Тема 3. Арифметические основы информатики. Формы представления информации. Системы счисления. Действия в различных системах счисления.
Системой счисления называется способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называются цифрами.
Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные системы и непозиционные.
Позиционные системы характеризуются определенным алфавитом цифр и основанием. Наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.
Таблица 1. Системы счисления
|
Система счисления |
Основание |
Алфавит цифр |
|
Позиционные
| ||
|
Десятичная
|
10
|
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
|
|
Двоичная
|
2
|
0, 1
|
|
Восьмеричная
|
8
|
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
|
|
Шестнадцатеричная |
16 |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F |
|
Непозиционная
| ||
|
Римская |
|
I(1), V(5), X(10), L(50), С(100), D(500), М (1000) |
Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Перевод из двоичной в десятичную систему счисления
110012 =1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*2°=16+8+0+0+1=2510
Перевод из десятичной в двоичную систему счисления
|
25 2 |
2 |
|
|
|
|
12 |
2 |
|
2510=110012  | |
|
15 |
12 |
6 |
2 |
|
|
14 |
0 |
6 |
3 |
2 |
|
1 |
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
Перевод из восьмеричной в десятичную систему счисления
5558= 5*82 + 5*81 + 5*8°=320+40+5=36510
Перевод из десятичной в двоичную систему счисления
|
365 32 |
8 |
|
|
| ||
|
45 |
8 |
|
36510=5558  | |||
|
45 |
40 |
5 |
|
| ||
|
40 |
5 |
6 |
| |||
|
5 |
0 |
| ||||
Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную
15АВ16= 1*163+5*162+А*161+В*160=4096+1280+10*16+11*1=554710
Перевод из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления
|
5547 48 |
16 |
|
|
|
|
346 |
16 |
|
554710=15АВ16  | |
|
74 |
32 |
21 |
16 |
|
|
64 |
26 |
16 |
1 |
|
|
107 |
16 |
5 |
|
|
|
96 |
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|