выч.методы лин. алгебры

Мы получим семейство методов, которые наз. методами послед. релаксации. При ! = 1 ri = 0 , т.е. метод Зейделя получается из семейства методом послед. релаксации при ! = 1.

Параметр ! называют релаксационным параметром. Получим формулы метода послед. релаксации при ! = 1 Параметр ! называют релаксионным параметром. Получим формулы метода посл. релаксации

B = D + !AL; = ! S = E !B 1 A =

E (D+!AL) 1(!AL+!D+!AV +D D) = (D + !AL) 1((! 1)D + !AV )

Согласно критерию, для сходимости метода при 8x(0) необходимо и достаточно, чтобы все j (S)j < 1, или

det[ (D + !AL) 1((! 1)D + !AV ) E] = 0

det[(D + !AL) 1] det[(1 !)D !AV (D + !AL)] = 0 det[(1 !)D !AV (D + !AL)] = 0; ( )

Критерий, чтобы все корни этого уравнения были по модулю меньше 1.

âуравнении ( ) сделаем замену переменной

+ 1

= 1

D D !D + !D !AV + !AV D !AL D !AL

1 det 1( !A + (! 2)D + !(AV AL)) = 0

det[ !A + (! 2)D + !(AV AL)] = 0 ( )

21

из ТФКП следует, что преобразование = +11 конформно отображает

внутренность единичного круга j j < 1 в левую полуплоскость < < 0: Т.о. доказана теорема: для сходимости м.п.р. при 8x(0) необходимо и

достаточно, чтобы вещественные части корней уравнения ( ) были отри-

цательны.

Теорема (достаточное условие сходимости м.п.р.)

Для симметрических положительно определенных матриц м.п.р. сходится, если ! 2 (0; 2):

Док-во. 8 корень уравнения.

матрица P = ! A + (! 2)D + !(AV AL) вырождена и система P x = 0 имеет нетривиальное решение x.

т.к., вообще говоря, комплексно, то x = u + iv P x = 0 x скалярно x = u iv

(Dx; x) > 0

(a12u2u1 + a13u3u1 + :::a1nunu1)+

22

+(a23u3u2 + a24u4u2 + :::a2nunu2)+

...

(a21u1u2) (a31u1u3 + a32u2u3) + ::: = 0

Метод простой итерации

Когда B = E; S = E A , формулы метода простых итераций:

x(k+1) = x(k) (Ax(k) f)

Поставим следующую задачу оптимизации: подобрать > 0 так, чтобы асимптотическая скорость сходимости R = ln kSk была наибольшей. Из формулы для R видно, что для решения этой задачи следует минимизировать kSk

Решим эту задачу в наиболее простом случае, когда

A = A > 0, собственные значения такой матрицы вещестенны и положи-

тельны.

Обозначим через и соответственно min и max собственные значения A, тогда 0 < i(A)

Используем спектральную kk, т.е. минимизируем kSk2 матрица S, также является симметрической и kSk2 = max1 i n j i(S)j

Очевидно i(S) = 1 i(A), поэтому наша задача состоит в минимизации по величины kSk2 = maxi j1 i(A)j

Для этого рассмотрим функцию f( ; ) = j1 j

äëÿ 8 > 0; 2 [ ; ]:

Покажем, что при фиксированном

23

Теперь, покажем, что решением этой задачи является 0 = +2 Убедимся â ýòîì:

24

скорость сходимости итерационного метода тем выше, чем лучше обусловлена матрица системы, т.е. чем меньше 2(A):

Итерационные методы решения частичной проблемы собственных значения.

Пусть A - вещественная матрица, все собственные значения которой вещественны и различны по модулю. Занумеруем их в порядке убывания модулей:

j 1(A)j > j 2(A)j > ::: > j n(A)j:

Из курса линейной алгебры известно, что матрица, все собственные значе-

ния которой различны, обладает полной системой собственных векторов: u(1); u(2); :::; u(k); ÷òî Au(i) = i(A)u(i); i = 1; 2:::; n

Выберем произвольный вектор x(0), и построим последовательность векторов x(k) òàê: x(k) = Ax(k 1); k = 1; 2; :::

Очевидно, x(k) = Akx(0): Представим вектор x(0) â âèäå:

n

В силу неравенств j 1(A) j < 1; i = 1; 2:::; n

вектор (k) при k ! 1 стремится к вектору c1u(1)

Пусть c1 6= 0. Тогда вектор c1u(1), отличаясь от u(1) только константой c1, будет собственным вектором, отвечающим наибольшму по модулю соб-

ственному значению 1:

Вектор x(k) отличается от (k) лишь множителем k(A), тогда x(k) ! к собственному вектору при k ! 1:

25

В этом, собственно, и заключается идея метода. Но при реализации алгоритма имеется одна трудность. Если j 1(A)j > 1; òî ïðè k ! 1 k(A) ! 1 и вследствие этого при некотром k вектор x(k) может стать настолько боль-

шим, что это приведет к переполнению разрядной сетки (ячейки) прежде, чем будет достигнута требуемая точность.

Åñëè æå j 1(A)j < 1; òî ïðè k ! 1 k(A) ! 0 и при вычислении некоторых компонент x(k) может произойти изчезновение порядка, что может суще-

ственно ограничить точность вычисления собственного вектора. Во избежа- ние таких неприятностей вектор x(k) необходимо нормировать. Например,

сделать kx(k)k1 = 1; разделив все компоненты этого вектора на максимальную по модулю компоненту.

Обозначим через

k = max jx(ik)j

1 i n

Тогда x(k) = Ax(k 1) ; k = 1; 2; :::

k 1

Поделив каждый вектор x(k) íà k мы не нарушаем сходимости последовательности x(k) к собственному вектору, соответствующему наибольшему по

модулю собственному значению. Более того, т.к.

имеющему наибольшую по модулю компоненту, равную 1. Таким собственным вектором, очевидно, является собственным вектором

Из этого равентсва следует, что k - являясь наибольшей по модулю компо- нентой вектора x(k) стремится к наибольшей по модулю компоненте вектора

Этот метод позволяет найти как собственное значение, так и собственный вектор, отвечающий этому максимальному по модулю собственному значе- нию.

26

Метод обратных итераций.

В этом методе приближения x к собственному вектору строится следующим

образом:

x(k) A 1 x(k 1) ; k = 1; 2:::

k 1

Отсюда

Ax(k) = x(k 1)

Поскольку собственные значения обратной матрицы обратны собственным

значениям исходной матрицы, а собственные вектора совпадают с собственными векторами исходной атрицы, то последовательность x(k) построенная

по МОИ, будет сходиться к собственному вектору исходной матрицы A, отвечающему ее наименьшему по модулю собственному значению, при этом:

Следовательно, метод обратных итераций позволяет вычислить наименьшее по модулю собственное значение исходной матрицы и отвечающий ему собственный вектор.

27