1. Восстановление весов частных критериев оптимальности по принятым решениям

В общем случае задача может быть представлена следующим образом:

, где f_k – частные критерии оптимальности, х – вектор-столбец инструментальных переменных, А – технологическая матрица, b – вектор-столбец ограничений ресурсов.

Если считать, что f_k – линейна, т.е. f_k (х) = (с^к)^Тх, то исходная задача может быть представлена в следующем виде:

, где _к – искомые веса частных критериев с^к.

По условию Куна-Такера необходимые и достаточные условия достижения максимума функции в точке х^opt имеют вид:

, где - градиент целевой функции по направлению и , - i – тая нормаль для ограничений A*x  b и , у_i – i-тая двойственная оценка, v_j – неотрицательное число, е – единичная компонента.

Таким образом, получаем следующую систему соотношений:

В результате могут быть получены следующие ситуации:

1. Решение единственно.

2. Множество решений.

3. Пустое множество.

II. Восстановление весов частных критериев по одному наблюдению

REM: см. Приложение 1.

В данном случае система уравнений записывается следующим образом:

Так как у_i могут быть любого знака, то введем у_i = у_i⁺ - у_i^-. Запишем полученную систему в явном виде.

Для этого определим множество I(x^opt), куда войдут ограничения типа А*х^opt=b. Имеем следующие уравнения (для этапа 3):

3	*	0	+	0	*	10	+	1	*	15	+	5	*	0	+	2	*	10	=	35	=	35
4	*	0	+	4	*	10	+	2	*	15	+	3	*	0	+	6	*	10	=	130	=	130
5	*	0	+	2	*	10	+	0	*	15	+	1	*	0	+	4	*	10	=	60	=	60

Таким образом, I={1,2,3}, J={1,4}.

Сама система будет записана следующим образом:

20

*

1

+

10

*

2

+

-3

*

у1+

+

3

*

у1-

+

-4

*

у2+

+

4

*

у2-

+

-5

*

у3+

+

5

*

у3-

+

1

+

q1

=

0

10

*

1

+

70

*

2

+

0

*

у1+

+

0

*

у1-

+

-4

*

у2+

+

4

*

у2-

+

-2

*

у3+

+

2

*

у3-

+

q2

=

0

10

*

1

+

20

*

2

+

-1

*

у1+

+

1

*

у1-

+

-2

*

у2+

+

2

*

у2-

+

0

*

у3+

+

0

*

у3-

+

q3

=

0

15

*

1

+

10

*

2

+

-5

*

у1+

+

5

*

у1-

+

-3

*

у2+

+

3

*

у2-

+

-1

*

у3+

+

1

*

у3-

+

4

+

q4

=

0

30

*

1

+

70

*

2

+

-2

*

у1+

+

2

*

у1-

+

-6

*

у2+

+

6

*

у2-

+

-4

*

у3+

+

4

*

у3-

+

q5

=

0

₁ + ₂ = 1

_к  0, к=1,2

y_i^s  0, iI

_j  0, jJ

Следует учесть, что в результате решения может быть получено множество решений для _к. Условием не единственности полученного решения является наличие небазисной переменной, для которой оценочный коэффициент равен нулю, т.е. внесение этой переменной в базис не повлияет на значение целевой функции. В рассматриваемой системе предлагается использовать следующую логику рассуждений для определения иных базисных решений:

появление в решении небазисных переменных с равными нулю оценочными коэффициентами свидетельствует, как уже было описано выше, о наличии других решений системы;

признаками принадлежности исходного решения базисному (опорному плану) являются _j , причем _j = 0 – переменная базисная, _j > 0 – переменная не базисная;

на основе выше сказанного, переход от одного базисного решения к другому предлагается осуществлять простым исключением (приравниванием нулю) какого-либо значения _j из предлагаемой и системы, тем самым, включая соответствующий x_j в базис;

критерием включения того или иного х_j в базис будет отсутствие в базисе искусственно введенных переменных q_i , так как по условию они должны быть исключены из опорного плана (_j в этом случае должно на себя оттягивать любое значение с q_i), и, следовательно, включать соответствующую j - тую технологию в первоначальный оптимальный план нельзя.

Таким образом, в результате проведенного анализа может быть получено множество  такое, что , 0    1.

Используя предложенный способ анализа в пакете линейного программиования BLP 88, были получены следующие результаты:

1. ₁¹ = 0.7143, ₂¹ = 0.2857, при ₁ = 12.14, ₄ = 6.43 и невошедших в базисное решение y11 и у12, т.е. опорный план (х₂,х₃,х₅) ;

2. ₁² = 0.6154, ₂² = 0.3846, при ₁ = 11.15 и не вошедшим в базисное решение ₄ , т.е. опорный план (х₂,х₃,х₄,х₅).

Тогда искомое решение будет представлено следующим образом: