6.3.6.2. Технология интерполяции функций в среде MatLab

Пример 6.3.6-5. Найти многочлен Лагранжа степени n, такой, что значения функции и многочлена в точках таблицы совпадают.

По таблице построим интерполяционный многочлен:

X	-1	0	1	2
y(x)	4	2	0	1

= .

Пример 6.3.6-5

% Построить интерполяционный многочлен Лагранжа % Введём табличную функцию x = [-1 0 1 2]; y = [4 2 0 1]; % Построим интерполяционный многочлен (аппроксимация третьей степени) p = polyfit(x, y, 4); % Коэффициенты интерполяции \sum_{i=0}^n p(i) x^i p 1.2500 -2.0000 -1.2500 0 2.0000

Пример 6.3.6-6.. Использование остаточного члена интерполяции.

Пусть требуется составить таблицу функции y=lnx на отрезке [1;10]. Какой величины должен быть шаг h, чтобы при линейной интерполяции значение функции восстанавливалось с погрешностью не меньшей ?

Запишем остаточный член интерполяции при линейной интерполяции

Так как , тоТогда. Следовательно,

Пример 6.3.6-6

% Интерполяция функции Рунге % Введём функцию Рунге f = inline('1./(1+25*x.^2)'); % Вычислим таблицу значений x = linspace(-1, 1, 10); y = f(x); % Проинтерполируем функцию Рунге многочленами Лагранжа p = polyfit(x, y, 10); xx = linspace(-1, 1, 100); yy = polyval(p, xx); axes('NextPlot', 'Add'); % Покажем, что глобальная аппроксимация плохо работает для функции Рунге plot(x, y); plot(xx, yy, 'Color', 'r');

Пример 6.3.6-6

% С увеличением узлов сетки, ситуация только ухудщается % Вычислим таблицу значений. 20 узлов сетки x = linspace(-1, 1, 20); y = f(x); % Проинтерполируем функцию Рунге многочленами Лагранжа p = polyfit(x, y, 20); xx = linspace(-1, 1, 100); yy = polyval(p, xx); figure axes('NextPlot', 'Add'); % Покажем, что глобальная аппроксимация плохо работает для функции Рунге plot(x, y); plot(xx, yy, 'Color', 'r');

Пример 6.3.6-6

% Кусочно-линейная интерполяция функции Рунге % Введём функцию Рунге f = inline('1./(1+25*x.^2)'); % Вычислим таблицу значений x = linspace(-1, 1, 10); y = f(x); % Начертим график кусочно-линейной аппроксимации plot(x, y);

Пример 6.3.6-6

% Построить интерполяцию сплайнами функции Рунге % Введём функцию Рунге f = inline('1./(1+25*x.^2)'); % Вычислим таблицу значений x = linspace(-1, 1, 10); y = f(x); % Вычислим сплайн-интерполяцию xx = linspace(-1, 1, 100); yy = spline(x, y, xx); % Начертим графики axes('NextPlot', 'Add'); plot(x, y, 'LineWidth', 2); % Красным на графике - аппроксимация, жирным - исходная функция. plot(xx, yy, 'Color', 'r');

6.3.7. Тестовые задания по теме «Интерполяция функций»

1. Задача замены таблично заданной функции y = f(x) другой функцией g(x), такой, что g(x_i) = f(x_i) (i = 0, 1, 2, … n), это

1. задача интерполяции

2. задача аппроксимации

3. решение уравнения

4. задача оптимизации

2. Узлы интерполяции – это

1. значения функции, заданной таблично

2. значения x_i (i = 0, 1, 2, … n)

3. значения интерполяционного многочлена в точках x_i (i = 0, 1, 2, … n)

4. в списке нет правильного ответа

3. Шаг интерполяции – это

1. шаг интегрирования

2. разность между соседними значениями функции

3. расстояние между узлами интерполяции

4. в списке нет правильного ответа

4. Основное условие интерполяции – это

1. совпадение значений интерполируемой и интерполирующих функций во всех узлах интерполяции с заданной степенью точности

2. значения интерполируемой и интерполирующих функций в узлах интерполяции не должны совпадать

3. в списке нет правильного ответа

4. полное совпадение значений интерполируемой и интерполирующих функций во всех узлах интерполяции

5. Связь между числом узлов интерполяции и степенью интерполяционного многочлена следующая

1. степень интерполяционного многочлена на единицу меньше числа узлов

2. степень интерполяционного многочлена не зависит от числа узлов

3. степень многочлена равна числу узлов

4. в списке нет правильного ответа

6. Если точка интерполяции Х находится в начале таблицы с равноотстоящими узлами, то для построения интерполяционного полинома с возможно меньшей погрешностью используется

1. формула Лагранжа

2. первая формула Ньютона

3. формула Симпсона

4. вторая формула Ньютона

7. Изменение степени интерполяционного полинома на единицу (добавление в таблицу значений функции одного узла) ведет к полному пересчету

1. первой формулы Ньютона

2. второй формулы Ньютона

3. формулы Лагранжа

4. нет правильного ответа

8. Вторая интерполяционная формула Ньютона используется, когда точка интерполяции находится

1. в начале таблицы с равноотстоящими узлами

2. в середине таблицы с равноотстоящими узлами

3. все ответы верные

4. в конце таблицы с равноотстоящими узлами

9. При использовании n + 1 узла таблицы интерполяционный полином Лагранжа является полиномом

1. n–ой степени

2. n – 1–ой степени

3. n + 2–ой степени

4. в списке нет правильного ответа

10. Если интерполируемая функция f(x) задана в (n + 1) равноотстоящих узлах, то для ее интерполяции удобнее использовать

1. формулу Ньютона

2. формулу Лагранжа

3. формулу Симпсона

4. в списке нет правильного ответа

11. Универсальность формулы Лагранжа заключается в возможности

1. нахождения значений функции как в начале, так и в конце таблицы

2. все ответы верные

3. нахождения значений функции в любом месте таблицы

4. ее использования для случая неравноотстоящих узлов

12. Точность интерполяции зависит

1. от величины шага интерполяции

2. от выбранного метода

3. в списке нет правильного ответа

13. Интерполяционная формула Лагранжа относится к классу

1. показательных функций

2. тригонометрических функций

3. полиноминальных функций

4. экспоненциальных функций

14. При использовании интерполяционных формул Ньютона располагать узлы в произвольном порядке

1. нельзя

2. можно

3. можно, но только для первой формулы Ньютона

4. можно, но только для второй формулы Ньютона

15. Добавление очередного узла интерполяции при использовании формул Ньютона требует

1. полного пересчета формулы

2. пересчета только последнего слагаемого

3. в списке нет правильного ответа

4. вычисления дополнительного слагаемого

16. При построении линейного интерполяционного многочлена Лагранжа для функции, заданной таблично, значение функции в точкех=0.18, равно

х	0.1	0.15	0.2
у	-1	-0.7	-0.5

1. -0.48

2. -0.58

3. 0.68

4. формулу Лагранжа использовать нельзя

17. При построении линейного интерполяционного многочлена Ньютона Р₁(х) для функции, заданной таблично, значение функции в точке х=0.11

х	0.1	0.2	0.3
у	0.8	0.5	0.6

1. -0.752

2. 0.568

3. Формулу Ньютона использовать нельзя.

4. 0.77

18. При построении линейного интерполяционного многочлена Лагранжа для функции, заданной таблично, значение функции в точкех=2.5 равно

x	0	2	4
f(x)	1.7	1.9	2.5

1. 2.99

2. 3.61

3. 2.05

4. 4.16

19. При построении линейного интерполяционного многочлена Лагранжа для функции, заданной таблично, значение функции в точкех=0.25 равно

x	0.2	0.3	0.6
f(x)	4.5	5.0	7.6

1. 4.75

2. 1.00

3. 5.61

4. 6.16

20. При построении линейного интерполяционного многочлена Ньютона Р₁(х) для функции, заданной таблично, значение функции в точке х=0.41 равно

x	0.4	0.5	0.6
f(x)	0.6	0.55	0.65

1. 0.575

2. 1.75

3. 0.58

4. 0.12

21. При построении интерполяционного многочлена Лагранжа значение функции, заданной таблично, значение функции в точкех=0.12, равно

х	0.1	0.15	0,2
у	-1	-07	-0.5

1. -0.418

2. 0.618

3. -0.868

4. формулу Лагранжа использовать нельзя

22. При построении интерполяционного многочлена Ньютона Р₂(х) для функции, заданной таблично, значение функции в точке х=0.11

х	0.1	0.2	0.3
у	0.8	0.5	0.6

1. -0.752

2. 0.752

3. 0.568

4. Формулу Ньютона использовать нельзя

23. При построении интерполяционного многочлена Ньютона Р₂(х) для функции, заданной таблично, значение функции в точке х=1.8 равно

х	1	2	3
у	2.2	5.2	8.4

1. 4.728

2. -0.752

3. 1.568

4. Формулу Ньютона использовать нельзя

24. При построении интерполяционного многочлена Лагранжа для функции, заданной таблично, значение в точкех=3.6 равно

х	3	4	5
у	5.2	8.4	10.5

1. 8.654

2. 7.252

3. 7.561

4. 4.675

25. При построении интерполяционного многочлена Ньютона Р₂(х) для функции, заданной таблично, значение функции в точке х=4.2 равно

х	4	4.5	6
у	5.3	8.2	11.4

1. Формулу Ньютона использовать нельзя

2. 8.752

3. 9.568

4. 6.3

26. Погрешность в точке х=4.5 при замене функции интерполяционным многочленом первой степени, построенным по узлами, равна

1. 0.775

2. 1.158

3. 1.412

4. 0.003

27. Приближенное значение функции в точкех=1.5, вычисленное с использованием интерполяционного многочлена Ньютона по узлам и, равно

1. 3.5

2. 2.75

3. 6.58

4. 7.12

28. Приближенное значение функции в точкех=1.5, вычисленное с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа по узлам и, равно

1. 2.175

2. 3.58

3. 5.053

4. 7.12

29. Погрешность в точке х=1.5 при замене функции интерполяционным многочленом первой степени, построенным по узлами, равна

1. 1.125

2. 2.775

3. 0.158

4. 0.412