5. Элементы теории алгоритмов

2.5.1. Машины Тьюринга

Машина Тьюринга – это система, работающая в дискретные моменты времении состоящая из следующих частей:

конечная лента, разбитая на конечное число ячеек. В каждый момент временив ячейках записаны буквы из некоторого алфавита(где,), называемого внешним алфавитом машины. Ячейка, в которой записан символ, называетсяпустой. Если в какой–то момент времени лента имеетячеек, тосостояние ленты полностью описывается словом, где­– состояние первой (слева) ячейки,– состояние второй ячейки и т.д.

Управляющая головка, представляющая собой устройство, которое может перемещаться вдоль ленты так, что в каждый рассматриваемый момент времени оно находится напротив определенной ячейки и имеет некоторое состояниеиз конечногомножества внутренних состояний,. Состояниеназываетсязаключительными означает завершение работы машины. Состояниеназываетсяначальными означает начало работы машины.

Программа Π, т.е. совокупность выражений(где), называемыхкомандами, каждое из которых имеет один из следующих видов:

сдвиг головки, находящейся в состоянии напротив ячейки с буквой, на одну ячейку влево с заменой состоянияна;

сдвиг головки, находящейся в состоянии напротив ячейки с буквой, на одну ячейку вправо с заменой состоянияна;

_{замена буквы} в текущей ячейке на букву, а также замена состоянияголовки на состояние

Замечание 1. 1) Команды не могут начинаться со слов.

2) .

Таким образом, машина Тьюринга – это пятерка.

Машинным словомназывается слово, где– состояние ленты,– состояние головки, находящейся напротив ячейки с состоянием, занимающей то же положение среди других ячеек, что и буквав слове.

Пустое слово обозначим через .

Опишем преобразованиемашинного словав машинное словоза один шаг работы машины:

если , топриипри;

если , топриипри;

если , то.

Машинное словополучается из машинного словас помощью машины Тьринга, если существует последовательность преобразований,, для которой,.

Пусть – множество натуральных чисел с нулем,.

Отображение , где, называетсяn–местнойчастичной функцией. Если, то частичная функцияназываетсявсюду определенной.Если, то частичная функцияназываетсянигде не определенной.

Для любого числа черезобозначим слово, состоящее изчисла единиц:. Для любой–кисловоназывается записью этой–ки.

Частичная функция , где, называетсявычислимой по Тьюрингу, если существует машина Тьюрингатакая, что

1) ;

2) машина применима к записnиn-ки;

₃₎ дляи.

Пример 1. Построим машину Тьюринга, вычисляющую функцию. Пусть, где,, программа Π состоит из команд:

2.5.2. Примитивно рекурсивные функции

Базисными функцияминазываются следующие функции:– нулевая функция;– функция следования;– функция выбора.

Оператор суперпозиции (подстановки)ставит в соответствиеm-местной частичной функциииn-местным частичным функциямn-местную частичную функцию, удовлетворяющую тождеству:

Оператор примитивной рекурсииставит в соответствиеn+2-местной частичной функциииn-местной частичной функцииn+1-местную частичную функцию, удовлетворяющую схеме примитивной рекурсии:

Частична функция называетсяпримитивно рекурсивной(ПРФ), если существует последовательность частичных функций, в которойи всякаяявляется либо базисной функцией, либо получается из предыдущих функций с помощью оператора суперпозицииили примитивной рекурсии.

Пример 2. Функция сложенияявляется ПРФ:

Пример 3. Функция умноженияявляется ПРФ: