Выделение случайного компонента.

После построения модели тренда, используя равенство , выразим случайную компоненту, как.

Исходные данные приведены в Приложении 2.1.

Проверка гипотезы о неизменности среднего значения случайного компонента.

Выполним проверку гипотезы о правильности выбора модели тренда. Т.е. проверим, носит ли ряд отклонений от тренда случайный характер. В этом случае должна подтвердиться нулевая гипотеза -, при различных вариантах конкретизации альтернативных гипотез типа -.

Для проверки нулевой гипотезы воспользуемся критерием «восходящих» и «нисходящих» серий. На основе имеющихся значений уровней ряда остатков требуется образовать «серии» (последовательности знаков – плюсов и минусов). На i-ом месте вспомогательной последовательности ставится плюс, еслиe(i+1)-e(i)>0 и - минус, еслиe(i+1)-e(i)<0. Данный критерий основан на том соображении, что: если выборка случайна (наблюдения независимы и одинаково распределены), то в образованной последовательности знаков общее число серий не может быть слишком маленьким, а их протяженность слишком большой. Результаты образования «восходящих» и «нисходящих» серий приведены вПриложении 2.3.

- общее число серий;

- максимальная длина серии.

Нулевая гипотеза подтверждается при уровне значимости =0.05, если выполняется система неравенств:

Выполним некоторые преобразования:

Т.к. ни одно из неравенств системы не нарушается, делаем вывод о непротиворечивости гипотезы о неизменности среднего значения случайной компоненты. Поэтому можно считать, что ряд отклонений от тренда носит случайный характер

Проверка гипотезы о нормальности случайного компонента.

Проверим гипотезу о том, что ряд отклонений распределен по нормальному закону распределения. Проверку осуществим с помощью показателей асимметрии и эксцесса (вспомогательные расчеты представлены в Приложении 2.3):

Среднеквадратические ошибки коэффициентов асимметрии и эксцесса:

Следует проверить выполнение следующих систем неравенств:

Т.к. ни одна из систем неравенств не выполняется, нельзя, согласно данному критерию, ни принять гипотезу о нормальном характере распределения, ни отвергнуть ее. Следовательно, предположение о том, что ряд отклонений распределен по нормальному закону распределения, не отвергается.

Проверка гипотезы о стационарности случайного компонента.

Основным условием стационарности случайного процесса является зависимость автокорреляционной функции только от длины временного интервала , но не от конкретных моментов времени. Нулевая гипотеза запишется в следующем виде:. Конкурирующая гипотеза -.

Для проверки нулевой гипотезы найдем для случайного компонента e_t (t=1,..,35) значения автокорреляционной функции :

Затем, исключив первое наблюдение, найдем новую автокорреляционную функцию , и так далее, исключив k наблюдений (k=0,1,2,..,K), пока не получим автокорреляционную функцию. Ниже приведены значения автокорреляционной функции дляи:

						
		1	2	3	4	5	6	7	8	9
k	0	0,3719	-0,1249	-0,1622	-0,1529	0,0139	0,1362	0,2053	-0,0657	-0,3078
	1	0,3858	-0,0970	-0,1906	-0,1426	0,0640	0,1103	0,0231	-0,1735	-0,2709
	2	0,3906	-0,0987	-0,1895	-0,1415	0,0625	0,1196	0,0177	-0,1680	-0,2730
	3	0,3984	-0,1048	-0,2061	-0,1317	0,1483	0,1498	0,0008	-0,2298	-0,2869
	4	0,4028	-0,0978	-0,2131	-0,1881	0,1412	0,1596	0,0267	-0,2223	-0,2969
	5	0,3998	-0,0934	-0,2195	-0,1782	0,1327	0,1454	0,0203	-0,2197	-0,3005
	6	0,4189	-0,0266	-0,1960	-0,2069	0,0785	0,1309	0,0331	-0,2321	-0,3299
	7	0,4347	-0,0518	-0,1832	-0,1849	0,0899	0,1240	0,0405	-0,2140	-0,3085
	8	0,3831	0,0416	0,0511	-0,1499	0,0520	0,1959	0,1670	-0,0942	-0,0026

Для стационарного в широком смысле случайного процесса коэффициенты автокорреляции, входящие в одну и ту же группу, должны быть однородными. Для проверки на однородность для каждого из вычисляют величину z-критерия по следующей формуле:. Значенияz-критериев приведены ниже:

						
		1	2	3	4	5	6	7	8	9
k	0	0,3907	-0,1256	-0,1636	-0,1541	0,0139	0,1371	0,2083	-0,0658	-0,3181
	1	0,4069	-0,0973	-0,1929	-0,1435	0,0641	0,1107	0,0231	-0,1753	-0,2779
	2	0,4125	-0,0991	-0,1918	-0,1424	0,0626	0,1202	0,0177	-0,1696	-0,2801
	3	0,4218	-0,1052	-0,2091	-0,1325	0,1494	0,1510	0,0008	-0,2340	-0,2952
	4	0,4270	-0,0981	-0,2164	-0,1903	0,1421	0,1609	0,0267	-0,2261	-0,3061
	5	0,4234	-0,0937	-0,2231	-0,1801	0,1335	0,1464	0,0203	-0,2233	-0,3100
	6	0,4464	-0,0266	-0,1986	-0,2099	0,0787	0,1316	0,0332	-0,2364	-0,3427
	7	0,4657	-0,0518	-0,1852	-0,1870	0,0901	0,1246	0,0406	-0,2174	-0,3189
	8	0,4037	0,0416	0,0512	-0,1511	0,0520	0,1984	0,1686	-0,0945	-0,0026

Для каждой -ой группы коэффициентов находим:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0,4220	-0,0729	-0,1700	-0,1657	0,0874	0,1423	0,0599	-0,1825	-0,2724

Далее для каждой группы рассчитывается значение , которое сравнивается табличным²(0,05;K):

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0,1133	0,5694	1,4140	0,1577	0,4930	0,1452	1,2860	0,9090	2,0849

Как видно, для всех групп, поэтому при уровне значимости=0,05 гипотезу об однородности каждой-ой группы коэффициентов автокорреляции не отвергается. Т.к. гипотеза об однородности не отвергается для всех групп, то можно принять, что автокорреляционная функция зависит не от начала отсчета, а только от разности, т.е. случайный компонент представляет собой стационарный в широком смысле случайный процесс.

В Приложении 2.4 приведены значения автокорреляционной и частной автокорреляционной функций, а так же коррелограмма и график частной автокорреляционной функции. Из анализа полученных результатов можно сделать вывод, что имеет смысл стоить авторегрессионую модель не более третьего порядка.

Проверка гипотезы о наличии автокорреляции с помощью DW-статистики.

Выполним проверку гипотезы о наличии в ряду остатков автокорреляции 1-ого порядка. Нулевая гипотеза примет вид -в ряду остатков существует автокорреляция 1-ого порядка. Проверку гипотезы осуществим с помощью критерия Дарбина-Уотсона:

Табличные значения границ критерия при уровне значимости =0.05:d₁=1.40,d₂=1.52. Т.к., то нулевая гипотеза принимается: в ряду остатков наблюдается положительная автокорреляция.