
Учебник + задачник АП Ильиных
.pdfДоказательство. Имеем
a = an · 10n + an−1 · 10n−1 + · · · + a3 · 103 + a2 · 102 + a1 · 10 + a0 и
1 |
≡ |
1 |
|
10 |
≡ |
−1 |
|
102 |
≡ |
1 |
(mod 11) |
103 |
≡ |
−1 |
|
104 |
≡ |
1 |
|
. . .
Умножим первое сравнение в на a0, второе – на a1 и т.д. Суммируя получаем
a ≡ (a0 + a2 + a4 + . . . ) − (a1 + a3 + a5 + . . . ) (mod 11).
Тогда a ... 11 a ≡ 0 (mod 11) S − S1 ≡ 0 (mod 11) S − S1 ... 11, что и нужно. Теорема доказана.
Рассмотрим более сложный признак делимости на 37. Рассмотрим
следующие сравнения |
|
|
|
1 |
≡ |
1 |
|
10 |
≡ |
10 |
|
102 |
≡ |
26 |
|
103 |
≡ |
1 |
(mod 37) |
104 |
≡ |
10 |
|
105 |
≡ |
26 |
. . .
Умножим сравнения на числа a0, a1, и т.д. и просуммируем. Получим, что для числа S = a0 + 10 · a1 + 26 · a2 + a3 + 10 · a4 + 26 · a5 + . . . выполнено сравнение a ≡ S (mod 37).
ТЕОРЕМА 16.4 . Число a делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма S делится на 37.
Доказательство. Из сравнения a ≡ S (mod 37) имеем равносильности a ... 37 a ≡ 0 (mod 37) S ≡ 0 (mod 37) S ... 37, что и нужно.
Теорема доказана.
Рассмотренный метод получения признаков делимости предложен французским математиком Б. Паскалем.
81

Лекция 17. Запись рациональных чисел в виде десятичной дроби.
В курсе «Числовые системы» [8, лекция 12] рассматривается теория десятичных дробей. Каждому действительному числу ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь, изображающая это число. Любое действительное число единственным способом изображается десятичной дробью без 9 в периоде.
Если число α отрицательно, т.е. α = −β, где β > 0, то десятичная дробь для числа α получается из десятичной дроби для β приписыванием знака минус. Поэтому, далее считаем, что α > 0.
Процесс получения десятичной дроби для рациональных чисел известен из школьного курса как «способ деления уголком». Рассмотрим примеры такого деления для рационального числа ab , где a, b Z и a, b > 0.
ПРИМЕР 1. Найти десятичную дробь для числа 34. Применив способ деления уголком, получим
34
30 0, 75
28
20
20
0
Врезультате имеем следующую запись 34 = 0, 75.
ПРИМЕР 2. Найти десятичную дробь для числа 23. Применив способ деления уголком, в этом случае получаем
23
20 0, 66
18
20
18
2
82

2 |
После запятой бесконечно повторяется цифра 6. Имеем запись |
|
= 0, 66 . . . . |
||
3 |
||
|
ПРИМЕР 3. Найти десятичную дробь для числа 56. В этом случае получаем
56
50 0, 833
48
2
18
2
Тогда 56 = 0, 833 . . .
Итак, мы привели три различных случая для записи рационального числа в виде десятичной дроби. В первом примере после некоторой позиции все цифры дроби равны нулю, мы опускаем эти цифры в записи числа. Такую дробь назовем конечной десятичной дробью.
Во втором примере все цифры после запятой образованы группой из l цифр, которая повторяется до бесконечности. Такую дробь называем чистой периодической дробью, а группу из данных l цифр называем периодом длины l данной дроби. При наименьшем l получим наименьший период. В примере 2 имеем l = 1.
Втретьем примере цифры после запятой также образованы бесконечно повторяющимся набором из l цифр – периодом, однако период начинается не с первой цифры после запятой. Такую дробь называем смешанной периодической дробью, Цифры, не входящие в период, образуют
предпериод. При наименьшем l получим наименьший предпериод дроби и его длину l. В нашем случае наименьший предпериод состоит из цифры 8 и его длина равна 1.
Рассмотрим еще три примера: а) α = 0, 1212; б) α = 0, 351212 . . . ;
в) α = 0, 234234234 . . . .
Вслучае а) имеется конечная дробь; в случае б) – смешанная периодическая дробь с предпериодом, равным 35. В случае в) имеется чистая периодическая дробь с наименьшим периодом 234 длины 3.
83

Рассмотрим, при каких условиях возможны рассмотренные случаи. Пусть α = ab . Если (a, b) > 1, то сократим числитель a и знаменатель b на
d = (a, b). Поэтому далее рассматриваем только несократимые дроби ab . Запишем знаменатель b в виде произведения b = b0b1, где b0 – произведение всех сомножителей из канонического разложения числа b, которые равны 2 или 5; b1 – произведение остальных сомножителей. Получим
b = (2k5l) · b1, где (b1, 10) = 1. (17.1) Возможен ровно один из трех случаев.
1.b1 = 1, т.е. b = 2k5l;
2.b1 6= 1 и b0 = 1, т.е. (b, 10) = 1;
3.b1 6= 1 и b0 6= 1.
Рассмотрим вначале случай 1.
ТЕОРЕМА 17.1. Пусть α = ab – несократимая дробь и знамена-
тель b имеет вид 2k5l для некоторых k, l > 0. Тогда число α представимо в виде конечной десятичной дроби.
Доказательство. Считаем вначале, что k > l. Домножим числитель и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|||||
знаменатель дроби α = |
|
|
|
на |
5k−l. Получим α = |
|
|
, где a1 |
= a5k−l. |
||||||||||||
|
k l |
|
k |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
||
Запишем число a1 в системе счисления с основанием 10 |
|
||||||||||||||||||||
|
a1 = rn · 10n + · · · + rk · 10k + rk−1 · 10k−1 + . . . + r0. |
||||||||||||||||||||
При делении на 10k получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
α |
= |
a1 |
r |
n · |
|
n−k |
+ |
. . . |
+ |
r |
k) + |
rk−1 |
+ |
. . . |
|
|
r0 |
. |
(17.2) |
||
10k |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= ( |
10 |
|
|
|
10 |
|
|
+ 10k |
|
Обозначим r = rn · 10n−k + . . . + rk = (rn . . . rk)10. Равенство (17.2) означает, что α представлена в виде конечной десятичной дроби:
a
b = r, rk−1 . . . r0,
в которой r целых, rk−1 десятых, rk−2 сотых и т.д. Случай l > k аналогичен. Теорема доказана.
84

Рассмотрим случай 2), где (b, 10) = 1.
ТЕОРЕМА 17.2. Пусть α = ab – несократимая дробь и знаменатель b > 1 взаимно прост с числом 10. Тогда число α представимо в виде чистой периодической десятичной дроби. При этом длина наименьшего периода равна показателю числа 10 по модулю b.
Доказательство. Пусть дана дробь ab > 0, где (a, b) = 1 и знаменатель b взаимно прост с 10. Запишем a = bq + r с частным q и остатком r, где
0 < r < b. Имеем (r, b) = (a, b) = 1 и |
a |
|
= q + |
r |
. Цифры числа q не влияют |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
b |
|
a b |
r |
|
|
|
||||||
на период. Заменим в рассуждениях дробь |
|
|
на дробь |
|
|
. Поэтому можно |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|||||
считать, что 0 < |
< 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
||||
Рассмотрим процесс «деления уголком» для числа |
|
. Так как |
< 1, |
||||||||||||
|
b |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
то a < b. При первом делении a на b записываем 0 целых, умножаем число a на 10 и делим 10a на b. Затем полученный остаток r1 умножаем на 10, делим на b, получем остаток r2, который снова умножаем на 10 и т.д. Получаем систему равенств
10a |
= |
bq1 + r1 |
|
|
10r1 |
= |
bq2 + r2 |
(17.3) |
|
10r2 |
= |
bq3 + r3 |
||
|
. . .
Из этих равенств получаем следующие сравнения по модулю b. При этом добавлено очевидное сравнение 100a ≡ a (mod b).
100a ≡ a |
|
||
101a ≡ r1 |
|
||
102a |
≡ |
r2 |
(mod b) |
103a |
≡ |
r3 |
(17.4) |
|
. . . |
|
|
10la |
≡ |
rl |
|
|
. . . |
|
|
Если q1 > 10, то 10a = bq1 + r1 |
> 10b и a > b, противоречие. Поэтому |
0 6 q1 < 10, т.е. q1 – первая цифра после запятой. Аналогично q2 – первая цифра после запятой и т.д.
85

Пусть показатель числа 10 по модулю b равен l. Тогда 10l ≡ 1 (mod b). Вместо сравнения 10la ≡ rl запишем a ≡ rl (mod b). Так как 0 < a, rl < b и a ≡ rl (mod b), то a = rl. Получили, что число rl повторяет исходное число a.
Следующим деление– это деление 10rl на b т.е. деление 10a на b. Можно считать, что вернулись к ситуации первого деления. Поэтому как частные q1, q2, . . . , ql, так и остатки r1, r2, . . . , rl неограниченно повторяются.
Получаем, что ab – чистая периодическая дробь с периодом q1, q2, . . . , ql
длины l.
Установим, что l – длина наименьшего периода. Пусть α представлено
в виде десятичной дроби с периодом m < l, т.е. |
|
|
|
|||||||||||||||||
α = 0, q1 . . . qm q1 . . . qm |
. . . |
|
. |
(17.5) |
||||||||||||||||
| |
|
{z |
|
} | |
|
{z |
|
|
} | |
|
{z |
|
|
} |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
||||||
Рассмотрим число c, изображаемое цифрами q1, . . . , qm, т.е. |
|
|||||||||||||||||||
c = q1 · 10m−1 + · · · + 10 · qm−1 + qm. |
|
|||||||||||||||||||
Для q = 10m имеем |
|
|
c |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
α = |
|
+ |
|
|
+ |
|
+ . . . |
|
|
|
||||||||||
q |
q2 |
q3 |
|
|
|
Число α есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
с первым членом b1 |
= |
c |
|
и знаменателем |
|
1 |
. Тогда |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
q − 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− q |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
Отсюда |
|
= |
|
|
|
, a ·(q −1) = bc, a ·(10 |
|
|
|
−1) . b. По условию (a, b) = 1, |
|||||||||||||
b |
q |
− |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
≡ 1 |
(mod b). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
− 1 . b |
и 10 |
Получили сравнение 10m ≡ 1 (mod b), где m < l, противоречие с тем, что l – показатель числа 10 по модулю b. Поэтому периода длины l < m не существует.
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ. Справедливо и обратное утверждение. Пусть α = ab – несократимая дробь и представима в виде чистой периодической десятичной дроби. Тогда знаменатель b > 1 взаимно прост с числом 10.
86

Доказательство самостоятельно. Нужно повторить рассуждения " после равенства (17.5).
Рассмотрим теперь третью возможность для вида десятичной дроби, где b0 > 1 и b1 > 1.
ТЕОРЕМА 17.3. Пусть α = ab – несократимая дробь и b = 2α5βb1, где 2α5β > 1, b1 > 1 и (b1, 10) = 1.
Тогда число α представимо в виде смешанной периодической десятичной дроби. Длина наименьшего периода равна показателю числа 10 по модулю b1. Длина наименьшего предпериода равна max(α, β).
Доказательство. Пусть γ = max (α, β). Рассмотрим дробь 10γa, и со- b
кратим числитель и знаменатель этой дроби на 2α5β. Получим несократимую дробь
a1 |
= |
2γ−α5γ−βa |
. |
(17.6) |
b1 |
|
|||
|
b1 |
|
Знаменатель b1 взаимно прост с числом 10. По предыдущей теореме дробь
a1 представима в виде чистой периодической дроби с наименьшим пери- b1
одом длины n, где n– показатель числа b1 по модулю 10. Дробь, изоб-
ражающая число a1 имеет некоторую группу цифр до запятой sm . . . s0, b1
а цифры после запятой образованы бесконечно повторяющейся группой цифр периода q1q2 . . . qn
|
|
|
|
|
|
a1 |
= sm |
. . . s0, q1q2 . . . qn q1q2 . . . qn . . . . |
(17.7) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
b1 |
|
a1 |
|
| |
|
|
{z |
|
|
} | |
|
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Число |
|
получается из |
делением на 10γ. Для этого запятую в десятич- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ной дроби (17.7) нужно перенести на γ цифр влево. Получим |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
= sm . . . , sγ−1 . . . s1s0q1q2 . . . qn q1q2 . . . qn . . . . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
| |
|
{z |
|
|
| |
|
|
{z |
|
|
} | |
|
|
{z |
|
} |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предпериод период
После запятой, до начала цифр периода расположен предпериод sγ−1 . . . s1s0 длины γ = max(α, β).
87

Осталось проверить, что невозможен меньший предпериод. Допустим, что существует предпериод длины δ < γ. Умножим дробь ab
Запятая перенесется на δ разрядов вправо. В полученной дроби 10δa ис- b
чезнет предпериод, и она будет чистой периодической дробью. Сокра-
тим дробь |
10δa |
. Получим несократимую чистую периодической дробь |
a2 |
. |
|
|
|
|
|||
|
b |
|
b2 |
Если α = max (α, β), то число двоек в 10δ меньше, чем число число двоек
в знаменателе b дроби 10δa. Поэтому при переходе к сокращенной дроби b
a2 в знаменателе b сократятся не все простые числа 2. При β = max (α, β) b2
в b сократятся не все простые числа 5. В обоих случаях (b2, 10) > 1.
Для несократимой, чистой периодической дроби a2 имеем (b2, 10) > 1, b2
противоречие. Поэтому предпериода длины δ < γ не существует. Теорема доказана.
Индивидуальные домашние задания по теории чисел.
В данном разделе представлен банк типовых вычислительных задач по теории чисел.
Каждая задача представлена в 200 вариантах. Вначале дается формулировка задачи, а затем конкретные значения параметров каждого варианта.
Задачи получены с помощью компьютерной программы GAP, причем контролировались трудоемкость выкладок и результаты промежуточных вычислений.
88
Задача 1. Используя алгоритм Евклида, найти НОД чисел a и b.
|
a |
b |
|
a |
b |
|
a |
b |
1. |
24648, 2720 |
29. |
5502, 1350 |
57. |
6522, 3132 |
|||
2. |
8688, 1074 |
30. |
50694, 8376 |
58. |
15520, 2195 |
|||
3. |
22666, 3745 |
31. |
4732, 586 |
59. |
3471, 1689 |
|||
4. |
3609, 890 |
32. |
24344, 4016 |
60. |
42774, 4722 |
|||
5. |
7722, 3738 |
33. |
1049, 257 |
61. |
29970, 9819 |
|||
6. |
14560, 3591 |
34. |
5943, 2870 |
62. |
957, 465 |
|
||
7. |
22477, 2478 |
35. |
9886, 1222 |
63. |
5298, 870 |
|||
8. |
7162, 790 |
36. |
3712, 409 |
64. |
18565, 2295 |
|||
9. |
2439, 403 |
37. |
15285, 1683 |
65. |
3758, 620 |
|||
10. |
1775, 865 |
38. |
11520, 3745 |
66. |
21080, 2328 |
|||
11. |
15954, 3156 |
39. |
6485, 1070 |
67. |
4917, 696 |
|||
12. |
4554, 2220 |
40. |
2495, 810 |
68. |
3785, 536 |
|||
13. |
11288, 2224 |
41. |
26910, 5316 |
69. |
2308, 752 |
|||
14. |
4964, 980 |
42. |
8684, 1426 |
70. |
2471, 609 |
|||
15. |
12615, 1565 |
43. |
40146, 6618 |
71. |
5840, 1896 |
|||
16. |
23416, 2580 |
44. |
1479, 363 |
72. |
22383, 4410 |
|||
17. |
13176, 1629 |
45. |
21843, 3096 |
73. |
20392, 2252 |
|||
18. |
3216, 788 |
46. |
4124, 678 |
74. |
568, 185 |
|
||
19. |
6207, 768 |
47. |
3040, 996 |
75. |
4249, 1379 |
|||
20. |
9388, 1036 |
48. |
1790, 253 |
76. |
14128, 1748 |
|||
21. |
9340, 1835 |
49. |
1334, 189 |
77. |
8181, 2016 |
|||
22. |
18064, 2980 |
50. |
31486, 6195 |
78. |
2472, 307 |
|||
23. |
17199, 4230 |
51. |
4887, 1596 |
79. |
9864, 3232 |
|||
24. |
19180, 2375 |
52. |
12664, 2488 |
80. |
15544, 1716 |
|||
25. |
18067, 3563 |
53. |
12245, 1515 |
81. |
16068, 2274 |
|||
26. |
47637, 6732 |
54. |
4887, 805 |
82. |
20888, 3448 |
|||
27. |
9606, 1059 |
55. |
16890, 3339 |
83. |
2190, 433 |
|||
28. |
18536, 4571 |
56. |
31098, 5118 |
84. |
3054, 747 |
ab
85.45366, 5634
86.25348, 3148
87.7748, 3764
88.3155, 1515
89.60184, 9944
90.4478, 635
91.7797, 1287
92.17739, 2928
93.17288, 4256
94.3936, 434
95.2796, 687
96.23238, 2886
97.11616, 2298
98.8099, 1148
99.16335, 3222
100.10060, 1652
101.4042, 502
102.4168, 2028
103.40760, 4488
104.14764, 2088
105.2264, 1100
106.3970, 492
107.8775, 1089
108.14476, 6951
109.12187, 2401
110.11543, 2842
111.3233, 456
89
112. |
2410, 1164 |
135. |
15145, 2500 |
158. |
2588, 512 |
113. |
4852, 1192 |
136. |
7280, 1032 |
159. |
3717, 909 |
114. |
11580, 1437 |
137. |
12570, 1384 |
160. |
5482, 680 |
115. |
27918, 4599 |
138. |
1628, 400 |
161. |
18273, 2586 |
116. |
12861, 1596 |
139. |
8792, 1090 |
162. |
1017, 330 |
117. |
1318, 260 |
140. |
13473, 1908 |
163. |
33957, 4212 |
118. |
21616, 4263 |
141. |
5095, 1250 |
164. |
10146, 4944 |
119. |
5943, 2870 |
142. |
3698, 608 |
165. |
13194, 2180 |
120. |
6986, 1379 |
143. |
2604, 1263 |
166. |
3282, 1065 |
121. |
14912, 2948 |
144. |
6990, 3384 |
167. |
5804, 2828 |
122. |
19962, 3933 |
145. |
2770, 905 |
168. |
21825, 5382 |
123. |
13095, 6381 |
146. |
882, 422 |
169. |
10479, 5047 |
124. |
10493, 1484 |
147. |
7644, 1083 |
170. |
6102, 1006 |
125. |
5192, 1696 |
148. |
2946, 1410 |
171. |
31265, 5150 |
126. |
699, 171 |
149. |
3195, 1557 |
172. |
18137, 3577 |
127. |
31423, 7728 |
150. |
6950, 1145 |
173. |
29322, 4830 |
128. |
28328, 4000 |
151. |
3004, 980 |
174. |
12510, 2066 |
129. |
6560, 1604 |
152. |
3436, 1112 |
175. |
3396, 479 |
130. |
18784, 2072 |
153. |
7957, 879 |
176. |
34168, 5640 |
131. |
17013, 2811 |
154. |
10325, 2548 |
177. |
1142, 225 |
132. |
4907, 1211 |
155. |
3031, 1477 |
178. |
11704, 2317 |
133. |
16975, 4158 |
156. |
9336, 3056 |
179. |
4075, 505 |
134. |
7335, 1210 |
157. |
5670, 1114 |
180. |
19818, 3912 |
181.18008, 2540
182.1162, 144
183.47586, 5243
184.3462, 1680
185.1120, 158
186.8346, 1032
187.13614, 4446
188.5204, 1024
189.13370, 4361
190.32249, 4571
191.13420, 1666
192.1734, 424
193.2126, 524
194.2204, 544
195.1615, 395
196.17632, 2498
197.9320, 4512
198.6540, 925
199.9940, 1407
200.6513, 807
Задача 2. Найти НОД трех чисел a, b, c.
|
a |
b |
c |
|
a |
b c |
|
a |
b c |
1. |
8046, 1974, 104 |
6. |
5734, 812, 120 |
11. |
10746, 2640, 120 |
||||
2. |
2428, 788, 120 |
7. |
5622, 2700, 102 |
12. |
16330, 2690, 100 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
4922, 812, 100 |
8. |
780, 376, 104 |
|
|
|
|||
4. |
3492, 688, 100 |
9. |
15110, 2140, 106 |
13. |
1766, 290, 100 |
||||
|
|
|
|||||||
5. |
2916, 944, 106 |
10. |
6798, 960, 105 |
14. |
28530, 4040, 102 |
90