Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Учебник + задачник АП Ильиных

.pdf
Скачиваний:
129
Добавлен:
30.04.2015
Размер:
504.36 Кб
Скачать

Доказательство. Имеем

a = an · 10n + an−1 · 10n−1 + · · · + a3 · 103 + a2 · 102 + a1 · 10 + a0 и

1

1

 

10

−1

 

102

1

(mod 11)

103

−1

 

104

1

 

. . .

Умножим первое сравнение в на a0, второе – на a1 и т.д. Суммируя получаем

a ≡ (a0 + a2 + a4 + . . . ) − (a1 + a3 + a5 + . . . ) (mod 11).

Тогда a ... 11 a ≡ 0 (mod 11) S − S1 ≡ 0 (mod 11) S − S1 ... 11, что и нужно. Теорема доказана.

Рассмотрим более сложный признак делимости на 37. Рассмотрим

следующие сравнения

 

 

 

1

1

 

10

10

102

26

103

1

(mod 37)

104

10

105

26

. . .

Умножим сравнения на числа a0, a1, и т.д. и просуммируем. Получим, что для числа S = a0 + 10 · a1 + 26 · a2 + a3 + 10 · a4 + 26 · a5 + . . . выполнено сравнение a ≡ S (mod 37).

ТЕОРЕМА 16.4 . Число a делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма S делится на 37.

Доказательство. Из сравнения a ≡ S (mod 37) имеем равносильности a ... 37 a ≡ 0 (mod 37) S ≡ 0 (mod 37) S ... 37, что и нужно.

Теорема доказана.

Рассмотренный метод получения признаков делимости предложен французским математиком Б. Паскалем.

81

Лекция 17. Запись рациональных чисел в виде десятичной дроби.

В курсе «Числовые системы» [8, лекция 12] рассматривается теория десятичных дробей. Каждому действительному числу ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь, изображающая это число. Любое действительное число единственным способом изображается десятичной дробью без 9 в периоде.

Если число α отрицательно, т.е. α = −β, где β > 0, то десятичная дробь для числа α получается из десятичной дроби для β приписыванием знака минус. Поэтому, далее считаем, что α > 0.

Процесс получения десятичной дроби для рациональных чисел известен из школьного курса как «способ деления уголком». Рассмотрим примеры такого деления для рационального числа ab , где a, b Z и a, b > 0.

ПРИМЕР 1. Найти десятичную дробь для числа 34. Применив способ деления уголком, получим

34

30 0, 75

28

20

20

0

Врезультате имеем следующую запись 34 = 0, 75.

ПРИМЕР 2. Найти десятичную дробь для числа 23. Применив способ деления уголком, в этом случае получаем

23

20 0, 66

18

20

18

2

82

2

После запятой бесконечно повторяется цифра 6. Имеем запись

= 0, 66 . . . .

3

 

ПРИМЕР 3. Найти десятичную дробь для числа 56. В этом случае получаем

56

50 0, 833

48

2

18

2

Тогда 56 = 0, 833 . . .

Итак, мы привели три различных случая для записи рационального числа в виде десятичной дроби. В первом примере после некоторой позиции все цифры дроби равны нулю, мы опускаем эти цифры в записи числа. Такую дробь назовем конечной десятичной дробью.

Во втором примере все цифры после запятой образованы группой из l цифр, которая повторяется до бесконечности. Такую дробь называем чистой периодической дробью, а группу из данных l цифр называем периодом длины l данной дроби. При наименьшем l получим наименьший период. В примере 2 имеем l = 1.

Втретьем примере цифры после запятой также образованы бесконечно повторяющимся набором из l цифр – периодом, однако период начинается не с первой цифры после запятой. Такую дробь называем смешанной периодической дробью, Цифры, не входящие в период, образуют

предпериод. При наименьшем l получим наименьший предпериод дроби и его длину l. В нашем случае наименьший предпериод состоит из цифры 8 и его длина равна 1.

Рассмотрим еще три примера: а) α = 0, 1212; б) α = 0, 351212 . . . ;

в) α = 0, 234234234 . . . .

Вслучае а) имеется конечная дробь; в случае б) – смешанная периодическая дробь с предпериодом, равным 35. В случае в) имеется чистая периодическая дробь с наименьшим периодом 234 длины 3.

83

Рассмотрим, при каких условиях возможны рассмотренные случаи. Пусть α = ab . Если (a, b) > 1, то сократим числитель a и знаменатель b на

d = (a, b). Поэтому далее рассматриваем только несократимые дроби ab . Запишем знаменатель b в виде произведения b = b0b1, где b0 – произведение всех сомножителей из канонического разложения числа b, которые равны 2 или 5; b1 – произведение остальных сомножителей. Получим

b = (2k5l) · b1, где (b1, 10) = 1. (17.1) Возможен ровно один из трех случаев.

1.b1 = 1, т.е. b = 2k5l;

2.b1 6= 1 и b0 = 1, т.е. (b, 10) = 1;

3.b1 6= 1 и b0 6= 1.

Рассмотрим вначале случай 1.

ТЕОРЕМА 17.1. Пусть α = ab – несократимая дробь и знамена-

тель b имеет вид 2k5l для некоторых k, l > 0. Тогда число α представимо в виде конечной десятичной дроби.

Доказательство. Считаем вначале, что k > l. Домножим числитель и

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

знаменатель дроби α =

 

 

 

на

5k−l. Получим α =

 

 

, где a1

= a5k−l.

 

k l

 

k

 

 

 

 

 

2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

Запишем число a1 в системе счисления с основанием 10

 

 

a1 = rn · 10n + · · · + rk · 10k + rk−1 · 10k−1 + . . . + r0.

При делении на 10k получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

=

a1

r

n ·

 

n−k

+

. . .

+

r

k) +

rk−1

+

. . .

 

 

r0

.

(17.2)

10k

 

 

 

 

= (

10

 

 

 

10

 

 

+ 10k

 

Обозначим r = rn · 10n−k + . . . + rk = (rn . . . rk)10. Равенство (17.2) означает, что α представлена в виде конечной десятичной дроби:

a

b = r, rk−1 . . . r0,

в которой r целых, rk−1 десятых, rk−2 сотых и т.д. Случай l > k аналогичен. Теорема доказана.

84

Рассмотрим случай 2), где (b, 10) = 1.

ТЕОРЕМА 17.2. Пусть α = ab – несократимая дробь и знаменатель b > 1 взаимно прост с числом 10. Тогда число α представимо в виде чистой периодической десятичной дроби. При этом длина наименьшего периода равна показателю числа 10 по модулю b.

Доказательство. Пусть дана дробь ab > 0, где (a, b) = 1 и знаменатель b взаимно прост с 10. Запишем a = bq + r с частным q и остатком r, где

0 < r < b. Имеем (r, b) = (a, b) = 1 и

a

 

= q +

r

. Цифры числа q не влияют

 

 

 

 

 

b

 

a b

r

 

 

 

на период. Заменим в рассуждениях дробь

 

 

на дробь

 

 

. Поэтому можно

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

b

b

 

 

 

считать, что 0 <

< 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

Рассмотрим процесс «деления уголком» для числа

 

. Так как

< 1,

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

то a < b. При первом делении a на b записываем 0 целых, умножаем число a на 10 и делим 10a на b. Затем полученный остаток r1 умножаем на 10, делим на b, получем остаток r2, который снова умножаем на 10 и т.д. Получаем систему равенств

10a

=

bq1 + r1

 

10r1

=

bq2 + r2

(17.3)

10r2

=

bq3 + r3

 

. . .

Из этих равенств получаем следующие сравнения по модулю b. При этом добавлено очевидное сравнение 100a ≡ a (mod b).

100a ≡ a

 

101a ≡ r1

 

102a

r2

(mod b)

103a

r3

(17.4)

 

. . .

 

 

10la

rl

 

 

. . .

 

 

Если q1 > 10, то 10a = bq1 + r1

> 10b и a > b, противоречие. Поэтому

0 6 q1 < 10, т.е. q1 – первая цифра после запятой. Аналогично q2 – первая цифра после запятой и т.д.

85

Пусть показатель числа 10 по модулю b равен l. Тогда 10l ≡ 1 (mod b). Вместо сравнения 10la ≡ rl запишем a ≡ rl (mod b). Так как 0 < a, rl < b и a ≡ rl (mod b), то a = rl. Получили, что число rl повторяет исходное число a.

Следующим деление– это деление 10rl на b т.е. деление 10a на b. Можно считать, что вернулись к ситуации первого деления. Поэтому как частные q1, q2, . . . , ql, так и остатки r1, r2, . . . , rl неограниченно повторяются.

Получаем, что ab – чистая периодическая дробь с периодом q1, q2, . . . , ql

длины l.

Установим, что l – длина наименьшего периода. Пусть α представлено

в виде десятичной дроби с периодом m < l, т.е.

 

 

 

α = 0, q1 . . . qm q1 . . . qm

. . .

 

.

(17.5)

|

 

{z

 

} |

 

{z

 

 

} |

 

{z

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

m

 

m

 

 

 

Рассмотрим число c, изображаемое цифрами q1, . . . , qm, т.е.

 

c = q1 · 10m−1 + · · · + 10 · qm−1 + qm.

 

Для q = 10m имеем

 

 

c

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α =

 

+

 

 

+

 

+ . . .

 

 

 

q

q2

q3

 

 

 

Число α есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

с первым членом b1

=

c

 

и знаменателем

 

1

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α =

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

q − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Отсюда

 

=

 

 

 

, a ·(q −1) = bc, a ·(10

 

 

 

−1) . b. По условию (a, b) = 1,

b

q

1

 

 

 

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

≡ 1

(mod b).

 

 

 

 

 

 

 

10

 

− 1 . b

и 10

Получили сравнение 10m ≡ 1 (mod b), где m < l, противоречие с тем, что l – показатель числа 10 по модулю b. Поэтому периода длины l < m не существует.

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Справедливо и обратное утверждение. Пусть α = ab – несократимая дробь и представима в виде чистой периодической десятичной дроби. Тогда знаменатель b > 1 взаимно прост с числом 10.

86

Доказательство самостоятельно. Нужно повторить рассуждения " после равенства (17.5).

Рассмотрим теперь третью возможность для вида десятичной дроби, где b0 > 1 и b1 > 1.

ТЕОРЕМА 17.3. Пусть α = ab – несократимая дробь и b = 2α5βb1, где 2α5β > 1, b1 > 1 и (b1, 10) = 1.

Тогда число α представимо в виде смешанной периодической десятичной дроби. Длина наименьшего периода равна показателю числа 10 по модулю b1. Длина наименьшего предпериода равна max(α, β).

Доказательство. Пусть γ = max (α, β). Рассмотрим дробь 10γa, и со- b

кратим числитель и знаменатель этой дроби на 2α5β. Получим несократимую дробь

a1

=

2γ−α5γ−βa

.

(17.6)

b1

 

 

b1

 

Знаменатель b1 взаимно прост с числом 10. По предыдущей теореме дробь

a1 представима в виде чистой периодической дроби с наименьшим пери- b1

одом длины n, где n– показатель числа b1 по модулю 10. Дробь, изоб-

ражающая число a1 имеет некоторую группу цифр до запятой sm . . . s0, b1

а цифры после запятой образованы бесконечно повторяющейся группой цифр периода q1q2 . . . qn

 

 

 

 

 

 

a1

= sm

. . . s0, q1q2 . . . qn q1q2 . . . qn . . . .

(17.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

b1

 

a1

 

|

 

 

{z

 

 

} |

 

 

{z

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число

 

получается из

делением на 10γ. Для этого запятую в десятич-

 

 

 

b

 

 

 

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной дроби (17.7) нужно перенести на γ цифр влево. Получим

 

 

 

 

 

a

= sm . . . , sγ−1 . . . s1s0q1q2 . . . qn q1q2 . . . qn . . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

|

 

{z

 

 

|

 

 

{z

 

 

} |

 

 

{z

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

предпериод период

После запятой, до начала цифр периода расположен предпериод sγ−1 . . . s1s0 длины γ = max(α, β).

87

на 10δ.

Осталось проверить, что невозможен меньший предпериод. Допустим, что существует предпериод длины δ < γ. Умножим дробь ab

Запятая перенесется на δ разрядов вправо. В полученной дроби 10δa ис- b

чезнет предпериод, и она будет чистой периодической дробью. Сокра-

тим дробь

10δa

. Получим несократимую чистую периодической дробь

a2

.

 

 

 

 

b

 

b2

Если α = max (α, β), то число двоек в 10δ меньше, чем число число двоек

в знаменателе b дроби 10δa. Поэтому при переходе к сокращенной дроби b

a2 в знаменателе b сократятся не все простые числа 2. При β = max (α, β) b2

в b сократятся не все простые числа 5. В обоих случаях (b2, 10) > 1.

Для несократимой, чистой периодической дроби a2 имеем (b2, 10) > 1, b2

противоречие. Поэтому предпериода длины δ < γ не существует. Теорема доказана.

Индивидуальные домашние задания по теории чисел.

В данном разделе представлен банк типовых вычислительных задач по теории чисел.

Каждая задача представлена в 200 вариантах. Вначале дается формулировка задачи, а затем конкретные значения параметров каждого варианта.

Задачи получены с помощью компьютерной программы GAP, причем контролировались трудоемкость выкладок и результаты промежуточных вычислений.

88

Задача 1. Используя алгоритм Евклида, найти НОД чисел a и b.

 

a

b

 

a

b

 

a

b

1.

24648, 2720

29.

5502, 1350

57.

6522, 3132

2.

8688, 1074

30.

50694, 8376

58.

15520, 2195

3.

22666, 3745

31.

4732, 586

59.

3471, 1689

4.

3609, 890

32.

24344, 4016

60.

42774, 4722

5.

7722, 3738

33.

1049, 257

61.

29970, 9819

6.

14560, 3591

34.

5943, 2870

62.

957, 465

 

7.

22477, 2478

35.

9886, 1222

63.

5298, 870

8.

7162, 790

36.

3712, 409

64.

18565, 2295

9.

2439, 403

37.

15285, 1683

65.

3758, 620

10.

1775, 865

38.

11520, 3745

66.

21080, 2328

11.

15954, 3156

39.

6485, 1070

67.

4917, 696

12.

4554, 2220

40.

2495, 810

68.

3785, 536

13.

11288, 2224

41.

26910, 5316

69.

2308, 752

14.

4964, 980

42.

8684, 1426

70.

2471, 609

15.

12615, 1565

43.

40146, 6618

71.

5840, 1896

16.

23416, 2580

44.

1479, 363

72.

22383, 4410

17.

13176, 1629

45.

21843, 3096

73.

20392, 2252

18.

3216, 788

46.

4124, 678

74.

568, 185

 

19.

6207, 768

47.

3040, 996

75.

4249, 1379

20.

9388, 1036

48.

1790, 253

76.

14128, 1748

21.

9340, 1835

49.

1334, 189

77.

8181, 2016

22.

18064, 2980

50.

31486, 6195

78.

2472, 307

23.

17199, 4230

51.

4887, 1596

79.

9864, 3232

24.

19180, 2375

52.

12664, 2488

80.

15544, 1716

25.

18067, 3563

53.

12245, 1515

81.

16068, 2274

26.

47637, 6732

54.

4887, 805

82.

20888, 3448

27.

9606, 1059

55.

16890, 3339

83.

2190, 433

28.

18536, 4571

56.

31098, 5118

84.

3054, 747

ab

85.45366, 5634

86.25348, 3148

87.7748, 3764

88.3155, 1515

89.60184, 9944

90.4478, 635

91.7797, 1287

92.17739, 2928

93.17288, 4256

94.3936, 434

95.2796, 687

96.23238, 2886

97.11616, 2298

98.8099, 1148

99.16335, 3222

100.10060, 1652

101.4042, 502

102.4168, 2028

103.40760, 4488

104.14764, 2088

105.2264, 1100

106.3970, 492

107.8775, 1089

108.14476, 6951

109.12187, 2401

110.11543, 2842

111.3233, 456

89

112.

2410, 1164

135.

15145, 2500

158.

2588, 512

113.

4852, 1192

136.

7280, 1032

159.

3717, 909

114.

11580, 1437

137.

12570, 1384

160.

5482, 680

115.

27918, 4599

138.

1628, 400

161.

18273, 2586

116.

12861, 1596

139.

8792, 1090

162.

1017, 330

117.

1318, 260

140.

13473, 1908

163.

33957, 4212

118.

21616, 4263

141.

5095, 1250

164.

10146, 4944

119.

5943, 2870

142.

3698, 608

165.

13194, 2180

120.

6986, 1379

143.

2604, 1263

166.

3282, 1065

121.

14912, 2948

144.

6990, 3384

167.

5804, 2828

122.

19962, 3933

145.

2770, 905

168.

21825, 5382

123.

13095, 6381

146.

882, 422

169.

10479, 5047

124.

10493, 1484

147.

7644, 1083

170.

6102, 1006

125.

5192, 1696

148.

2946, 1410

171.

31265, 5150

126.

699, 171

149.

3195, 1557

172.

18137, 3577

127.

31423, 7728

150.

6950, 1145

173.

29322, 4830

128.

28328, 4000

151.

3004, 980

174.

12510, 2066

129.

6560, 1604

152.

3436, 1112

175.

3396, 479

130.

18784, 2072

153.

7957, 879

176.

34168, 5640

131.

17013, 2811

154.

10325, 2548

177.

1142, 225

132.

4907, 1211

155.

3031, 1477

178.

11704, 2317

133.

16975, 4158

156.

9336, 3056

179.

4075, 505

134.

7335, 1210

157.

5670, 1114

180.

19818, 3912

181.18008, 2540

182.1162, 144

183.47586, 5243

184.3462, 1680

185.1120, 158

186.8346, 1032

187.13614, 4446

188.5204, 1024

189.13370, 4361

190.32249, 4571

191.13420, 1666

192.1734, 424

193.2126, 524

194.2204, 544

195.1615, 395

196.17632, 2498

197.9320, 4512

198.6540, 925

199.9940, 1407

200.6513, 807

Задача 2. Найти НОД трех чисел a, b, c.

 

a

b

c

 

a

b c

 

a

b c

1.

8046, 1974, 104

6.

5734, 812, 120

11.

10746, 2640, 120

2.

2428, 788, 120

7.

5622, 2700, 102

12.

16330, 2690, 100

 

 

 

 

 

 

 

3.

4922, 812, 100

8.

780, 376, 104

 

 

 

4.

3492, 688, 100

9.

15110, 2140, 106

13.

1766, 290, 100

 

 

 

5.

2916, 944, 106

10.

6798, 960, 105

14.

28530, 4040, 102

90