TFKP
.pdfФГБОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет
В.Ю. Бодряков, Н.В. Ткаленко, В.Д. Жаворонков
Индивидуальные домашние задания по
дисциплине ¾Теория функций комплексной переменной¿
Екатеринбург 2012
1
Составители: В.Ю. Бодряков, Н.В. Ткаленко, В.Д. Жаворонков.
Индивидуальные домашние задания по дисциплине ¾Теория функций комплексной переменной¿. Екатеринбург, Изд-во УрГПУ, 2012, 21 с.
Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по дисциплине ¾Теория функций комплексной переменной¿ предназначены для студентов очной и заочной форм обучения математического факультета УрГПУ, изучающих курс ¾Теория функций комплексной переменной¿. Работа содержит 10 ИДЗ по 24 вариантов в каждом, содержащих различные задания по указанной теме. Самостоятельное решение индивидуальных заданий дает возможность углубить теоретические знания, отработать практические навыки вычисления пределов, освоить исследование рядов на сходимость и вычисление интегралов ФКП . Во введении к работе приведены подробные примеры решения типовых заданий по теме с необходимыми методическими указаниями.
Рецензент:
© Уральский государственный педагогический университет, 2012
2
1. Число z записать в алгебраической форме. Найти z, Re z, Im z, jzj, arg z, Arg z.
z = |
5 + i |
: |
|
||
¡3 + 2i |
Решение. Умножим и разделим число z на число, сопряженное к знаменателю:
|
|
5 + i |
= |
|
(5 + i)(¡3 ¡ 2i) |
|
= |
¡15 ¡ 10i ¡ 3i + 2 |
|
= |
¡13 ¡ 13i |
= 1 |
i: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 + 2i |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
¡ |
|
|
|
¡ |
3 + 2i)( 3 |
2i) |
|
|
|
|
|
|
|
9 + 4 |
|
|
|
13 |
|
¡ ¡ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, z = ¡1 ¡ i; |
z¹ = ¡1 + i; |
Re z = ¡1; |
Im z = ¡1; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jzj = p |
|
|
|
|
= p |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Re z)2 + (Im z)2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg(arg z) = |
Im z |
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Im z |
6 |
|
|
|
|
|
|
Re z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как z лежит в III четверти, то |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
3¼ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡.. arctg z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¡........ .. |
|
|
- |
|
|
|
|
arg z = arctg 1 ¡ ¼ = |
|
¡ ¼ = ¡ |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¡.... |
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Re z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z¡ª¡ |
|
|
arg z |
|
Arg z = farg z + 2¼k j k = 0; §1; :::g = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= f¡ |
|
+ 2¼k j k = 0; §1; :::g: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
|
|
z = ¡1 ¡ i; |
z¹ = ¡1 + i; Re z = ¡1; Im z = ¡1; jzj = p |
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3¼ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
arg z = ¡ |
|
; Arg z = f¡ |
|
¼ + 2¼k j k = 0; §1; §2; :::g |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2. Решить уравнение: |
4 cos z = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Решение. Воспользовавшись формулой cos z = 21(eiz + e¡iz) , |
получим урав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нение |
|
|
|
|
|
2eiz + 2e¡iz |
= 5 или |
2e2iz ¡ 5eiz + 2 = 0: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее уравнение является квадратным относительно величины eiz, поэтому eiz = 12 или eiz = 2 , откуда z = 1i Ln12 или z = 1i Ln2.
По определению Ln a = ln jaj + iArg a будем иметь
Ln |
1 |
|
= ln |
1 |
+ iArg |
1 |
= ¡ ln 2 + i2¼k |
и |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
2 |
|||||||
Ln 2 |
= ln 2 + iArg 2 |
= ln 2 + i2¼k; |
где k = 0; §1; ¢ ¢ ¢ |
3
Окончательно z = 2¼k¡1i ln 2 = 2¼k+i ln 2 или z = 2¼k+1i ln 2 = 2¼k¡i ln 2, где k = 0; §1; :::
Ответ: f2¼k+i ln 2; 2¼k¡i ln 2 j k = 0; §1; :::g множество решений исходного уравнения.
3. Найти и изобразить на комплексной плоскости множество точек,
удовлетворяющих соотношению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
z ¡ 2 |
6 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. Пусть z = x + iy , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
z ¡ 2 |
= |
x + iy ¡ 2 |
= |
(x ¡ 2 + iy)(x ¡ iy ¡ i) |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z + i |
|
x + iy + i |
|
|
x2 + (y + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
x2 ¡ 2x + y2 + y + i(¡xy ¡ x + 2y + 2 + xy) |
: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + (y + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Поэтому |
|
Re |
z ¡ 2 |
|
= x2 ¡ 2x + y2 + y |
6 |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
z + i |
|
|
|
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (y + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Это неравенство |
|
|
равносильно системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x2 ¡ 2x + y2 + y 6 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
½ x2 + (y + 1)2 6= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ 2x + 1 ¡ 1 + y2 + y + 41 ¡ 41 6 0 |
|||||||||||||||||
|
Первое соотношение перепишем в виде |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
или (x ¡ 1)2 + y + 21 |
2 6 45. |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Это |
неравенство задает круг радиуса |
|
|
|
|
с центром в точке 1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)¡. |
¢ |
|
|
|||||||
|
Условие x2 + (y + 1)2 6= 0 |
|
равносильно тому, что (x; y) 6= (0; ¡¡ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
y (Im z) 6 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: искомое множество круг радиуса |
|
5 |
с цен- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
. . . . . . . . . . . |
|
|
- |
тром в точке (1; ¡21) вместе с границей, за исключени- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
.. |
r |
. |
x (Re z) |
ем точки (0; ¡1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..
. |
. |
. |
. |
.. . . . . . . .
4.Определить, сходится ли последовательность fzng , и если сходится, то найти ее предел.
zn = n2 tg |
2 |
|
|
|
n |
3 |
|
+ i |
|
|
|
|
|||
2 |
n |
3 |
|
2 |
|||
|
n |
|
+ n + 1 |
4
Решение. Так как сходимость fzng эквивалентна одновременно сходимости fRe zng и fIm zng , то рассмотрим отдельно каждую из этих последовательностей.
lim
n!1
lim
n!1
2 |
|
|
2 tg |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
n2 tg |
|
= nlim |
|
|
|
n |
|
= 2 2 R; т.е.fRe zng сходится: |
||||||
n2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
n3 |
!1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= nlim |
|
|
1 |
|
|
|
= 1 2 R; т.е. fIm zng сходится: |
|||||
|
n3 + n2 |
+ 1 |
|
|
1 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
!1 |
1 + n |
+ |
n3 |
|
Следовательно fzng сходится и nlim zn = nlim Re zn + i nlim Im zn = 2 + i |
|||||||
|
!1 |
|
|
!1 |
!1 |
||
Ответ: fzng сходится и nlim!1 zn = 2 + i. |
|
|
|
|
|||
5. Исследовать ряд на сходимость: |
|
|
¶: |
|
|||
n=1 µ |
3n + i(¡n |
|
|
||||
X |
n3 |
|
|
1)n |
|
|
|
1 |
|
|
Решение. Так как сходимость (абсолютная сходимость) ряда P1 zn эквива-
n=1
лентна одновременной сходимости (абсолютной сходимости) рядов P1 Re zn и
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
3 |
|
|
|
|
nP |
|
n |
n=1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
Im zn, то исследуем на сходимость ряды |
1 |
|
|
|
|
|
и |
1 |
(¡1) |
|
: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Применим признак Коши к ряду |
|
. |
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
¯ |
|
¯ |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nlim sn |
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
n3 |
¯ |
= nlim |
|
pn n3 |
|
|
|
|
1 |
< 1; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
= 3 |
P |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 1 |
|
||||||||||
то этот ряд сходится абсолютно. Так как ¯ |
|
|
¡ |
|
|
¯ |
= |
|
и ряд n=1 |
|
расходится, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
n |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то ряд |
|
|
¡ |
|
|
|
не сходится абсолютно,¯ |
поэтому¯ |
|
и исходный ряд не сходится |
||||||||||||||||||||||||||||||||
=1 |
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ( |
¡ |
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
абсолютно. Однако ряд |
|
|
|
|
|
знакочередующийся и модуль общего чле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
стремится к нулю, следовательно, по признку Лейбница этот ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на n монотонно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сходится. Поэтому исходный ряд тоже сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
µ |
n3 |
( 1)n |
¶ сходится, но не абсолютно. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: ряд n=1 |
3n |
+ i |
n |
|
|
|
|
|
|
5
6.Найти образ кривой ° относительно дробно–линейного отображения L, удовлетворяющего заданным условиям:
° : jz ¡ ij = 2; L(2 ¡ i) = 0; L(2 + i) = 1; L(1) = 1:
Решение. Найдем вначале дробно–линейное отображение.
Так как L(2 ¡ i) = 0, то числитель пропорционален двучлену (z ¡ 2 + i). Так как L(2 + i) = 1, то знаменатель пропорционален двучлену (z ¡ 2 ¡ i).
Таким образом, L имеет вид L(z) = a |
z ¡ 2 |
+ i |
, где коэффициент a найдем из |
|||||||
z ¡ 2 |
|
|||||||||
условия |
|
¡ i |
|
|
||||||
|
z ¡ 2 + i |
|
|
1 ¡ z2 + |
|
i |
|
|
||
lim a |
= lim a |
z |
|
= a = 1: |
||||||
|
1 ¡ z2 ¡ |
i |
|
|||||||
z!1 z ¡ 2 ¡ i |
z!1 |
|
|
|||||||
z |
|
|
||||||||
Окончательно получили, что L(z) = |
z ¡ 2 |
+ i |
. |
|
|
|||||
z ¡ 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
¡ i |
|
|
Кривая ° есть окружность радиуса 2 с центром в точке i, поэтому в силу
кругового свойства L(°) есть окружность или прямая. Так как точка z0 = 2 + i, в которой L(z) обращается в 1, принадлежит °(j(2+i)¡ij) = 2, то L(°) прямая. Чтобы найти прямую, достаточно найти две ее точки.
Возьмем z1; z2 2 °, например z1 = 3i, а z2 = ¡i. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
W |
|
= L(z |
) = |
|
3i ¡ 2 + i |
|
= |
4i ¡ 2 |
= |
|
1 ¡ 2i |
= |
3 |
|
|
|
i |
|
; |
|
|||||||||
|
3i ¡ 2 ¡ i |
2i ¡ 2 |
1 ¡ i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
¡ 2 |
|
|
||||||||||||||||
W |
|
= L(z |
) = |
|
¡i ¡ 2 + i |
= |
|
¡2 |
|
= |
1 |
|
= |
1 i |
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2i |
1 + i |
2 ¡ |
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
i |
¡ |
2 |
¡ |
i |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¡ ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, L(°) прямая, проходящая через точки W1 и W2, задающаяся |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соотношением Im W = ¡ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: L(°) прямая Im W = ¡ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Установить, сходится ли указанный ряд в точках z1 и z2, указать на комплексной плоскости круг сходимости и эти точки.
1 |
|
n + i |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
2 + i3 |
¢ |
n (z ¡ 2i ¡ 1)n; z1 |
= 2i; z2 |
= ¡1 ¡ i: |
||
n=1 |
2 |
|
|
|
|
|
Решение. Найдем радиус круга сходимости этого степенного ряда:
6
|
¯ |
2 + i |
|
¯ |
|
|
|
|
2 + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||
R¡1 = nlim vn |
|
n + |
3i n |
|
= nlim |
|
jn +3ij = nlim |
|
|
pn5 |
+ 1 |
= 2: |
|||||||||||
|
|
u¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
t¯¡ |
|
¢ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
¯ |
|
2 |
¯ |
|
!1 p |
|
2 |
!1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
!1u¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Итак, R = 2. Определим, принадлежит¯ли z1 |
¯и z2 кругу сходимости: |
||||||||||||||||||||||
|
|
jz1 ¡ 2i ¡ 1j = j2i ¡ 2i ¡ 1j = 1 < |
5 |
: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Значит, z1 лежит внутри круга сходимости, и ряд в этой точке сходится.
p |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||
jz2 ¡ 2i ¡ 1j = j ¡ 1 ¡ i ¡ 2i ¡ 1j = j ¡ 2 ¡ 3ij = 13 > |
|
|
: |
||
2 |
Значит, z2 лежит вне круга сходимости и ряд в этой точке расходится. Ответ: в точке z1 указанный ряд сходится, а в точке z2 расходится.
Замечание: в данном примере для нахождения радиуса сходимости можно было воспользоваться другой формулой, являющейся следтвием признака Далам-
бера: |
¯ |
an |
¯ |
|
|
|
n + |
3i n : |
|
R = lim |
; |
где an = |
|
||||||
¯ |
¯ |
|
|||||||
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¡ |
2 + i |
¢ |
|
n!1 ¯an+1 |
¯ |
|
|
|
2 |
|
9. Установить с помощью теоремы Коши–Римана, является ли аналитической следующая функция:
f(z) = z 2z:
Решение. Имеем
z 2z = (x ¡ iy)2(x + iy) = (x ¡ iy)(x2 + y2) = x(x2 + y2) ¡ iy(x2 + y2);
так что u(x; y) = x3 + xy2, а v(x; y) = ¡x2y ¡ y3. Так как u(x; y) и v(x; y) многочлены, то эти функции дифференцируемы во всех точках, поэтому качественные
условия теоремы Коши–Римана выполнены. |
|
|
|
|
|
||
Количественные условия Коши–Римана |
½ |
3x2 + y2 = x2 |
|
3y2 |
|
||
ux0 |
= vy0 ; |
|
¡ |
; |
|||
½ uy0 |
= ¡vx0 |
в этом случае имеют вид |
2xy = 2xy ¡ |
|
|
или 4x2 +4y2 = 0 и удовлетворяются только точке (0; 0). Следовательно, функция f(z) = z 2 ¢ z дифференцируема только в точке и нигде не аналитична.
Ответ: функция f(z) = z 2z нигде не аналитична.
7
10. Вычислить интеграл, считая, что контур интегрирования пробегается в положительном направлении один раз:
R jzjz2dz, где ° граница области jzj 6 2; Re z 6 0:
°
Решение. Разобьем контур ° на две части: °1 прямолинейный отрезок, лежащий на оси y от 2 до 2, и °2 половина дуги окружности. Тогда
Im z (y) |
6 |
Re z (x) |
Z j j |
|
|
Z j j |
|
Z |
j j |
|
|
|||
... |
. . . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
°2 . . . |
|
°1 |
|
|
|
z z |
2 |
dz = |
z z |
2 |
dz+ |
z z |
2 |
dz: |
. |
|
6 |
- |
|
|
|||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
. . . . . |
|
|
|
° |
|
|
|
°1 |
|
°2 |
|
|
|
На кривой °1 |
z = iy, где ¡2 6 y 6 2, значит, dz = idy и |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Z |
|
jzjz2dz = Z |
|
jiyj(iy)2idy = ¡2i Z |
y3dy = ¡iy24 ¯0 |
= ¡8i: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
°1 |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
На кривой °2 |
z = 2e |
i' |
, где |
¼ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯i' |
id' |
и |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 6 ' 6 |
2 |
¼, значит, dz = 2e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
j j |
|
|
|
3¼ |
j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
3¼ |
j |
|
|
j |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
¯2 |
|
|||||||
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
Z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
3¼ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
i' |
|
|
|
i' 2 |
|
|
i' |
|
|
|
|
|
i' |
|
3i' |
|
|
|
|
|
3i' |
¯ |
2 |
|
||||||
|
z z dz = |
|
|
2e |
|
|
|
|
(2e |
|
) 2e id' = |
|
|
|
2e |
|
|
16ie d' = |
|
|
e |
|
¯ |
¼ |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
°2 |
3 |
|
³e 2 |
2 |
|
2 |
´ |
= 3 i: |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
¡ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
||||||||||||||||
16 |
|
|
i9 ¼ |
|
i |
3 ¼ |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Итак, R° |
|
z |
z2dz |
|
|
|
8i + |
32i |
|
8i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
j |
= ¡ |
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
j |
|
|
|
8i |
|
|
|
|
3 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
R° |
jzjz2dz = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Вычислить интеграл, считая, что контур интегрирования пробегает в положительном направлении один раз:
а) |
Z |
cos2 z |
|
|
dz: |
||
z2 ¡ 2zi |
|||
|
jz¡2ij=1 |
|
|
8
Решение. Воспользуемся |
интегральной |
формулой |
Коши. Внутри круга |
||||||||||||||||||
jz ¡ 2ij 6 1 |
знаменатель обращается в нуль в точке z0 |
= 2i. Для применения |
|||||||||||||||||||
интегральной формулы Коши перепишем интеграл в следующем виде: |
|||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
cos2 z |
|
Z |
|
cos2 z |
|
|
|
Z |
|
cos2 z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
dz = |
|
|
dz: |
||||||||
|
|
|
z2 ¡ 2zi |
|
(z ¡ 2i)z |
z ¡ |
2i |
||||||||||||||
jz¡2ij=1 |
jz¡2ij=1 |
|
|
|
|
|
|
|
jz¡2ij=1 |
|
|
||||||||||
Здесь z0 = 2i и функция f(z) = |
cos2 z |
|
аналитична в круге jz ¡ 2ij < 1, поэтому |
||||||||||||||||||
z |
|
||||||||||||||||||||
Z |
|
cos2 z |
|
|
|
|
cos2(2i) |
= ¼ cos2(2i) = ¼ ch2(2): |
|||||||||||||
|
|
|
dz = 2¼if(z0) = 2¼i |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z2 ¡ 2zi |
|
2i |
|
|
||||||||||||||||
jz¡2ij=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
cos2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
|
|
dz = ¼ ch2(2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z2 ¡ 2zi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jz¡2ij=1
Замечание: данный интеграл можно вычислить с помощью теоремы о выче-
тах; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) jzjR=3 |
sin z |
|
dz: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(z ¡ 2)(z + 2i) |
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Так как внутри круга jzj 6 3 |
подынтегральная функция имеет |
||||||||
особенности лишь в точках 2 и 2i , то по теореме о вычетах |
|
|
|||||||
f(z)dz = 2¼i |
|
Res f(z) + Res f(z) |
; |
где |
f(z) = |
sin z |
: |
||
|
|
||||||||
|
(z ¡ 2(z + 2i)) |
||||||||
Z |
µz=2 |
z=¡2i |
¶ |
|
|
jzj=3
Числитель функции f(z) в точках 2 и ¡2i в нуль не обращается, а для знаменателя эти точки являются нулями первого порядка (сам знаменатель обращается в нуль в этих точках, а его производная нет). Поэтому обе точки полюса первого порядка для f(z). Применяя формулу для вычисления вычета относительно полюса известного порядка, получим
Res f(z) = lim |
sin z(z ¡ 2) |
|
= |
|
|
sin 2 |
= |
sin 2 |
¡ |
i |
sin 2 |
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
z=2 |
|
z |
! |
2 |
(z |
¡ |
2)(z + 2i) |
|
|
|
2 + 2i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (¡2i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Res f(z) = |
lim |
|
|
sin z(z + 2i) |
|
|
= |
|
= |
sh 2 |
+ i |
sh 2 |
: |
||||||||||||||||
|
|
|
¡ |
2)(z + 2i) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z=¡2i |
|
|
z!¡2i (z |
2 |
2i |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
¡sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ = ¼(sin 2 ¡ sh 2 + i sin 2 + i sh 2). |
||||||||||||||
jzjR=3 f(z) dz = 2¼i |
2 ¡ isin2 |
2 + sh2 |
2 + ish2 |
2 |
9
Ответ: Z |
sin z |
(z ¡ 2)(z + 2i)dz = ¼(sin 2 ¡ sh 2 + i sin 2 + i sh 2). |
R jzj=3
в) z2 sin z¡1 i dz.
jzj=3
Решение. Так как внутри курга jzj 6 3 подынтегральная функция имеет
особенность лишь в точке i , то по теореме о вычетах |
|
||||||||
Z |
|
sin z ¡ i |
|
= 2 |
z=i |
µ |
sin z ¡ i¶ |
|
|
|
z2 |
1 |
dz |
|
¼i Res |
z2 |
1 |
|
: |
|
|
|
|
|
jzj=3
Поскольку функция sin z¡1 i не имеет предела при z ! i, то i существенно особая точка. Поэтому интересующий нас вычет можно найти, разложив подынтегральную функцию в ряд Лорана в окрестности точки i (т.е. по степеням (z ¡i)) и взяв
коэффициент при степени ¡1. Для разложения sin |
|
1 |
в ряд по степеням (z ¡i) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
можно воспользоваться стандартным разложением |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin z = z ¡ |
z3 |
|
|
z5 |
|
¡ |
z7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ ::: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3! |
5! |
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin |
|
1 |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
¡ ::: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z |
¡ |
i |
z |
¡ |
i |
|
(z |
¡ |
i3)3! |
|
(z |
¡ |
i)55! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
+ 2i(z ¡ i) ¡ 1, получим |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Учитывая, что z |
|
|
= ((z ¡ i) + i) |
|
= (z ¡ i) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2 sin |
1 |
|
|
= ((z ¡ i)2 + 2i(z ¡ i) ¡ 1) |
µ |
1 |
¡ |
|
1 |
|
|
|
+ : : : ¶ |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
i |
z i |
(z i)33! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= ((z ¡ i) ¡ |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ : : : ) + 2i(1 ¡ |
|
1 |
|
+ : : : ) ¡ 1 µ |
1 |
|
¡ : : : |
¶ = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z |
|
|
|
|
i)3! |
(z |
i)23! |
z |
i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
||||||
|
= (z ¡ i) + 2i + |
|
|
1 |
|
|
|
|
µ¡ |
1 |
|
¡ 1¶ + ¢ ¢ ¢ = (z ¡ i) + 2i ¡ |
|
|
|
|
7 |
|
+ : : : ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z ¡ i |
3! |
6(z ¡ i) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Res |
|
z2 sin |
1 |
¢ |
|
7 |
и, следовательно,jzjR=3 |
|
z2 sin |
1 |
|
|
dz |
|
|
¼i |
7 |
= ¡ |
7¼i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поэтому z=i |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
z¡i |
|
= ¡6 |
|
|
|
|
|
z¡i |
|
|
= 2 |
|
|
|
¡¡6¢ |
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: jzjR=3 z2 sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7¼i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
dz = ¡ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
z¡i |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10