umf_tests
.pdfР О С С И Й С К А Я А К А Д Е М И Я Н А У К ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
———————————————————————————–
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ РЫБОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.Е. Ковтанюк
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Владивосток
Дальнаука
1999
УДК 517
Контрольные работы по уравнениям математической физики. Препринт. Ковтанюк А.Е., ИПМ ДВО РАН, Издательство ”Дальнаука”, Владивосток, 1999.
Сборник содержит свыше 200 задач по курсу уравнений математической физики, читаемому студентам математического, механического, физического и технического профилей. Первый раздел содержит задачи на приведение уравнений в частных производных к каноническому виду. Основное внимание в сборнике (раздел 2 – 5) уделено методу Фурье для различных типов уравнений (одномерное волновое уравнение, одномерное уравнение теплопроводности, уравнение Лапласа в кольце и прямоугольнике).
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор Д.С.Аниконов
c Ковтанюк А.Е. , 1999 г.
c Институт прикладной математики ДВО РАН, 1999 г.
2
Тема 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными
производными. Приведение к каноническому виду |
|
Рассмотрим функцию u(x, y) двух независимых переменных x, y. Уравнение |
|
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0 |
(1) |
принадлежит гиперболическому типу, если b2−ac > 0, параболическому типу, если b2−ac = 0, и эллиптическому типу, если b2 − ac < 0. Здесь a, b и c – функции от x, y, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно.
Чтобы привести уравнение (1) к каноническому виду, нужно составить уравнение характеристик
ady2 − 2bdxdy + cdx2 = 0, |
(2) |
||||
которое распадается на два уравнения |
|
||||
ady − (b + √ |
|
|
)dx = 0, |
(3) |
|
b2 − ac |
|||||
ady − (b − √ |
|
)dx = 0, |
(4) |
||
b2 − ac |
|||||
и найти их общие интегралы.
Уравнения гиперболического типа: b2 − ac > 0.
Общие интегралы ϕ(x, y) = c1, ψ(x, y) = c2 уравнений (3) и (4) будут вещественными и различными. Они определяют два различных семейства вещественных характеристик.
Вводя вместо (x, y) новые независимые переменные (ξ, η), такие что |
|
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y), |
|
приведем уравнение (1) к каноническому виду |
|
vξη = Φ(ξ, η, v, vξ, vη), |
(5) |
где v(ξ, η) = u(x, y). Это – так называемая каноническая форма уравнения гиперболического типа. Часто пользуются второй канонической формой. Положим
α = ξ +2 η , β = ξ −2 η .
Переходя в уравнении (1) к новым независимым переменным (α, β), в результате получим
vαα − vββ = Φ1(α, β, v, vα, vβ). |
(50) |
Уравнения параболического типа: b2 − ac = 0.
В этом случае уравнения (3) и (4) совпадают, и мы получаем один общий интеграл уравнения (2): ϕ(x, y) = c. Положим в этом случае
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),
где ψ(x, y) – любая функция, не зависимая от ϕ(x, y). Достаточным условием независимости функций ϕ(x, y) и ψ(x, y) является отличие от нуля соответствующего функционального определителя = ϕxψy − ϕyψx.
3
Вводя вместо (x, y) новые независимые переменные (ξ, η), приведем уравнение (1) к виду
vηη = Φ(ξ, η, v, vξ, vη). |
(6) |
Это – каноническая форма для уравнения параболического типа.
Уравнения эллиптического типа: b2 − ac < 0.
В этом случае общие интегралы уравнений (3) и (4) – комплексно сопряженные; они определяют два семейства мнимых характеристик.
Пусть общий интеграл уравнения (3) имеет вид
|
ϕ(x, y) + iψ(x, y) = c, |
|
где ϕ(x, y) и ψ(x, y) – вещественные функции. |
|
|
Тогда полагая |
|
|
|
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y), |
|
приводим уравнение (1) к виду |
|
|
|
vξξ + vηη = Φ(ξ, η, v, vξ, vη). |
(7) |
Это – каноническая форма для уравнения эллиптического типа. |
|
|
Контрольные задания по теме: |
|
|
Определить тип уравнений. Привести к каноническому виду. |
|
|
1. |
uxx + 4uxy + uyy + ux + uy − x2y = 0. |
|
2. |
uxx + 2uxy + 5uyy − 32uy = 0. |
|
3. |
uxx − 2uxy + uyy + 9ux + 9uy = 0. |
|
4. |
2uxx + 3uxy + uyy + 7ux + 4uy = 0. |
|
5. |
uxx + uxy − 2uyy − 3ux − 15uy + 27x = 0. |
|
6. |
9uxx − 6uxy + uyy + 10ux − 15uy + x − 2y = 0. |
|
7. |
uxx + 2uxy + 10uyy − 24ux + 42uy + 2(x + y) = 0. |
|
8. |
uxx + 4uxy + 13uyy + 3ux + 24uy + 9(x + y) = 0. |
|
9. |
uxx − 4uxy + 5uyy − 3ux + uy = 0. |
|
10. |
uxx − 6uxy + 9uyy − ux + 2uy = 0. |
|
11. |
2uxy − 4uyy + ux − 2uy + x = 0. |
|
12. |
uxy + 2uyy − ux + 4uy = 0. |
|
13. |
2uxx + 2uxy + uyy + 4ux + 4uy = 0. |
|
14. |
uxx + 2uxy + uyy + 3ux − 5uy = 0. |
|
4
15.uxx − uyy + ux + uy = 0.
16.uxx + uxy − uy + 4x = 0.
17.3uxx + uxy + 3ux + uy + y = 0.
18.uxx + 4uxy + 5uyy − 2ux − 2uy = 0.
19.5uxx + 16uxy + 16uyy + 24ux + 32uy = 0.
20.uxx − 2uxy + uyy − 3ux + 12uy = 0.
21.2uxx − 5uxy + 3uyy − ux + uy + 2x = 0.
22.2uxx + 6uxy + 4uyy + ux + uy = 0.
23.3uxx − 10uxy + 3uyy − 2ux + 4uy + 2y = 0.
24.3uxx + 10uxy + 3uyy + ux + uy + 2x + y = 0.
25.uyy − 2uxy + 2ux − uy − 4ex = 0.
26.uxx − 6uxy + 8uyy + ux − 2uy + x = 0.
27.uxx − 2uxy + ux + 4ey = 0.
28.3uxx − 4uxy + uyy − 3ux + uy = 0.
29.(1 + x2)2uxx + uyy + 2x(1 + x2)ux = 0.
30.y2uxx + 2xyuxy + x2uyy = 0.
31.uxx − (1 + y2)2uyy − 2y(1 + y2)uy = 0.
32.(1 + x2)uxx + (1 + y2)uyy + xux + yuy = 0.
33.x2uxx + 2xyuxy + y2uyy − 2yux = 0.
34.uxx − 2sinx · uxy − cox2x · uyy − cosx · uy = 0.
35.e2xuxx + 2ex+yuxy + e2yuyy − xu = 0.
36.uxx − 2xuxy = 0.
37.uxx + 2sinx · uxy − (cos2x − sin2x)uyy + cosx · uy = 0.
38.uxx − 2cosx · uxy − (3 + sin2x)uyy + ux + (sinx − cosx − 2)uy = 0.
39.e−2xuxx − e−2yuyy − e−2xux + e−2yuy + 8ey = 0.
40.4y2uxx + 2(1 − y2)uxy − uyy − 1+2yy2 (2ux − uy) = 0.
41.uxx + 2cosx · uxy − sin2x · uyy − sinx · uy = 0.
5
42.eyuxy − uyy + uy = 0.
43.uxx − 2sinx · uxy − (3 + cos2x)uyy − cosx · uy = 0.
44.tg2xuxx − 2ytgxuxy + y2uyy + tg3xux = 0.
45.x2uxx + 2xyuxy − 3y2uyy − 2xux + 4yuy + 16x2u = 0.
46.xuxx + 2xuxy + (x − 1)uyy = 0,
|
а) в области гиперболичности, |
б) в области эллиптичности. |
|
|
47. |
xuxx + yuyy + 2ux + 2uy = 0, |
|
|
|
|
а) в области гиперболичности, |
б) в области эллиптичности. |
|
|
48. |
uxx + xyuyy = 0, |
|
|
|
|
а) в области гиперболичности, |
б) в области эллиптичности. |
|
|
49. |
yuxx + uyy = 0, |
|
|
|
|
а) в области гиперболичности, |
б) в области эллиптичности. |
|
|
50. |
uxx + yuyy + 2uy = 0, |
|
|
|
|
а) в области гиперболичности, |
б) в области эллиптичности. |
|
|
51. |
yuxx + xuyy = 0, |
|
|
|
|
а) в области гиперболичности, |
б) в области эллиптичности. |
|
|
52. |
(1 − x2)uxx − 2xyuxy + (1 − y2)uyy − 2xux − 2yuy = 0, |
|
||
|
а) в области гиперболичности, |
б) в области параболичности, |
|
|
|
в) в области эллиптичности. |
|
|
|
53. |
(1 − x2)uxx − 2xyuxy − (1 + y2)uyy − 2xux − 2yuy = 0, |
|
||
|
а) в области гиперболичности, |
б) в области параболичности, |
|
|
|
в) в области эллиптичности. |
|
|
|
Тема 2. Метод разделения переменных для одномерного волнового |
|
|||
уравнения |
|
|
|
|
Пусть требуется найти решение уравнения |
|
|
||
|
utt(x, t) = a2uxx(x, t), |
(1) |
||
для x (0, l), t > 0, удовлетворяющее краевым условиям |
|
|||
|
ku(0, t) + (1 − k)ux(0, t) = 0, |
ju(l, t) + (1 − j)ux(l, t) = 0, |
(2) |
|
и начальным условиям |
|
|
|
|
|
u(x, 0) = ϕ(x), |
ut(x, 0) = ψ(x), |
(3) |
|
6
где величина k принимает значение равное либо 0, либо 1, и величина j принимает значение равное либо 0, либо 1.
Находим сначала нетривиальное решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2), в виде произведения
u(x, t) = T (t)X(x). |
(4) |
Подставляя (4) в уравнение (1), получим
X00(x) |
= |
T 00(x) |
= −λ, |
X(x) |
a2T (x) |
где λ – некоторая постоянная. Отсюда
X00(x) + λX(x) = 0, |
(5) |
T 00(t) + λa2T (t) = 0. |
(6) |
Так как функция T (t) не равна тождественно нулю, то, для того чтобы функция (4) удовлетворяла краевым условиям (2), необходимо и достаточно выполнение условий
kX(0) + (1 − k)X0(0) = 0, jX(l) + (1 − j)X0(l) = 0. |
(7) |
Таким образом, для определения функции X(x) мы пришли к следующей краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения (задача Штурма - Лиувилля):
Найти такие значения λ, называемые собственными значениями, при которых существует нетривиальное решение уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям (7); а также найти эти нетривиальные решения, называемые собственными функциями.
Известно, что:
1.Существует счетное множество собственных значений λ1 < λ2 < ... < λn < ... , которым соответствуют собственные функции X1(x), X2(x), ...
2.Собственные значения λn неотрицательны.
3.Собственные функции образуют на отрезке (0, l) ортогональную систему.
После того, как задача Штурма - Лиувилля решена, для каждого собственного значения λn решаем уравнение (6). Общее решение уравнения (6) при λ = λn имеет вид
Tn(t) = Ancosa λnt + Bnsina λnt,
где An, Bn – произвольные постоянные.
Таким образом, мы получили бесчисленное множество решений уравнения (1) вида
un(x, t) = Xn(x)Tn(t).
Чтобы удовлетворить начальным условиям (3), составим ряд
∞
X
u(x, t) = Xn(x)Tn(t).
n=1
Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него двукратным почленным дифференцированием по x и t, то сумма его будет удовлетворять уравнению
(1) и краевым условиям (2).
7
Для выполнения начальных условий (3) требуется чтобы
|
∞ |
|
||
|
nX |
(8) |
||
u(x, 0) = AnXn(x) = ϕ(x), |
||||
|
=1 |
|
|
|
|
∞ a√ |
|
|
(9) |
ut(x, 0) = |
λBnXn(x) = ψ(x). |
|||
|
nX |
|
||
|
=1 |
|
|
|
Ряды (8), (9) представляют собой разложение в ряды Фурье функций ϕ(x) и ψ(x). Из формул для коэффициентов этих разложений и определяются коэффициенты An, Bn.
Контрольные задания по теме:
Задание 1. Используя метод разделения переменных, найти решение однородного волнового уравнения utt = a2uxx, 0 < x < l, t > 0 при следующих граничных и начальных условиях:
1.u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = sinπl x + sin3lπ x, ut(x, 0) = 0 .
2.ux(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 1 .
3.u(0, t) = ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin2πl x + sin32πl x, ut(x, 0) = 0 .
4.ux(0, t) = ux(l, t) = 0, u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = 1 .
5.u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin2lπ x, ut(x, 0) = 1 .
6.ux(0, t) = ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 1 + cosπl x + cos3lπ x.
7.ux(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = cos2πl x + cos52πl x.
8.u(0, t) = ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin52πl x, ut(x, 0) = 1.
9.ux(0, t) = ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = U = const, ut(x, 0) = V = const.
10.u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 1.
11.ux(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = cos32πl x, ut(x, 0) = 1.
12.ux(0, t) = ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = 2 + cosπl x.
8
13.u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = sinπl x, ut(x, 0) = sinπl x + sin3lπ x.
14.ux(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = cos2πl x + cos32πl x, ut(x, 0) = cos32πl x.
15.u(0, t) = ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin2πl x, ut(x, 0) = sin2πl x + sin32πl x.
16.ux(0, t) = ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = 2 + cosπl x, ut(x, 0) = 1 + cos2lπ x.
17.u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin2lπ x, ut(x, 0) = x.
18.ux(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = cos32πl x + cos52πl x.
19.ux(0, t) = ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = 1 + cos2lπ x, ut(x, 0) = cosπl x + cos2lπ x.
20.u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin2lπ x + sin3lπ x, ut(x, 0) = sin2lπ x.
Задание 2. Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного волнового уравнения:
1. utt = a2uxx + Ax + B, 0 < x < l, t > 0,
u(0, t) = U1, u(l, t) = U2,
u(x, 0) = U1(1 − l−1x) + U2l−1x, ut(x, 0) = 0,
а)A = 2, B = 1, U1 = 1, U2 = 0, б)A = 1, B = 2, U1 = 0, U2 = 1, в)A = 1, B = 0.
2. utt = a2uxx + Ax + B, 0 < x < l, t > 0, ux(0, t) = 0, u(l, t) = U,
u(x, 0) = U, ut(x, 0) = V ,
а)A = 2, B = 1, U = 1, V = 0 б)A = 3, B = 1, U = 2, V = 1 в)A = 1, B = 0, U = 1, V = 2.
3. utt = a2uxx + Ax + B, 0 < x < l, t > 0, u(0, t) = U, ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = U, ut(x, 0) = V ,
а)A = 2, B = 1, U = 1, V = 0 б)A = 4, B = 1, U = 2, V = 1 в)A = 1, B = 0, U = 1, V = 2.
9
4. utt = a2uxx + Ax + B, 0 < x < l, t > 0, ux(0, t) = ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = U, ut(x, 0) = V ,
а)A = 2, B = 1, U = 1, V = 0 б)A = 1, B = 1, U = 2, V = 1 в)A = 1, B = 0, U = 1, V = 2.
5. utt = a2uxx + Asinx + B, 0 < x < l, t > 0,
u(0, t) = U1, u(l, t) = U2,
u(x, 0) = U1(1 − l−1x) + U2l−1x, ut(x, 0) = V ,
а)A = 2, B = 1, U1 = 1, U2 = 0, б)A = 1, B = 2, U1 = 0, U2 = 1, в)A = 1, B = 0.
6. utt = a2uxx + Acosx + B, 0 < x < l, t > 0, ux(0, t) = 0, u(l, t) = U,
u(x, 0) = U, ut(x, 0) = V ,
а)A = 3, B = 1, U = 1, V = 0 б)A = 1, B = 2, U = 2, V = 3 в)A = 1, B = 0, U = 1, V = 2.
7. utt = a2uxx + Asinx + B, 0 < x < l, t > 0, u(0, t) = U, ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = U, ut(x, 0) = V ,
а)A = 1, B = 3, U = 1, V = 0 б)A = 2, B = 1, U = 2, V = 1 в)A = 1, B = 0, U = 1, V = 2.
8. utt = a2uxx + Acosx + B, 0 < x < l, t > 0, ux(0, t) = ux(l, t) = 0,
u(x, 0) = U, ut(x, 0) = V ,
а)A = 3, B = 1, U = 1, V = 0 б)A = 1, B = 2, U = 2, V = 3 в)A = 1, B = 0, U = 1, V = 2.
9. utt = a2uxx + (Ax + B)sint + Cx + D, 0 < x < l, t > 0,
u(0, t) = U1(t), u(l, t) = U2(t),
u(x, 0) = l−1(U2(0) − U1(0))x + U1(0), ut(x, 0) = V ,
а)A = 2, B = 1, C = 4, D = 3, U1, U2 = const, б)A = 0, B = 2, C = 2, D = 1, U1 = sint, U2 = 1,
в)A = 0, B = 0, C = 0, D = 1, U1 = sint, U2 = cost, г)A = 1, B = 0, C = 2, D = 1, U1 = sint, U2 = 2,
д)A = 0, B = −1, C = 1, D = 0, U1 = cost, U2 = lsint.
10