1.2. Виды типовых воздействий в сау.

При анализе работы систем автоматического регулирования и их отдельных элементов в качестве типовых выбирают одно из следующих возмущений.

Импульсное возмущение — возмущение, полученное как последовательность двух одинаковых по величине, но противоположных по знаку ступенчатых возмущений, сдвинутых во времени на величину, обратную величине их интенсивности (рис.3б). Особое значение имеет единичная импульсная функция или дельта-функция, обозначаемая (t).

Дельта-функция обладает следующими свойствами:

(t)=, .

Первое свойство означает, что дельта-функция существует лишь в момент времени t=0. Второе свойство означает, что, несмотря на пренебрежимо малую длительность функции, площадь, ограниченная ею, имеет конечное значение, равное единице. Единичная импульсная функция является производной от единичного скачка, т. е.:

(t)=.

Ступенчатое возмущение — мгновенное изменение воздействия на постоянную величину, чаще всего равную единице (рис.3а). Физическая система испытывает толчок. Аналитически ступенчатое возмущение записывается в виде

f(t)=.

г д

а — ступенчатое; б — импульсное; в — гармоническое; г — скачок скорости; д — скачок ускорения

Рис.3. Типовые возмущения систем.

Периодическое возмущение — возмущение, изменяющееся периодически во времени. Оно удобно для исследования автоматических систем, работающих в режиме незатухающих колебаний. Наиболее простым периодическим возмущением является гармоническое колебание единичной амплитуды (рис. 3в).

Скачок скорости или скачок ускорения — возмущения, являющиеся стандартными для следящих систем, которые работают в режиме постоянной скорости x(t)=at (рис.3г) или постоянного ускорения x(t)=bt² (рис.3д).

1.3. Переходная функция звена.

Переходной функцией h(t) называется реакция звена на типовое воздействие (рис.4), т.е. переходный процесс на выходе y(t). Как правило, под переходной функцией считают реакцию на ступенчатое воздействие.

Рис.4. Входное ступенчатое воздействие x(t)=1(t) и ему соответствующая переходная функция звена h(t).

Переходная функция может быть определена экспериментально или вычислена теоретически.

Например, если на вход подается единичный скачок 1(t), то его изображение по Лапласу X(р)=L{1(t)}=. Зная передаточную функцию звена, W(p)=, находим изображение выходной величины как:

Y(p)=W(p)=.

Переходя к оригиналу, получим

h(t)==.

Переход от изображения к оригиналу может быть осуществлен по таблице операционных соответствий или по теореме разложения

h(t)=+,

где p_i - корни характеристического уравненияA_npⁿ+A_n-1p^n-1+...+A₁p+1=0;

A^'(p_i) – производнаяA^'(p)=приp=p_i.

Для примера найдем переходную характеристику звена cпередаточной функцией

W(p)=.

Характеристическое уравнение звена

Тp+1=0.

Корень p₁=-. Тогда по формуле обратного преобразования

h(t)=k.

Установившееся значение реакции на выходе элемента может быть легко определено из выражения

.

Для переходной характеристики h_уст=.

1.4. Частотные характеристики звена.

Частотными характеристиками называют формулы и графики, характеризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме, то есть вынужденные синусоидальные колебания звена.

Если на вход звена подается единичный синусоидальный сигнал (как показано на рис.5)

x(t)=sint,

то на выходе будет (в установившемся режиме)

y(t)=Asin(t+),

где A — амплитуда (точнее, усиление амплитуды), а  — фаза (точнее, сдвиг по фазе).

Рис.5. Реакция устойчивого звена на синусоидальное воздействие.

Амплитудно-частотная характеристика(АЧХ)A() есть зависимость отношения амплитуды колебаний на выходе звена к амплитуде на входе от частоты входного сигнала:

A()=,

где A_вых(), A_вх- соответственно амплитуды выходного и входного сигналов;

 - частота входного сигнала.

Фазо-частотная характеристика(ФЧХ)() есть зависимость разности фаз выходного и входного сигналов от частоты входного сигнала

()=₂-₁,

где ₂, ₁- начальные фазы соответственно выходного и входного сигналов.

Амплитудная и фазовая частотные характеристик изображаются графически (рис.6).

Рисунок 6 - Графики амплитудной и фазовой частотных характеристик.

Амплитудно-фазоваяхарактеристика (АФХ) есть отношение выходного и входного гармонического сигналов, записанных в комплексной форме, при изменении частоты входного сигнала от нуля до бесконечности.

АФХ изображается на комплексной плоскости и для каждой частоты представляет собой вектор длиной A(), идущий под углом()к вещественной положительной полуоси. Годограф, соединяющий концы векторов, построенных для всех частот от нуля и до бесконечности, и будет являться АФХ.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика АФЧХ (ее еще называют комплексной передаточной функцией) звена получается из передаточной функции W(p)подстановкойp=j W(j)=W(р)_р=j.

W(j)=k.

Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой комплексное число и может быть представлена в виде

W(j)=A()=U()+jV(),

где A()=– амплитудно-частотная характеристика;

U()- вещественная частотная характеристика;

V()- мнимая частотная характеристика.

Если передаточная функция представлена в виде отношения полиномов числителя и знаменателя, то модуль амплитудно-фазовой характеристики удобно находить как отношение модулей числителя и знаменателя:

A()=k,

а фазу - как разность аргументов числителя и знаменателя

()=arg[B_m(j)]-arg[А_n(j)].

Графически амплитудно-фазовая частотная характеристика изображается на комплексной плоскости (рисунок 7) в координатах (U, V), как годограф функции W(j). Можно строить амплитудно-фазовую частотную характеристику, выделив в выражении W(j) вещественную и мнимую части. При этом частоту  изменяют от 0 до  (сплошная кривая на рис.7) или же от — до +, когда добавляется еще симметричная к ней пунктирная кривая.

Рис.7. АФЧХ звена.

Логарифмические частотные характеристики

Чаще всего амплитудную и фазовую частотные характеристики изображают в логарифмическом масштабе. Такие логарифмические частотные характеристики очень удобны для инженерных расчетов.

При построении логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАЧХ) по оси ординат откладывают величину

L()=20lgA()=20lgW(j),

единицей измерения для которой является децибел (дБ). По оси абсцисс откладывается частота  в логарифмическом масштабе (рис.8).

Рис.8. Логарифмические частотные характеристики.

Равномерной единицей на оси абсцисс является декада — любой отрезок, на котором значение частоты увеличивается в десять раз. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза _ср.

Начало координат обычно помещают в точке =1, так как lg1=0. Точка же =0 лежит в —. Однако, в зависимости от интересующего нас диапазона частот можно начало координат брать и в другой точке (=0,1; =10 или др.)

При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФХ) отсчет углов  идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. По оси абсцисс частота  откладывается по-прежнему в логарифмическом масштабе.

Важно иметь в виду, что ось абсцисс (L=0) соответствует значению А=1, т. е. прохождению амплитуды сигнала через звено без изменения амплитуды. Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям А>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость — значениям А<1 (ослабление амплитуды).