= 4,2e
			I&1				o
							25,65e j55,3

Сопротивление четырехполюсника, согласованного с нагрузкой (8.17), должно соответствовать характеристическому сопротивлению Z 1C , которое

определяется формулой (8.19) :

Z 1C

o =

17,24e− j135o

= 4,2e− j67,5o

Ом.

j0,2 1,41e

j45

Таким образом,

наши расчеты произведены верно.

6. Находим отношение полных мощностей на входе и выходе

S1 =U1I1 =107,3 25,65 = 2752 В А;

S2 =U 2 I 2 = 60 10 = 600 В А.

Тогда S1 / S2 =2752 / 600 = 4,59.

7. Определяем собственное

затухание α, воспользовавшись формулой

(8.32): α =

ln 4,59

1,52 = 0,76 Нп.

8. Определяем коэффициент фазы β, используя формулу (8.33) :

ψu1 = −12,2o ;

ψu2 = −22,5o;

ψu1 − ψu2 = (−12,2o ) − (−22,5o ) = +10,3o;

ψi1 − ψi2 = 55,3o − (0) = 55,3o .

β =

(ψu1 − ψu2 ) + (ψi1

− ψi2 )

+10,3o − 55,3o

− 45o

= −22,5

или β = −0,3925 рад.

Пример 8.9. В условиях примера 8.8 определить характеристические

параметры четырехполюсника

Z 1C ,

Z 2C

и g с помощью данных опытов ХХ

и КЗ.

Решение. 1. Находим сопротивление холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ), используя формулы (8.6 − 8.9) :

Z 1K

= 3,55e− j45o

Ом;

Z 1Х

= 5e− j90o Ом;

1,41e j45

0,2e j90

Z 2K

= 5

Ом;

Z 2 Х =

1,41e

j45o

= 7,05e− j45o Ом .

0,2e j90

2. Находим характеристические сопротивления

Z 1C

и Z 2C , воспользовав-

шись формулами (8.24):

=	Z 1X Z 1K	=	3,55e− j45o 5e− j90o = 17,8e− j135o = 4,2e− j67,5o Ом;
=	Z 2 X Z 2K	=	7,05e− j45o 5 = 35,25e− j45o ≈ 6e− j22,5o Ом.
			197

Заметим, что полученные здесь значения Z1C и Z2C практически совпали с результатами расчетов этих величин другим способом в примере 8.8 .

3. Находим постоянную передачи g :

th g =

Z 1K

3,55e− j45o

0,71e

j45o

= (0,78 + j0,32) .

Z 1X

5e− j90o

Известно, что гиперболический тангенс

равен

отношению

гиперболического синуса

(sh g ) к гиперболическому косинусу (ch g ). В свою

очередь,

sh g =

− e−

ch g =

+ e−

−g

sh g

Тогда th g =

= e

−e

= e

−1

Решая полученное уравнение

ch g

−g

+ e

относительно e2

получаем e2

1 + th g

Подставляя сюда

численные

1 − th g

значения th g , находим

1,81e j10,2o

1 + (0,78 + j0,32)

1,78 + j0,32

= 4,63e− j45,3o ,

0,22 − j0,32

1 − (0,78 + j0,32)

0,39e

j55,5o

но

g = α + jβ,

поэтому

= e2αe j2β .

Отсюда

e2α = 4,63

или

α =1/ 2 ln 4,63 = 0,766 Нп; e j2β = −e− j45,3o

, β =

−22,15° или β = −0,3864 рад.

Заметим, что полученные результаты соответствуют (с учетом точности расчетов) результатам примера 8.8.

8.9. Передаточные функции

Передаточной функцией называется зависимость от частоты отношения комплексных действующих значений электрических величин на выходе и входе четырехполюсника.

Если передаточная функция соответствует отношению двух одноименных электрических величин, то ее называют коэффициентом передачи. В усилительных устройствах коэффициент передачи является коэффициентом усиления по току или по напряжению:

Ku =	U&2		Ki =	I&2
		;			.	(8.34)
	&	;		&	.	(8.34)
	U			I
	1			1

Если передаточная функция соответствует отношению разноименных электрических величин, то она является либо передаточным сопротивлением , либо передаточной проводимостью:

Справочник по математике, разд. 2.5 [9].

198

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2520 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2015147.46 Кб30test СУПБ_отв.doc
#
01.05.201527.14 Кб11testy_otsos-ekz.doc
#
13.08.201953.23 Кб1Testy_po_telefonii.docx
#
01.05.201599.33 Кб360TEST_PO_SOTsIOLOGII_s_otvetami.doc
#
01.05.20152.23 Mб38TKS_ekzamen.doc
#
01.05.20157.19 Mб59toe.pdf
#
01.05.201534.3 Кб19topics.doc
#
10.03.20166.3 Mб2TPEMViAFU1.pdf
#
01.05.20153.33 Mб539Tyagovye_podstantsii.docx
#
01.05.2015784.5 Кб20TZ_Otdel_kadrov.docx
#
19.11.20193.96 Mб80Uch_posobie_EMS_2.doc