1. Выявление тренда. REM: Приложение 1.

1. Проверим гипотезу о наличии тренда с помощью метода равенства средних и метода Фостера - Стюарта.

а) метод равенства средних  = 0.05

Разбиение исходного ряда, %	Однородность	Равенство средних
50/50	Однородны	Не равны
30/70	Не однородны	Не равны
70/30	Однородны	Не равны

б) метод Фостера – Стюарта

Результаты расчетов

N=36,  = 6.294, 1 = 1.956, 2 = 2.509

	Параметры	|tрасч|	tкр(0.05, 36)	Тенденция
Дисперсия	s = 20	7.007	2.03	Есть
Средняя	d = 20	7.971	2.03	Есть

Таким образом, на основе двух методов получили, что тенденция в средних существует, однако, при расчете по методу Фостера – Стюарта выяснилось, что совокупность не отвечает критерию однородности.

Для наглядности построим график:

Н а основании проведенного выше исследования можно сделать заключение о наличии тенденции в совокупности.

2) Построение тренда

Для анализа рассмотрим линейный тренд, а также полиномиальные 2-го и выше порядков.

Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Модель	R2,%	S	DW	Автокор-реляция	F	Значимость модели, %	Kt
232.8+2.48*t	57.91	22.01	0.18	Есть	2.9*103	100	0.343
197.84+7.99*t-0.15*t2	77.23	16.54	0.3	Есть	3.4*103	100	0.057
236,2-3,66*t+0,63*t2-014*t3	Не значим коэффициент при t
222,1+0,41*t2-0,0103*t3	89.3	11.1	0.63	Есть	8.4*103	100	0.443
229.9-0.6*t+0.3* t2+0.001* t3-0.0002* t4	Уже не значимы коэффициенты при t3 и t4

Таким образом, наилучшим образом ряд описывается с помощью квадратичного тренда.

3) Исключение тренда

Для этого вычтем спрогнозированные по тренду значения из рассматриваемого ряда и рассмотрим остатки.

2. Определение длины периода m. REM: Приложение 2.

Для определения наличия гармоники (цикличности) в ряду рассчитывают функции спектральной плотности f(w). При наличии гармоники в исходном ряду f(w) будет иметь пик в частоте, соответствующей данной гармонике. Число периодов, входящих в эту частоту и определит длину периода гармонической составляющей.

Определим длину периода m двумя способами: обычным и с помощью оценок Парзена.

1. Выражение функции спектральной плотности f(w) через последовательность автоковариационных функций представляется следующим образом:

, где w_j – частоты, для которых оцениваются спектры, , j = 1,2,…, m,

С_k – автоковариационная функция, , где z_t – отклонение от тренда,

m – число частотных полос для которых оценивается спектр, величина m зависит от длины временного ряда.

По результатам расчетов в StatGraphics получили, что максимальное значение функции спектральной плотности приходится на частоту w₂=0,0555556 ( f(w₂)=4108,89 ), что соответствует числу периодов m = 18.

2. Расчет оценок спектра по методу Парзена.

В этом случае спектр временного ряда может быть записан в виде

, где _k – специально подобранные веса значений автоковариацонной функции.

, тогда формула для оценок спектра примет вид:

.

В этом случае значения автоковариационной функции определяются по формуле:

, учитывая, что в нашем случае , получим .

Согласно проведенному выше исследованию получили, что число используемых сдвигов m = 18. Для расчета оценок Парзена будем также использовать это значение.

Тогда в результате получаем, пик в спектре временного ряда остатков котировок цен находится в точке u₂ = 193.63. Следовательно, в исследуемом ряду имеется гармоническая составляющая с периодом m = 2*18 / 2 = 18 месяцев, что и получили выше.

Т аким образом, для построения периодического тренда будем использовать гармоник.