III. Восстановление весов частных критериев на основании серии наблюдений

REM: см. Приложение 2.

Суть метода заключается в нахождении ^opt такого, что _jⁱ будут наимение удалеными (i – номер наблюдения, j – номер ). Другими словами, это можно выразить следующим образом:

^opt - ⁱ = d = d⁺ - d^-, откуда ⁱ =^opt - d⁺ + d^-, где ^opt,d⁺, d^-  0.

Тогда целевая функция будет иметь вид:

, а система ограничений будет иметь блочную структуру – отдельный блок по каждому наблюдению.

Кроме того, вводятся обязательные ограничения на неотрицательность всех переменных в системе, однако, вследствие того, что пакет линейного программирования BLP 88 работает по умолчанию с неотрицательными переменными, то в этом случае эти ограничения могут быть опущены при формализованной записи задачи.

В явном виде «блочная» задача дана в Приложении. При переменных индексы обозначают: первая цифра – номер наблюдения, вторая цифра – индекс переменной, третья цифра – положительная (1) или отрицательная (2) составляющая.

Аналогично рассмотренному выше варианту выберем для кажого периода множества I и J.

I1={1}, J1={1,4,5}; I={2,3}, J={3,4,5}; I3={1,2,3}, J3={1,4}.

В результате решения получаем следующее единственное (см. выше) решение системы:

^opt = (0.6154,0.3846).

IV. Построение прогноза на четвертый период

REM: см. Приложение 3.

На основании п.III были определены веса частных критериев. Используя эту информацию, построим прогноз интенсивностей технологий по данным 4-го периода.

Согласно описанному выше представлению задача в явном виде будет записана следующим образом:

F= 6.062*x1+9.046*x2+1.262*x3 - 1.538*x4+2.169*x5  max

4

х1

+

2

х2

+

0

х3

+

3

х4

+

2

х5



50

1

х1

+

3

х2

+

4

х3

+

0

х4

+

3

х5



48

0

х1

+

1

х2

+

3

х3

+

2

х4

+

1

х5



20

x_j  0 j = 1 .. 5

Решив, получаем следующий прогноз – опорный план на 4-тый период:

х1 = 5.4, х2 = 14.2, х3 = х4 = х5 = 0.

V. Восстановление весов частных критериев при отсутствии активных ограничений

REM: см. Приложение 4.

В четвертом периоде мы не получаем ни одного ограничения типа А*х=b, поэтому для определения активных ограничений рассчитывают расстояние _i для каждого из ограничений и сравнивают его с некоторым максимально возможным отклонением . В нашем случае  =0.8,

.

Таким образом, можно подсчитать _i ( i = 1 .. 3 ):

₁ = 1.044

₂ = 2.874

₃ = 4.648

Наиболее близкое к  значение _i получается для 1-го ограничения, т.е. I4={1}, J4={0}.

Так как мы имеем дело с неактивным ограничением, то имеет место следующее равенство:

4*х1 + 2*х2 + 0*х3 + 3*х4 + 2*х5 – 6 =50, откуда следует, что прибыль, получаемая от производства по j – той технологии может не покрыть издержки по 1-ому ресурсу. Это значит, что имеет место следующая система неравенств:

.

В связи с этим следует сначала представить неравенства как равенства, а затем добавить искусственный базис.

Получаем следующую систему:

6.1

*

1

+

6

*

2

+

-4

*

у1+

+

4

*

у1-

+

d1

+

q1

=

0

12.2

*

1

+

4

*

2

+

-2

*

у1+

+

2

*

у1-

+

d2

+

q2

=

0

0.8

*

1

+

2

*

2

+

0

*

у1+

+

0

*

у1-

+

d3

+

q3

=

0

0

*

1

+

-4

*

2

+

-3

*

у1+

+

3

*

у1-

+

d4

+

q4

=

0

0.4

*

1

+

5

*

2

+

-2

*

у1+

+

2

*

у1-

+

d5

+

q5

=

0

₁ + ₂ = 1

_к  0, к=1 .. 2

y_i^s  0, iI4

q_i, d_i  0, i = 1 .. 5

Следует отметить, что в данном случае производство по 3-ей тенологии не оказывает никакого эффекта на целевую функцию, поэтому следует исключить из системы уравнение 3.

Получаем следующее решение системы (с учетом влияния остальных неактивных ограничений):

^opt = (0.0781,0.9219), при решении данной системы получили, что d2 и d5 – небазисные и их оценочные коэффициенты нулевые. Учитывая их «физический смысл», не следует рассмартивать данный факт как признак неединственности решения.

Можно продолжить анализ и добавить равенство (см. Приложение 5), которое позволит учесть разницу между необходимым количеством ресурса и фактически располагаемым. Однако, как видится, данное уравнение может ограничить область возможных решений, так как рассаматриваемое ограничение не является активным и подобные равенства могут быть записаны для всех неактивных ограничений и результат может получиться точнее. Полученный же ниже результат будет строго показывать решение при рассмотрении 1-го ограничения как единственного неактивного ограничения.

19.5*₁ +13*₂ – 3*у₁₁+3*у₁₂ = 0.

В этом случае решение системы будет следующим:

^opt = (0,1), однако в этом случае оценочный коэффицент при ₁ равен нулю и можно попробовать решить систему для ₁  min и ₂  min.

Получим, соответственно, ^opt1 = (0,1) и ^opt2 = (1,0), т.е. при одном и том же базисе получили два разных решения для ^opt , что наталкивает на мысль о наличии линейной комбинации в базисном плане, чего, по условию, быть не может. Как кажется, следует из последнего уравнения выразить, например, ₂ и решить систему относительно ₁, однако полученная система не дает решения (ошибка № 70) из-за наличия линейной комбинации в выбранном базисном решении, поэтому не следует рассматривать предложенное выше уравнение.

Получим следующую систему:

-2.9

*

1

+

-2.615

*

у1+

+

2.615

*

у1-

+

d1

+

q1

=

0

6.2

*

1

+

-1.077

*

у1+

+

1.077

*

у1-

+

d2

+

q2

=

0

6

*

1

+

-3.923

*

у1+

+

3.923

*

у1-

+

d4

+

q4

=

0

-7.1

*

1

+

-0.846

*

у1+

+

0.846

*

у1-

+

d5

+

q5

=

0

y_i^s  0, iI4, q_i, d_i  0, i = 1 .. 5

8