
Задание Windows Forms Application 2 Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта Постановка задачи и варианты задания
Решить численно дифференциальное
уравнение первого порядка методом
Рунге-Кутта с шагом
при начальном условии
.
Решение представить в виде таблицы,
содержащей номер№ точки (51
точка) и значения
в этих точках. Построить график функции
и ее производной
.
Варианты задания
-
№
Дифференциальное уравнение
1
-0,5
0,2
2
-0,2
0,1
3
-0,5
0,7
4
-0,3
0
5
-0,4
0,3
6
-0,4
0
7
-0,2
0
8
-0,4
0
9
0,4
1
10
-0,7
-4
11
-0,3
-3
12
-0,6
1,5
13
-0,1
0,2
14
0,6
4,5
15
-0,9
1,9
Описание метода Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта является методом
повышенной точности для численного
решения дифференциальных уравнений с
заданными начальными условиями. Пусть
на отрезке
требуется найти решение дифференциального
уравнения
(1)
с начальным условием
.
Разобьем отрезок
на
равных частей точками
,
где
- шаг интегрирования. Каждое следующее
значение функции
определяется через предыдущее по
алгоритму
. (2)
Приращение
вычисляется по формуле
, (3)
где
(4)
Алгоритм стартует со значения
.
Коэффициенты
обновляются на каждом шаге интегрирования.
Предварительная оценка погрешности делается после двойного просчета по формуле:
;
где– точное решение в точке
;
– приближенные значения, полученные с
шагом
и
соответственно. Шаг
выбирают так, чтобы выполнялось условие
,
где
– заданная точность.
Метод Рунге-Кутта может быть применен к решению уравнений более высокого порядка путем сведения их к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Также возможно решение системы дифференциальных уравнений.
Геометрическая интерпретация
коэффициентов
.
Пусть кривая
(рис.1) есть решение дифференциального
уравнения (1) на отрезке
.
Точка
данной
кривой лежит на прямой, параллельной
оси
и делит отрезок
пополам,
и
– точки пересечения касательной,
проведенной к кривой
в точке
,
с ординатами
и
.
Тогда число
с точностью до множителя
есть угловой коэффициент касательной
к кривой
в точке
:
.
Точка
имеет координаты
.
Следовательно,
с точностью до множителя
есть угловой коэффициент касательной,
проведенной в точке
(
–
отрезок касательной):
.
Через точку
проведем прямую, параллельную отрезку
,
до пересечения в точке
с вертикалью
.
Тогда точка
имеет координаты
,
а
с точностью до множителя
есть угловой коэффициент касательной,
проведенной к интегральной кривой в
точке
:
(
– отрезок этой касательной).
Через точку
проведем прямую, параллельную отрезку
,
которая пересечет вертикаль в конце
шага в точке
с координатами
.
Тогда
с точностью до множителя
определяет угловой коэффициент
касательной, проведенной к интегральной
кривой в точке
:
.
Таким образом, расчетное значение
связано с углами
соотношением
.