1 билет.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.

Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. — появление красного шара при одном извлечении,— появление белого шара,— появление шара с номером. Событияобразуют полную группу совместных событий.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным — событие, либо бракованным — событие.

2 билет

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единицеСвойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

3 билет

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

P_n = n!,

где n! = 1 * 2 * 3 ... n.

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

A^m_n = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

4 билет

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

W (А) = m / n,

где m - число появлений события, n - общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

5 билет

Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, а не от его положения, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события А есть отношение меры А к мере U пространства элементарных событий. Под мерой понимается

• в одномерном пространстве - длина

• в двумерном пространстве - площадь

• в трехмерном пространстве - объем

Таким образом, геометрическая вероятность означает, что

6 билет

В теории вероятностей несколько событий называются несовместными, или несовместимыми^{[источник не указан 586 дней]}, если никакие из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случайного эксперимента.

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

7 билет

Совместное событие

В теории вероятности – любое событие, которое представляет собой одновременное возникновение любых двух (или более) других событий. При раскладывании колоды карт, например, "черная пятерка" будет совместным событием, так как состоит из всех карт, которые являются и черными и имеют пять символов.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

Замечание 1. В случае несовместных событий мы получаем формулу для вероятности суммы несовместных событий как частный случай.

Замечание 2. Сделаем еще замечание по структуре формулы для вероятности суммы двух совместных событий. Графически два совместных события можно изобразить как две пересекающиеся области A и B. Сумма A+ B соответствует попаданию в какую-нибудь из областей, или A, или B. В 3 кванте говорилось, что вероятность попадания в некоторую область пропорциональна площади этой области, и соответственно вероятность попадания в объединение двух областей будет пропорциональна площади этой объединенной области. А ее, в свою очередь, можно представить как сумму площадей двух областей A и B за вычетом пересекающегося участка, так как при суммировании площадей A и B он будет учтен 2 раза.

8 билет

По́лной гру́ппой(системой) собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного экспериментанепременно произойдет одно и только одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

Пусть есть вероятностное пространство. Любое разбиение множества элементами сигма-алгебры называется полной группой событий.

Теорема. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ , ..., А_n , образующих полную группу, равна единице:

Р (A₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = 1.     (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р (А₁ + А₂ + ... + А_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (А_n).    (**)

Сравнивая (*) и (**), получим

Р (А₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

9 билет

Рассмотрим некоторое событие А. Как всякому событию, ему благоприятствуют какие-то элементарные события. Но в результате случайного опыта происходят и элементарные события, которые не благоприятствуют

Например, студент Петя, готовясь к экзамену, выучил только первые 15 вопросов из 20; последние 5 вопросов он не знает совсем. В случайном эксперименте "вытянуть билет" всего 20 элементарных событий. Событию А "не сдать экзамен" благоприятствуют 5 из них: вытянуть билеты №16, №17, №18, №19, №20. Остальные 15 элементарных событий не благоприятствуют этому событию. Эти 15 элементарных событий вместе дают новое событие, которое называют событием, противоположным событию А, и обозначают .

Событием, противоположным событию А, называют событие, которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А. Противоположное событие происходит тогда, когда не происходит событие А.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему о полной группе событий).

10 билет