Тема 1.1. Системы счисления ↕ ↑

1.1.1. Числа, цифры и коды

1.1.2. Десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы

счисления

1.1.3. Контрольные вопросы по теме «Системы счисления»

1.1.4. Тестовые задания по теме «Системы счисления»

1.1.1. Числа, цифры и коды

Число- основное понятие математики, которое обычно означает либо количество, размер, вес и тому подобное, либо порядковый номер, расположение в последовательности, код, шифр и тому подобное. В простейшем случае мы будем иметь дело с множеством целых неотрицательных чисел, которое начинается с нуля и продолжается до бесконечности:0, 1, 2, 3, 4, …В информатике эти числа, начинающиеся с нуля, называются натуральными.

Цифра – специальные графические знаки, используемые для представления и записи чисел. Например, число256состоит из трех цифр2, 5и6, число16состоит из двух цифр1и6, а число0–из одной цифры0. Цифра–условный знак для обозначения чисел. Числа записываются при помощи цифр. Цифра в узком смысле–один из10знаков десятичной системы счисления:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Код –это правило отображения одного набора объектов или знаков в другой набор знаков без потери информации. Чтобы избежать потерь информации, это отображение должно быть таким, чтобы можно было всегда однозначно возвратиться к прежнему набору объектов или знаков. Например, любую информацию можно передать русским языком с помощью 33 букв русского алфавита и добавочных знаков препинания.

Кодирование –это представление, моделирование одного набора знаков другим с помощью кода. Кодовая таблица — это соответствие между набором знаков и их кодами, обычно разными числами. Так, например, однозначными десятичными числами можно закодировать 10 предметов, приписав каждому предмету одно из 10 однозначных чисел, а двузначными десятичными числами–100 предметов. В качестве примера можно привести универсальную компьютерную кодовую таблицуASCII.

Система счисления, или просто счисление, — набор конкретных знаков-цифр вместе с системой приемов записи, которая представляет числа этими цифрами. Различные системы счисления могут отличаться друг от друга по следующим признакам:

• разное начертание цифр, которые обозначают одни и те же числа;

• разные способы записи чисел цифрами;

• разное количество цифр.

По способу записи чисел цифрами системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления–система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных систем. Примером непозиционной системы счисления служат цифры в римской системе, обозначающиеся знаками: 1- I , 3 - III, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500- D, 1000 - M. Тогда, например, десятичное число 27 будет представляться как XXVII = 10+10+5+1+1, то есть количественное значение числа представляется суммой значений символов. Основной недостаток непозиционных систем - большое число разных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционная система счисления –система, в которой значение символа зависит от его места в ряду символов (цифр), изображающих число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Например, в числе 7382 первая цифра слева означает количество тысяч, вторая–количество сотен, третья–количество десятков, четвертая — количество единиц. Номер позиции, определяющий вес единицы, называется разрядом.

Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они и получили наибольшее распространение. Позиционная система счисления характеризуется основанием или базисом.

Основание (базис)позиционной системы счисления - количество знаков или символов, используемых в разрядах для изображения числа в данной системе счисления.

Для позиционной системы счисления справедливо равенство:

(1.1)

где: g –основание позиционной системы счисления–целое положительное число;x(g) –произвольное число, записанное в системе счисления с основаниемq;–коэффициент ряда (цифры системы счисления);n, m–количество целых и дробных разрядов.