4.6.2. Базовые алгоритмы итеративных циклических структур и их программирование

Рассмотрим сумму вида S= a₁ + a₂ + a₃ + . . . и пусть имеется положительное число ε > 0, называемое точностью вычислений. Во многих задачах точность вычисления суммы S считается достигнутой, когда выполняется одно из следующих условий:

• разность │S_i – S_i-1│ < ε, где S_i –сумма на i–ом шаге цикла (т.е. сумма содержит i слагаемых), а S_i-1– сумма на предыдущем шаге.

• разность │a_i– a_i-1│< ε, где a_i – значение слагаемого на i – ом шаге, а a_i-1– предыдущем шаге цикла.

• значение │S_i│ < ε.

• значение │a_i│ < ε.

Абсолютное значение (модуль) условия обычно требуется для знакопеременных рядов. Следует заметить также, что приведенные выше условия во многих задачах практически эквивалентны.

Кроме вычисления значения рядов существует много задач, в которых количество повторений цикла определяется в процессе его выполнения. Как уже известно, подобные циклы называют итеративными.

При описании базовых алгоритмов регулярных циклических структур мы приводили примеры вычисления сумм и произведений конечного (заранее известного) числа членов последовательности (Примеры 4.5.2-3, 4.5.2-4, 4.5.2-5).

Рассмотрим теперь некоторую последовательность, содержащую бесконечное число членов: a₀,a₁,a₂,a₃,…, a_i,…,a_n,… В таких задачах требуется вычислять члены последовательности до тех пор, пока очередной вычисленный член не будет удовлетворять некоторому условию.

Если задано некоторое число ε, условия окончания итерационного процесса могут, например, быть следующими:

• для убывающей последовательности a_n< ε;

• для возрастающей последовательности a_n> ε (примеры 4.6.2-1, 4.6.2-3, 4.6.2-5);

• для убывающей знакопеременной последовательности |a_n|< ε (пример 4.6.2-4);

• для некоторых других последовательностей |a_n+1-a_n|<ε (пример 4.6.2-2).

Рассмотрим примеры алгоритмов итерационного типа, реализуемых с использованием итеративных циклов.

Пример 4.6.2-1. Написать процедуру-Function, которая среди последовательности чисел находит первое число, большее заданного значения переменной a.

Алгоритм решения данной задачи относится к алгоритмам вычисления членов бесконечных последовательностей (рис.4.6.2-1). Он использует итеративный цикл с предусловием и реализуется с помощью конструкции Do While ... Loop.

Для решения данной задачи проведем формализацию. Для этого введем следующие обозначения: b – очередной член бесконечной последовательности; n – номер этого члена, который в данной задаче совпадает со значением знаменателя дроби, добавляемой к предыдущему члену для получения значения очередного члена последовательности. Таким образом, итерационная формула вычисления очередного члена последовательности будет иметь следующий вид:

, где n – номер члена.

Function Pr4621(ByVal a As Double)As Double Dim b As Double Dim n As Integer b = 1 n = 1 Do  While b <= a    n = n + 1 b = b + 1 / n Loop Return b End Function

Рис. 4.6.2-1

Процедура–функцияPr4621( ) может быть вызвана из любой другой процедуры или из модуля формы, например, как показано на рис. 4.6.2-2.

Dim aa, bb As Double aa =vvodDbl2("Введите значение a=", TextBox1 ) bb=Pr4621(aa) vivodDbl1(bb,TextBox2) ...

Рис. 4.6.2-2

Решение данного примера может быть реализовано также с использованием конструкции Do Until…Loop(рис. 4.6.2-3), а цикл с предусловием можно заменить на цикл с постусловием и соответствующим ему изменением настройки цикла (рис. 4.6.2-4).

Изменим в цикле условие продолжения выполнения цикла (на рис. 4.6.2-1 заменим условие b<=a на условие b>a), то есть будем проводить вычисления членов последовательности до тех пор, пока не встретится член, больший заданного числа. Заменим условие b<=a на условие b>a.

Тогда алгоритм и процедура-функция будут выглядеть, как на рис.4.6.2-3.

Function P4623(ByVal a As Double)As Double Dim b As Double Dim n As Integer b = 1 n = 1 Do  Until b > a    n = n + 1 b = b + 1 / n Loop Return b End Function

Рис. 4.6.2-3

Если вычисление членов последовательности проводится в теле цикла, начиная с первого, то алгоритм и процедура-функция примут вид, показанный на рис 4.6.2-4.

Function P4624(ByVal a As Double) As Double Dim b As Double Dim n As Integer b = 0 n = 0 Do      n = n + 1 b = b + 1 / n Loop Until b > a Return b End Function

Рис. 4.6.2-4

Мы получили структуру итеративного цикла с постусловием, изменив настройку цикла: n=0, b=0. В данном случае условием окончания вычислительного процесса служит значение True логического выражения b>a, а продолжением – значение False (конструкция Do…Loop Until).

Изменив условие на b<=a, получим конструкцию цикла с Do…Loop While.

Следовательно, задача может быть решена с использованием как цикла с предусловием, так и цикла с постусловием, с любой из конструкций While или Until.

Пример 4.6.2-2. Написать процедуру-Function, которая вычисляет корень уравнения e^x + x = 0 с точностью =10^-4.

Вос­пользуемся известной итерационной формулой x_i+1= ,где i=0, 1, 2, ...; x₀=0.Следует закончить итеративный процесс, как только |x_i+1-x_i|станет меньше ε=10^-4.

Для решения этой задачи необходимо из очередного приближения вычисленного корня x_i+1 вычитать значение предыдущего приближения корня x_i.Для этого при каждом повторении цикла перед вычислением очередного значения корня x, сохраняем в переменной a текущее значение x(оно становится предыдущим). Цикл прекращаем, если разность между a (то есть x_i) и x (то есть x_i+1) станет меньше =10^-4 .

Алгоритм решения данной задачи относится к итерационным алгоритмам (рис.4.6.2-5) и может быть реализован, например, с помощью конструкции Do ... Loop Until c постусловием.

Function P4625( ) As Double Dim a, x, d As Double x = 0 d=1E-4 Do a = x x = -Exp(a) Loop Until Abs(x - a) <d Return x End Function

Рис. 4.6.2-5

Процедура-Function Pr4625( ) может быть вызвана из любой другой процедуры или из модуля формы, например, как показано на рис. 4.6.2-6.

… Dim xx As Double … xx = Pr4625() vivodDbl1(xx, TextBox1) …

Рис. 4.6.2-6

Пример 4.6.2-3. Задана возрастающая последовательность

Требуется написать программу, которая вычисляет все члены последовательности, до тех пор, пока значение очередного члена не превысит некоторое заданное число d, например (3<d<100).

В нашей задаче для вычисления любого члена последовательности можно воспользоваться формулой

,где n=0, 1, 2,…- номер члена последовательности.

Во многих задачах, использующих итеративные алгоритмические структуры, следует предусмотреть так называемую «страховку от зацикливания», так как иногда условие продолжения цикла остается истинным бесконечно. В данном примере цикл с постусловием будет выполняться не более 100 раз, даже если очередной член последовательности будет оставаться меньше d (рис. 4.6.2-7). Так как вывод в TextBox членов последовательности должен происходить в процессе вычисления (внутри цикла), то для решения задачи напишем процедуру-Sub , для которой (в отличии от Function) не требуется возврата одного значения.

Sub Pr4627(ByVal x As Double, _ ByVal d As Double) Dim n As Integer = 0 Dim a As Double Do a=x^n / 3^n vivodID11(n, "n= ",a, "a= ",TextBox3) n=n+1 Loop While a <= d And n < 100 End Sub

Рис. 4.6.2-7

Процедура-SubPr4627( ) может быть вызвана из любой другой процедуры или из модуля формы, например, как показано на рис. 4.6.2-8.

… Dim xx, dd As Double xx = vvodDbl2("Введите значение xx= ", TextBox1) dd = vvodDbl2("Введите значение dd= ", TextBox2) … Pr4627(xx, dd) …

Рис. 4.6.2-8

Пример 4.6.2-4.Написать процедуру-функцию, которая вычисляет сумму членов знакопеременной убывающей последовательности с заданной точностью ε:

Вычисление с заданной точностью ε означает, что суммирование членов ряда надо продолжать до тех пор, пока очередной вычисленный член ряда не станет меньше по абсолютной величине числа ε.

Отметим, что во многих задачах непосредственный подсчет очередного члена связан с вычислительными трудностями. В этом случае целесообразно использовать рекуррентную формулу, которая позволяет вычислить значение переменной на следующем шаге, используя ее значение на текущем шаге – . Выражение для q можно получить, разделив a_n+1 член на a_n член.

Приведем вывод рекуррентной формулы для заданного в примере ряда. Формула для n-го члена приведена в задании:

тогда формула n+1 члена

Разделив a_n+1 член на a_n, получим выражение для q

Таким образом, рекуррентная формула для данного ряда:

Выбор начального значения номера члена ряда (n) для нашего случая будет n=0, так как при подстановке этого значения в формулу n-го члена ряда

мы получим значение первого члена, равного x-1 или a=x-1.

Схема алгоритма и процедура-Function приведены на рис. 4.6.2-9, причем алгоритм этот относится к алгоритму с предусловием, в котором предусмотрено выполнение цикла не более 100 раз, чтобы избежать возможного зацикливания.

Function Pr4629(ByVal x As Double, _ ByVal e As Double)As Double Dim a, s As Double Dim n As Integer=0 a = x – 1 s = 0 Do Until Abs(a) < e Or n >100 vivodIntLs12(n,ListBox1) vivodDblLs13(a,ListBox2) s = s + a a = -a * (x -1) / (n+2) n = n + 1 Loop Return s End Function

Рис. 4.6.2-9

Процедура-Function Pr4626( ) может быть вызвана из любой другой процедуры или из модуля формы, например, как показано на рис. 4.6.2-10.

… Dim xx, ee, ss As Double xx=vvodDbl2("Введите значение xx=",TextBox1) ee=vvodDbl2("Введите значение ee=",TextBox2) ss = Pr4629(xx, ee) vivodDbl1(ss, TextBox3) …

Рис. 4.6.2-10

Рекуррентную формулу для вычисления очередного значения члена последовательности, приведенную выше, можно вычислить по-другому, используя его значение на предыдущем шаге

Для этого случая вывод будет следующий:

.

Тогда

.

Таким образом, рекуррентная формула в этом случае:

.

Схема алгоритма и код процедуры-функции приведены на рис. 4.6.2-11. В этом случае, в отличие от предыдущего, увеличивать n (n=n+1) следует до, а не после вычисления очередного члена ряда.

Function P46211(ByVal x Double, _ ByVal e As Double) As Double Dim a, s As Double Dim n As Integer=0 a = x – 1 s = 0 Do Until Abs(a) <e Or n >100 vivodIntLs12(n,ListBox1) vivodDblLs13(a,ListBox2) s =s + a n = n+1 a=- a * (x-1) / (n+1) Loop Return s End Function

Рис. 4.6.2-11

Пример 4.6.2-5. Написать процедуру-Sub, вычисляющую сумму всех чисел Фибоначчи, которые не превосходят заданного натурального числа m, и определить количество таких чисел.

Числа Фибоначчи (F_i) определяются по формулам:

F₀ = F₁ = 1;F_i = F_{i –1} + F_{i –2} при i = 2, 3,...,…

то есть каждое очередное число равно сумме двух предыдущих.

Подобная задача была решена при рассмотрении регулярных циклических структур (пример 4.5.2-4). Однако, здесь число слагаемых (членов последовательности) заранее неизвестно, поэтому организуем итеративный цикл с предусловием. Обозначим это число слагаемых k. В данном примере до начала цикла задаются значения трех чисел Фибоначчи F₀, F₁, и F₂=F₀+F₁=2 и их сумма S=F₀+F₁+F₂=4. В цикле переопределяем значение переменных F₀ и F₁, выводим очередное (предыдущее) число Фибоначчи, вычисляем следующее число и добавляем его в сумму. Когда текущее число Фибоначчи превосходит заданное число m (F₂≤m - False), то происходит выход из цикла. Так как это число Фибоначчи уже добавлено в сумму, то после выхода из цикла его необходимо вычесть из нее (S=S-F₂). Таким образом, в окончательном значении суммы будут учтены только те числа Фибоначчи, которые еще не превосходят заданное число m.

Схема алгоритма и код процедуры-Sub приведены на рис. 4.6.2-12.

Sub P46212(ByVal m As Integer,ByRef S As Long, ByRef k As Integer) Dim F, F1, F2As Integer F0 = 1 : F1 = 1 : F2 = 2 S = F0 + F1 + F2 : k= 3 Do While F2 <= m   F0= F1 : F1 = F2 vivodIntLs12(F1,ListBox1) F2= F0 + F1 S= S + F2 k= k + 1 Loop S= S – F2   k = k - 1 End Sub

Рис. 4.6.2-12

Процедура-Sub Pr46212( ) может быть вызвана из любой другой процедуры или из модуля формы, например, как показано на рис. 4.6.2-13.

… Dim SS As Long Dim mm, kk As Integer mm=vvodInt9("Введите значение mm= ", TextBox1) Pr46212(mm, SS, kk) vivodFxn14(SS, kk, TextBox2) …

Рис. 4.6.2-13

Пример 4.6.2-6.Написать процедуру-Function, которая вычисляет с точностью =0.001 сумму членов ряда

_.

Очевидно, что задана знакопеременная убывающая последовательность, поэтому для вычисления суммы ряда с точностью  будем вычислять и суммировать члены последовательности до тех пор, пока очередной член ряда не станет меньше точности по модулю.

Заданный ряд вычислять через рекуррентную формулу нецелесообразно, так как это, во-первых, трудно, а, во-вторых, скорее всего, невозможно вывести общую формулу n-го члена ряда. Поэтому можно воспользоваться следующим универсальным приемом вычисления подобных рядов.

Каждый член последовательности можно представить как

где z– множитель, равный 1 или -1 (знак члена ряда);

n–первый сомножитель в числителе каждого слагаемого (в данном случае совпадает с номером члена ряда);

b–второй сомножитель в числителе;

с– знаменатель каждого слагаемого.

В свою очередь, знаменатель члена ряда представляет собой произведение нескольких сомножителей, причем с увеличением номера члена ряда увеличивается и количество сомножителей в знаменателе. Таким образом, знаменатель можно представить, как с=с∙d, где d – сомножитель, добавленный к значению знаменателя предыдущего члена ряда.

Схема алгоритма и код процедуры-функции приведены на рис. 4.6.2-14.

Function Pr46214(ByVal E As Double) As Double Dim a, s As Double Dim n, z, b, c, d As Integer n = 1 z =1 b = 5 c = 2*4 d = 4 a = z * n^ 2 * b / c s = 0 Do While Abs(a)> E vivodIntLs12(n,ListBox1) vivodDblLs13(a,ListBox2) s = s + a n = n + 1 z = -z b = b + 1 d = d + 2 c = c * d a = z * n^ 2 * b / c Loop Return s End Function

Рис. 4.6.2-14

Процедура-Function Pr46214( ) может быть вызвана из любой другой процедуры или из модуля формы, например, как показано на рис. 4.6.2-15.

… Dim EE, SS As Double EE =vvodDbl1(TextBox1) SS = Pr46214(EE) vivodDbl1(SS, TextBox2) …

Рис. 4.6.2-15