Лекция 4. Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола §10. Эллипс

О п р е д е л е н и е. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами:

.

Чтобы найти уравнение эллипса, нужно удобным образом выбрать систему координат.

, где – середина отрезка,. Тогда. Под уравнением фигуры понимаем уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих фигуре. Поэтому, вывод уравнения эллипса состоит из двух этапов: сначала находим уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки эллипса, затем показываем, что если координаты точки удовлетворяют этому уравнению, то точка принадлежит эллипсу.

I. . Используя формулы вычисления расстояния между точками, получим уравнение, которое приводится к виду, где обозначено.

II. Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению. Покажем, что точкапринадлежит эллипсу, то есть.

Непосредственным вычислением получаем .

Из уравнения, которому удовлетворяют координаты точки , следует. Кроме того,. Поэтому, имееми.

Аналогично находим .

Тогда и значит, точкапринадлежит эллипсу.

Из I и II следует, что – уравнение эллипса –каноническое уравнение эллипса и значит эллипс – линия второго порядка.

Исследование формы эллипса

1. . То есть являются осями симметрии, ацентром симметрии.

2. . Так как , то все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, определяемого прямыми.

3. Определяя точки пересечения эллипса с произвольной прямой , проходящей через начало системы координат, получим систему уравнений. Тогда. Таким образом, любая прямая, проходящая через начало координат, пересекает эллипс в двух точках, симметричных относительно. В частности

.

Точки называются вершинами эллипса,– большой полуосью,– малой полуосью.

4. Для точек эллипса, находящихся в первой координатной четверти, имеем . Таким образом, есливозрастает от 0 до, тоубывает отдо 0.

5. Эксцентриситетом эллипса называется число . Таким образом, эксцентриситет эллипса меньше 1.

Имеем . Отсюда. Для системы эллипсов с одной и той же большой осью (постоянно) видим, что с увеличением эксцентриситета уменьшается малая ось, то есть эллипс становится более сплюснутым. Прибудем иметьи эллипс становится окружностью.

§11. Гипербола

О п р е д е л е н и е. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами: .

По аналогии с эллипсом можно вывести каноническое уравнение гиперболы: , где обозначено.

Исследование формы гиперболы

1. –оси симметрии, – центр симметрии гиперболы.

2. . Из уравнения гиперболы следует, что , то есть все точки гиперболы находятся вне полосы, определяемой прямыми.

3. Поиск точек пересечения гиперболы с – произвольной прямой, проходящей через начало системы координат, сводится к решению уравнения. Таким образом, если, то прямаяпересекает гиперболу в двух точках, симметричных относительно начала системы координат.

Если , то прямаяне пересекает гиперболу.

При этом и, следовательно,.

Получаем, что прямая не пересекает гиперболу, если её угловой коэффициент по модулю больше, чем модуль углового коэффициента прямойили. Прямыеиназываютсяасимптотами гиперболы.

Ось пересекает гиперболу в точкахи–вершины гиперболы. Ось называетсявещественной осью.

Ось не имеет с гиперболой общих вещественных точек и называетсямнимой осью гиперболы.

4. Прямая ,, пересекает гипеболу в точке, а асимптотув точке. Расстояние от точкидо гиперболы меньше, чем расстояние. Видим, что прирасстояние от точкидо гиперболы стремится к нулю. То есть по мере удаления от мнимой оси точки гиперболы неограниченно приближаются к соответствующей асимптоте.

5. Эксцентриситетом гиперболы называется число . Таким образом, эксцентриситет гиперболы больше 1.

Имеем Таким образом, для системы гипербол с общими вещественными вершинами (постоянно) с возрастанием эксцентриситета ветви гипербол все более удаляются от вещественной оси.