2. Построение переходных характеристик сар обратным преобразованием Лапласа.

Построить переходную характеристику САР для типового (например, скачкообразного или ступенчатого) воздействия можно путем обратного преобразования Лапласа произведения передаточной функции САР на изображение воздействия.

Изображением единичного ступенчатого воздействия (ступенчатого изменения задающего воздействия на 1) является выражение:

.

Тогда реакция САР на это воздействие будет описываться передаточной функцией:

- для пропорционального регулятора:

,

- для пропорционально-интегрального регулятора:

,

- для пропорционально-дифференциалного регулятора:

,

- для пропорционально-интегрально-дифференциалного регулятора:

.

Применив к указанным передаточным функциям обратное преобразование Лапласа, получим выражения переходных характеристик САР для единичного ступенчатого воздействия.

Обратное преобразование можно получить в Mathcad, используя команду меню Symbolics –> Transform -> Inverse Laplaсе. Для выполнения команды следует создать выражение передаточной функции, выбрать курсором переменную р и выполнить команду меню.

На рис.4 приведен пошаговый пример получения переходной характеристики для САР с П-регулятором:

1) построение выражения для передаточной функции, выбор переменной р и выполнение команды Symbolics –> Transform -> Inverse Laplaсе;

2) результат выполнения команды Symbolics –> Transform -> Inverse Laplaсе;

3) построение выражения для переходной характеристики (функция Y1(t)).

Рис.4. Порядок получения переходной характеристики

По результатам построения переходных характеристик можно получить их реализации для различных значений параметров звеньев САР (постоянных Т1, Т2, Т3, k1, k2). Для этого следует задаться численными значениями постоянных, задать промежуток времени наблюдения переходного процесса САР и построить графики изменения функций Y(t) (см. пример на рис.5).

Y(t) – единичное ступенчатое воздействие; Y1(t) – САР с П-регулятором; Y2(t) – САР с ПИ-регулятором; Y3(t) – САР с ПД-регулятором; Y4(t) – САР с ПИД-регулятором;

Рис.5. Графики переходных процессов САР

3. Построение переходных характеристик сар решением системы оду для разложения передаточной функции с помощью дополнительных переменных.

Построить переходную характеристику САР для типового (например, скачкообразного или ступенчатого) воздействия можно решением системы ОДУ для разложения передаточной функции с помощью дополнительных переменных.

Для реализации этого метода передаточная функция САР должна быть представлена в виде отношения полиномов для переменной р:

,

где X(p) – изображение входного воздействия;Y(p) – изображение выходного сигнала;m– порядок полинома числителяW(p);n– порядок полинома знаменателяW(p);a_i- коэффициенты полинома числителя приi=0, 1, ..,m;b_i- коэффициенты полинома знаменателя приi=0, 1, ..,n. У практически реализуемых элементовnm.

Число интегрирующих элементов (интеграторов) равно порядку полинома числителя и определяет порядок системы (количество дифференциальных уравнений). При этом система уравнений модели W(p) в операторной форме в общем случае имеет вид:

Здесь используются дополнительные переменные состояния Z_i, описывающие выходные сигналы интеграторов. Их общее число равно порядку знаменателя и определяет число обыкновенных дифференциальных уравнений системы.

Пример.

Например, для передаточной функции вида:

вводятся обозначения: a₀= 1;a₁= 0.1;a₃= 0.01;b₀= 2;b₁= 0.01;b₂= 0.01;b₃=0.001;b₄=0.0001.

По структурной схеме и на основе системы составляется система дифференциальных уравнений САР:

В системе y(t) – функция времени регулируемой величины, то есть временная зависимость реакции САР на воздействие; х(t) – функция времени задающего воздействия; z_i(t) – функции времени дополнительных переменных состояния Z_i.

Численное решение системы дифференциальных уравнений позволяют получить функции Mathcad, реализующие, например, метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности (см. Приложение).

Рассмотрим порядок использования функции Rkadapt() для численного решения системы ОДУ описываемой в примере САР.

Для использования функции Rkadapt() необходимо выполнить следующие шаги, которые проиллюстрируем с помощью рассматриваемого примера передаточной функции.

1. Задать функцию х(t). Например, для единичного ступенчатого воздействия х(t)=1.

2. Создать вектор системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Задать начальные значения вектора системы.

4. Задать временной интервал наблюдения решения и количество расчетных точек наблюдения решения.

5. Создать выражение с функцией Rkadapt().

6. Результат решения – матрица, содержащая численные значения компонент решения y(t).

Столбец матрицы Y_n,0 содержит значения текущего времени наблюдаемого переходного процесса.

Представим передаточные функции рассматриваемой САР с П, ПИ, ПД и ПИД регуляторами в виде отношения полиномов. Результаты представления сведем в таблицу 4.

Таблица 4 – Преобразование передаточных функций САР

№ п/п	регу-лятор	исходная передаточная функция САР	преобразованная передаточная функция САР
1	П
2	ПИ
3	ПД
4	ПИД

Преобразованные к виду отношения полиномов передаточные функции САР позволяют рассчитать переходные характеристики САР, используя функцию Rkadapt() Mathcad.