1. Выделение дискретных гармоник полезного сигнала

При вычислении ДПФ часто ставится задача автоматического определения значения модуля ДПФ , превосходящих некоторый заданный порог , и соответствующих дискретных нормированных частот . Фактически, эта задача сводится к выделению полезного сигнала в его аддитивной смеси с шумом.

В учебных целях мы ограничимся рассмотрением двух наиболее простых критериев, согласно которым значение модуля ДПФ аддитивной смеси сигнала с шумом относят к полезному сигналу:

• первый критерий – при заданном пороге значение модуля ДПФ относят к полезному сигналу, если выполняется условие:

14\* MERGEFORMAT ()

• второй критерий – при заданном пороге значение модуля ДПФ относят к полезному сигналу, если выполняется условие:

15\* MERGEFORMAT ()

где – средняя мощность аддитивной смеси сигнала с шумом:

16\* MERGEFORMAT ()

Значение порога , в первом критерии (14) задается в пределах:

17\* MERGEFORMAT ()

а порога во втором критерии (15) – в пределах:

18\* MERGEFORMAT ()

при условии, что

19\* MERGEFORMAT ()

Граничные значения порогов в (17) и (18) можно определить только при априорно известных сигнале и шуме либо их моделях.

При обработке реальных сигналов значение порога , или задается исходя требований конкретной задачи.

2. Восстановление спектральной плотности

Спектральная плотность конечной последовательности длины :

20\* MERGEFORMAT ()

на периоде связана с отсчетами ДПФ (8) соотношением:

21\* MERGEFORMAT ()

Значения спектральной плотности (20) в равноотстоящих точках на периоде при определяются по формуле:

22\* MERGEFORMAT ()

где — дискретная нормированная частота, а — период дискретизации по частоте:

23\* MERGEFORMAT ()

Тот же результат будет получен, если конечную последовательность длины дополнить нулями до длины :

24\* MERGEFORMAT ()

и найти ее ДПФ (8), заменяя на :

25\* MERGEFORMAT ()

С учетом (24) формула (25) принимает вид:

26\* MERGEFORMAT ()

Следует помнить, что разрешение по частоте, под которым понимают минимальное расстояние между дискретными гармониками в ДПФ, определяется исключительно периодом дискретизации по частоте и при фиксированной частоте зависит только от длины (периода) последовательности, поскольку именно она и только она определяет спектральный состав (дискретные гармоники) последовательности.

Поэтому увеличение длины конечной последовательности за счет добавления нулей и, соответственно, уменьшение периода дискретизации по частоте до , не меняет разрешения по частоте, а лишь улучшает условия различения близко расположенных частот дискретных гармоник.

3. Восстановление аналогового сигнала

Дискретное преобразование Фурье (8) может использоваться для восстановления аналогового периодического сигнала с финитным спектром, расположенным в области³ , по формуле (усеченный ряд Фурье):

27\* MERGEFORMAT ()

где отсчеты связаны с отсчетами ДПФ соотношением:

28\* MERGEFORMAT ()

Тот же результат будет получен при восстановлении аналогового сигнала непосредственно с помощью усеченного ряда Котельникова:

29\* MERGEFORMAT ()

В MATLAB для этого удобно воспользоваться функцией:

sinc(t/T-n)

Приложение Б.