36 билет по ЗИ

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра «ТКС»

Дисциплина «Защита информации в ТКС»

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №36

1. Элементы теории чисел. Функция Эйлера. Теорема Ферма.

2. Алгоритмы шифрования Виженера, Цезаря.

3. Задача. Зашифруйте и расшифруйте сообщение m по алгоритму RSA, при P=3, Q=11, сообщение m= «БОЛТ». Используйте обобщенный алгоритм Эвклида для нахождения секретного ключа.

Заведующий кафедрой______________________/С.В.Коньшин/

Протокол №1 от 29.08.2012

Составитель ст.пр. /Шкрыгунова Е.А./

1. Элементы теории чисел. Функция Эйлера. Теорема Ферма.

• При разработке алгоритмов шифрования используется ряд понятий теории чисел и модулярной арифметики. Теория чисел, или высшая арифметика, изучает свойства целых чисел. Как наука она оформилась, начиная с открытий П. Ферма. Под целыми числами понимают числа …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … Особое место среди целых чисел занимают натуральные числа – целые положительные числа 1, 2, 3, 4, … Высшая арифметика — дедуктивная наука, основанная на законах арифметики. Целые числа образуют бесконечный ряд (множество) Z, где выполняются основные арифметические операции: сложение, вычитание и умножение. Частное от деления целых чисел не всегда является целым числом. Поэтому множество целых чисел образует кольцо. Мы назовём одно число a делителем другого числа b, если b = a ⋅ c для некоторого числа c . Примем обозначение a /b, означающее, что a делит b нацело, или a является делителем b. Если число a не является делителем другого числа b, то используем обозначение: a не делит b. Натуральное число p называется простым, если p > 1 и не имеет положительных делителей, отличных от 1 и p. Натуральное число N называется составным, если N > 1 и имеет, по крайней мере, один положительный делитель, отличный от 1 и N.

• Функция Эйлера φ(n) — мультипликативная арифметическая функция, равная количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с ним. При этом полагают, что число 1 взаимно просто со всеми натуральными числами, и φ(1) = 1.

Например, для числа 24 существует 8 взаимно простых с ним чисел (1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23), поэтому φ(24) = 8.

Названа в честь Эйлера, который впервые использовал её в 1760 году в своих работах по теории чисел для доказательства малой теоремы Ферма, а затем и для доказательства более общего утверждения — теоремы Эйлера. Позднее функцию использовал Гаусс в своем труде «Арифметические исследования» (Disquisitiones Arithmeticae (англ.)), вышедшем в свет в 1801 году. Гаусс ввёл ставшее стандартным обозначение φ(n).

Функция Эйлера находит применение в вопросах, касающихся теории делимости и вычетов, теории чисел, криптографии. Функция Эйлера играет ключевую роль в алгоритме RSA.

Функция Эйлера показывает, сколько натуральных чисел из отрезка имеют c только один общий делитель - единицу. Функция Эйлера определена на множестве натуральных чисел, и значения ее лежат в множестве натуральных чисел.

Как следует из определения, чтобы вычислить нужно перебрать все числа от до и для каждого проверить, имеет ли оно общие делители с а затем подсчитать, сколько чисел оказались взаимно простыми с Эта процедура весьма трудоемка, поэтому для вычисления используют другие методы, которые основываются на специфических свойствах функции Эйлера.

• Ма́лая теоре́ма Ферма́ — классическая теорема теории чисел, которая утверждает, что

Если p — простое число, и а не делится на р, то а^р-1=1 (mod p). Другими словами, а^р-1 при делении нацело на р даёт в остатке 1.

Равносильная формулировка:

Для любого простого р и целого а:

(а^р-а) делится на р

Если — простое число, а и — такие положительные целые числа, что , тогда . Это утверждение используется в системе шифрования с открытым ключом RSA.

Если — простое число, отличное от 2 и 5, то число , запись которого состоит из одних девяток, делится на . Отсюда легко следует, что для любого целого числа , которое не делится на 2 и на 5, можно подобрать число, состоящее только из девяток, которое делится на . Этот факт используется в теории признаков делимости и периодических дробей.

Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, которая, в свою очередь, является частным случаем теорем Кармайкла и Лагранжа для конечных циклических групп.

2. Алгоритмы шифрования Виженера, Цезаря.

• Шифр Цезаря, также известный как шифр сдвига, код Цезаря или сдвиг Цезаря — один из самых простых и наиболее широко известных методов шифрования.

Шифр Цезаря — это вид шифра подстановки, в котором каждый символ в открытом тексте заменяется буквой находящейся на некоторое постоянное число позиций левее или правее него в алфавите. Например, в шифре со сдвигом 3 А была бы заменена на Г, Б станет Д, и так далее.

Шифр назван в честь римского императора Гая Юлия Цезаря, использовавшего его для секретной переписки со своими генералами.

Шаг шифрования, выполняемый шифром Цезаря, часто включается как часть более сложных схем, таких как шифр Виженера, и все ещё имеет современное приложение в системе ROT13. Как и все моноалфавитные шифры, шифр Цезаря легко взламывается и не имеет практически никакого применения на практике.

• Шифр Виженера (фр. Chiffre de Vigenère) — метод полиалфавитного шифрования буквенного текста с использованием ключевого слова.

Этот метод является простой формой многоалфавитной замены. Шифр Виженера изобретался многократно. Впервые этот метод описал Джован Баттиста Беллазо (итал. Giovan Battista Bellaso) в книге La cifra del. Sig. Giovan Battista Bellasо в 1553 году, однако в XIX веке получил имя Блеза Виженера, французского дипломата. Метод прост для понимания и реализации, он является недоступным для простых методов криптоанализа.

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я

Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А

В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б

Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В

Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г

Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д

Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е

З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж

И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З

К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И

Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К

М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л

Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М

О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н

П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О

Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П

С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р

Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С

У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т

Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У

Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф

Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х

Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц

Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч

Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш

Ъ Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ

Ы Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ

Ь Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы

Э Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь

Ю Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э

Я А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю

3. Задача. Зашифруйте и расшифруйте сообщение m по алгоритму RSA, при P=3, Q=11, сообщение m= «БОЛТ».

1. Вычислим n (n=p*q) n=33

2. Расчитали функцию Эйлера (f=(p-1)(q-1)) f=20

3. Возьмем открытый ключ (любое простое число) е=7.

4. Коэффициент d=3

5. Запишем двоичной записью буквы слова по их порядковому номеру (00010011100101110010)

6. Последовательность чисел шифрограммы 13 7 16 13