Реализация нерекурсивного алгоритма

program pohod;

const nnn = 100; {максимально возможное количество различных весов}

var f: text;

d,razn,k,i,j,n: integer;

sum: longint;

ves,kol: array[1..nnn] of word;

take, dif: array[0..nnn] of word;

procedure vyvod(a: integer);

begin

writeln(a);

halt; {принудительное завершение работы программы}

end;

begin

{---- Ввод данных и их сортировка ---}

...

{---- Основная часть программы -----}

d:= sum mod 2; {показатель четности общего веса}

sum:=(sum div 2)+ d; {"большая половина" общего веса}

dif[0]:= sum;

razn:= sum;

for i:= 1 to k do

begin

take[i]:= min(dif[i-1] div ves[i],kol[i]);

dif[i]:= dif[i-1]- take[i]*ves[i];

if dif[i]< razn then razn:= dif[i];

if razn <= d then vyvod(d);

{проверка того, что уже на первом шаге найдено решение}

end;

{---- Заполнение массива --------}

i:= k;

while i>0 do

begin

if take[i]= 0

then i:= i-1 {переход к следующей компоненте}

else begin

dec(take[i]); уменьшение текущей компоненты на 1}

inc(dif[i],ves[i]); {увеличение остатка на соотв. величину}

for j:= i+1 to k do {перезаполнение хвоста}

begin

take[j]:= min(dif[j-1] div ves[j],kol[j]);

dif[j]:= dif[j-1]- take[j]*ves[j];

if dif[j]< razn then razn:= dif[j];

if razn <= d then vyvod(d); {проверка результата}

end;

i:= k;

end;

end;

vyvod(2*razn-d);

end.

Иллюстрация

Наиболее понятным образом принцип работы нашей программы можно продемонстрировать на примере.

Вес	25	11	9	5
Количество	1	2	2	2

Пусть имеется семь предметов ( n = 7 ) с весами 9, 5, 25, 11, 9, 5, и 11 единиц (килограмм, фунтов, бушелей...). Тогда всего есть четыре разных вида предметов ( k = 4 ).

Общая сумма весов равна 75 ; следовательно, "большая половина" sum = 38. Теперь нужно найти такой набор предметов, чей суммарный вес будет наиболее близким к этой "золотой середине". Кроме того, не стоит забывать и о сделанном ранее замечании: как только найдется набор, вес которого отличается от "золотого" лишь на единицу, поиск можно закончить.

Начнем теперь заполнять массивы take и dif (массив dif хранит остатки, в пределах которых можно проводить дальнейшие вычисления).

На начальном ("нулевом") шаге мы заполним массив take так, чтобы в создаваемый набор попали по возможности самые тяжелые предметы (см. раздел реализации "Основная часть программы"). Таким образом, получим следующие состояния массивов:

ves	-	25	11	9	5
take	0	1	1	0	0
dif	38	13	2	0	0

После этого шага переменная razn, которая хранит отклонение текущего набора весов от оптимального, будет содержать значение 2. Попытаемся уменьшить это значение (переход к разделу реализации "Заполнение массива").

Двигаясь от конца массива take к его началу, будем уменьшать поочередно каждую его ненулевую компоненту. Разумеется, при этом будут возникать изменения в хвосте этого массива; эти изменения мы будем вносить туда в обычной последовательности "от начала к концу".

Таким образом, наши массивы последовательно примут следующие значения (некоторые непринципиальные шаги опущены):

1

ves	-	25	11	9	5
take	0	1	0	1	0
dif	38	13	13	4	0

2

ves	-	25	11	9	5
take	0	1	0	0	2
dif	38	13	13	13	3

3

ves	-	25	11	9	5
take	0	1	0	0	1
dif	38	13	13	0	8

4

ves	-	25	11	9	5
take	0	1	0	0	0
dif	38	13	13	13	13

5

ves	-	25	11	9	5
take	0	0	2	1	1
dif	38	38	16	7	2

6

ves	-	25	11	9	5
take	0	0	2	1	0
dif	38	38	16	7	7

7

ves	-	25	11	9	5
take	0	0	2	0	2
dif	38	38	16	16	6

10

ves	-	25	11	9	5
take	0	0	1	2	1
dif	38	38	27	9	4

12

ves	-	25	11	9	5
take	0	0	1	1	2
dif	38	38	27	18	8

17

ves	-	25	11	9	5
take	0	0	0	2	2
dif	38	38	38	20	10

22

ves	-	25	11	9	5
take	0	0	0	0	2
dif	38	38	38	38	28

24

ves	-	25	11	9	5
take	0	0	0	0	0
dif	38	38	38	38	38

Итак, мы убедились в том, что найденное в самом начале значение переменной razn и было минимальным (найденные группы весов соответственно 25 + 11 = 36 и 11 + 9 + 9 + 5 + 5 = 39 ). Необходимо отметить, что из приведенных выше таблиц видно (см. шаг 5), что существует еще один способ разделить приведенный набор весов таким же оптимальным образом: ( 11 + 11 + 9 + 5 = 36 и 25 + 9 + 5 = 39 ). Найденная разница 39 - 36 = 3 и будет окончательным результатом, который программа сообщит пользователю.

Эффективность

В отличие от рекурсивного алгоритма, верхним пределом для которого можно смело считать наборы длиной в 50 предметов, итеративный алгоритм способен обработать до 5 000 различных весов (общее количество предметов может быть гораздо больше).

Другие примеры сравнения рекурсивных и нерекурсивных алгоритмов, решающих одну и ту же задачу, будут приведены в лекции 12.

Быстрая сортировка2

Возвратимся теперь к методам сортировки массивов, которым была посвящена лекция 4. Наиболее эффективный способ сортировки остался тогда не рассмотренным по причине того, что самая удобная его реализация подразумевает рекурсию.

Алгоритм Быстр

1. Возьмем в сортируемом массиве срединный элемент: x:=a[(1+N)div 2] ;

2. Будем производить следующие действия:

   1. начав с левого конца массива, будем перебирать его компоненты до тех пор, пока не встретим элемент a[i], больший х ;

   2. начав с правого конца массива, будем перебирать его компоненты до тех пор, пока не встретим элемент a[j], меньший х ;

   3. поменяем местами элементы a[i] и a[j] ;

до тех пор, пока не произойдет "рандеву". В результате массив будет разделен на две части. В левой части окажутся все компоненты, меньшие х, а в правой - большие х.

Теперь применим эти же действия к левой и к правой части массива - рекурсивно.

Реализация алгоритма Быстр

type index = 1..N;

var a: array[index] of integer;

procedure quicksort(l,r:index);

var i,j: index;

x,z: integer;

begin

i:= l;

j:= r;

x:= a[(l+r)div 2];

repeat

while a[i]< x do inc(i);

while a[j]> x do dec(j);

if i <= j

then begin

z:= a[i];

a[i]:= a[j];

a[j]:= z;

inc(i);

dec(j);

end;

until i>j;

if l<j then quicksort(l,j);

if i<r then quicksort(i,r);

end;

begin {тело программы}

...

quicksort(1,n);

...

end.

Эффективность алгоритма Быстр

Алгоритм Быстрой сортировки имеет в среднем²⁾ сложность N*log N и, следовательно, относится к улучшенным методам сортировки массивов (см. лекцию 4). Кроме того, даже среди улучшенных методов упорядочения Быстрая сортировка дает наилучшие результаты по времени (для относительно больших входных последовательностей - начиная с N = 100 ).

Конечно же, существует и итеративный вариант алгоритма Быстрой сортировки, который еще более эффективен. Мы предлагаем читателям построить его самостоятельно.

  ¹⁾   См. Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ, любое издание. Т.1 Основные алгоритмы.   ²⁾   Существует, однако, "плохой" случай (и немногочисленные смежные с ним), когда эффективность Быстрой сортировки резко ухудшается до N². Это происходит, если на каждом шаге срединным оказывается такой элемент, что от массива отделяется всего один элемент (массив длины N распадается на два массива длины N-1 и 1 ). Поэтому при описании эффективности мы использовали слова "в среднем".