32. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством: 

Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством: 

НАЗНАЧЕНИЕ СЕРВИСА. Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x), либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x).  ИНСТРУКЦИЯ. Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x).

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.  Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:  P(α < X < β)=F(β) - F(α)  причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:  P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)  Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция  f(x)=F’(x), производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.  2. Условие нормировки:  (2.11)  Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.  3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле(2.12)  Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.  4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:(2.13)  Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть [x, x + Δx) — интервал произвольно малой длины Δx > 0. Вероятность попадания случайной величины в этот интервал приближенно равна произведению значения плотности распределения в точке x на длину этого интервала: f(x)Δx, то есть вероятность пропорциональна длине интервала, причем коэффициент пропорциональности равен значению плотности распределения в точке x (рис. 2.5).Вероятность попадания случайной величины в интервал длины Δx  Числовые характеристики непрерывной случайной величины находятся по формулам, похожим на формулы для дискретной случайной величины, но везде знак суммы заменяется на знак интеграла, а вероятность p_i на дифференциальный элемент вероятности f(x)dx.  Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно (2.14)  Дисперсия непрерывной случайной величины есть(2.15)  Всесвойства математического ожидания и дисперсии, сформулированные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных случайных величин.