Постановка задачи принятия решений
Сформулируем многокритериальную задачу принятия управленческого решения.
Дано:
Группа из пяти альтернатив (проект А, проект Б, проект В, проект Г, проект Д) и шести критериев (привлекательность региона, конкурентная привлекательность рынка, объем рынка, оценка поставщиков, привлекательность условий доступа к торговой сети, привлекательность условий создания торговой сети), предназначенных для оценки альтернатив. Каждая из альтернатив имеет оценку по каждому из критериев, полученную на основании экспертного оценивания.
Требуется:
Выбрать наилучшую из заданных альтернатив, при которой достигается наиболее предпочтительный, с точки зрения ЛПР, компромисс между рассматриваемыми критериями.
Процесс принятия решения
Как известно, в процессе принятия решения можно выделить следующие этапы: поиск информации, нахождение альтернатив, выбор наилучшей альтернативы.
В данной работе первые два этапа предполагаются уже выполненными (сотрудниками компании была собрана необходимая информация и определены допустимые альтернативы). Опишем реализацию третьего этапа с помощью метода анализа иерархий.
Описание метода анализа иерархий
Метод анализа иерархий является систематической процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений ЛПР по парным сравнениям, выражающихся затем численно. Метод включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.
Решение проблемы есть процесс поэтапного установления приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные элементы проблемы; на втором этапе выявляется наилучший способ проверки наблюдений, производятся испытания и определяются оценки элементов; на третьем этапе вырабатывается способ применения решения и оценивается его качество. Весь процесс подвергается проверке и переосмысливанию до тех пор, пока не будет уверенности, что процесс охватил все важные характеристики, необходимые для представления и решения проблемы.
Смысл вычислений заключается в том, что они определяют способ количественного определения важности факторов в проблемной ситуации. На факторах с наибольшими величинами важности будет сконцентрировано внимание при решении проблемы.
Этапы метода анализа иерархий
Этап 1
Описание проблемы и определение требований к решению.
Этап 2
Построение иерархии. Иерархия строится с вершины (цели, определенные ЛПР) через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят последующие уровни) к самому низкому уровню (перечень альтернатив). Схема построения иерархии приведена на рис. 2.
Целью построения иерархии является получение приоритетов элементов на последнем уровне, наилучшим образом отражающих относительное воздействие на вершину иерархии. При построении необходимо выполнение закона иерархической непрерывности, который требует чтобы элементы нижнего уровня иерархии были сравнимы попарно по отношению к элементам следующего уровня и т.д. вплоть до вершины иерархии (таким образом, закон иерархической непрерывности обеспечивает связь между уровнями). В методе анализа иерархий требуется структурирование проблемы ЛПР в процессе решения. Необходимо, что бы критерии и альтернативы отражали весь диапазон предпочтений и восприятия ЛПР. В полной простой иерархии (иерархии, построенные в виде дерева с одной вершиной, в которых каждый элемент заданного уровня функционирует как критерий для всех элементов нижестоящего уровня) любой элемент воздействует на каждый элемент примыкающего сверху уровня.
Этап 3
Построение матриц парных сравнений. Для каждого из нижних уровней строится по одной матрице соответствующей каждому элементу, примыкающего сверху уровня. Элементы любого уровня сравниваются друг с другом относительно их воздействия на каждый элемент примыкающего сверху уровня. Попарные сравнения элементов производятся в терминах доминирования одного элемента над другим с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, представленной в таблице 7.
Если из двух сравниваемых элементов одного уровня первый элемент важнее второго по отношению к элементу вышестоящего уровня, то используется целое число из представленной шкалы, в противном случае используется обратная величина. При сравнении элемента с самим собой отношение равно единице. Отметим, что при сравнении относительной важности i-го элемента сj-м, полученное значение присваивается элементу матрицы с индексомij. Таким образом, получаем квадратные обратно симметричные матрицы суждений, которые выражаются в числах. Для получения каждой матрицы требуется произвести (n2-n)/2 оценок.
Например, при построении матрицы для элементов второго уровня представленной иерархии (рис. 2) лицу, принимающему решение, следует задавать вопрос о том, какой из двух сравниваемых критериев считается более важным и насколько, по отношению к цели. При построении матрицы для элементов третьего уровня, ЛПР следует спрашивать о том, какая из сравниваемых альтернатив более желательна и насколько, по отношению к определенному критерию.
Таблица 7: шкала относительной важности для попарных сравнений
|
Относительная важность |
Определение |
Объяснения |
|
1 |
Равная важность |
Равный вклад двух элементов
|
|
3 |
Умеренное превосходство |
Опыт и суждения дают легкое превосходство одному элементу над другим |
|
5 |
Существенное или сильное превосходство |
Опыт и суждения дают сильное превосходство одному элементу над другим |
|
7 |
Значительное превосходство |
Одному элементу дается настолько сильное превосходство, что оно становится практически значительным |
|
9 |
Очень сильное превосходство |
Очевидность превосходства одного элемента над другим подтверждается наиболее сильно |
|
2, 4, 6, 8 |
Промежуточная оценка между двумя соседними суждениями |
Применяются в компромиссном случае |
|
Обратная величина |
Обратная величина приведенных выше чисел |
Если при сравнении двух элементов получена одна из вышеуказанных оценок, то при сравнении этих же элементов, но в обратном порядке, применяется обратная величина |
Этап 4
Вычисление собственных векторов для каждой матрицы. Оценки компонент собственного вектора производятся с помощью процедуры вычисления величины среднего геометрического элементов каждой строки матрицы. После этого определяется вектор приоритетов, для чего полученные значения элементов собственного вектора нормируются.
Из группы матриц парных сравнений формируется набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.
Подход, основанный на собственном векторе, использует информацию, которая содержится в любой, даже несогласованной матрице, и позволяет получать приоритеты, основанные на имеющейся информации, не производя арифметических преобразований данных.
Этап 5
Определение согласованности. Для каждой матрицы попарных сравнений рассчитываем индекс согласованности. По каждому столбцу матрицы определяется сумма элементов. Полученные таким образом суммы представляются в виде элементов вектора-строки. Произведение этого вектора-строки на нормированный вектор-столбец приоритетов дает собственное значение и обозначается как max. Индекс согласованности рассчитывается, как ИС=(max-n)/(n-1). Проверяем полученный индекс согласованности с помощью отношения согласованности. Отношение согласованности (ОС) рассчитывается как отношение индекса согласованности к случайной согласованности матрицы того же порядка (таблица 8). Величина ОС не должна превышать 10% – 20%.
Индекс согласованности дает информацию
о степени нарушения численной
(кардинальной,
)
и транзитивной (порядковой) согласованности.
Таблица 8: средние согласованности для случайных обратносимметричных матриц
|
Размер матрицы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Случайная согласованность |
0 |
0 |
0.58 |
0.90 |
1.12 |
1.24 |
1.32 |
1.41 |
1.45 |
1.49 |
Этап 6
Иерархический синтез приоритетов. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. Вес единственной цели самого верхнего уровня равен единице. Это дает глобальный (составной) приоритет того элемента, который затем используется для взвешивания локальных приоритетов элементов, расположенных уровнем ниже.
Этап 7
Проверка согласованности всей иерархии. Согласованность всей иерархии определяется как сумма произведений индексов согласованности на приоритеты соответствующих критериев. Отношение согласованности рассчитывается как отношение полученного таким образом индекса согласованности к случайному индексу согласованности (соответствующему размерности каждой взвешенной приоритетами матрицы) (таблица 8). Величина ОС не должна превышать 10%.
Проверка критериев на независимость по предпочтению
Следует проверить возможную зависимость критериев по предпочтению.
Два критерия независимы по предпочтениям от других критериев, если порядок предпочтения для комбинации принимаемых ими значений не зависит от фиксированных уровней других критериев.
Обозначим критерии в соответствии с тем порядком, в котором они были представлены ранее. Привлекательность региона (К1), конкурентная привлекательность рынка (К2), объем рынка (К3), оценка поставщиков (К4), привлекательность условий доступа к торговой сети (К5), привлекательность условий создания торговой сети (К6).
Рассмотрим сначала пару критериев К1 и К2. Зафиксируем значения остальных критериев на их худших уровнях. Определим с помощью ЛПР какая из двух альтернатив А1(3,1,1,1,1,1) или А2(1,3,1,1,1,1) для него более предпочтительней. Получили ответ, что А1 предпочтительнее А2. Это свидетельствует о том, что для данного ЛПР критерий привлекательности региона более важен, чем критерий конкурентной привлекательности рынка. Далее определим такую точку на шкале критерия К1, при которой варианты А1(3,1,1,1,1,1) и А3(Х,3,1,1,1,1) имеют одинаковую предпочтительность. Получили ответ, что Х=2. Точно такой же поиск точки безразличия выполним при условии, что оставшиеся критерии находятся на их лучших уровнях. Спросим у ЛПР какая из двух альтернатив А4(3,1,3,3,3,3) или А5(1,3,3,3,3,3) для него более предпочтительней. Получили ответ, что А4 предпочтительнее А5. Определим такую точку на шкале критерия К1 при которой варианты А4(3,1,3,3,3,3) и А6(У,3,3,3,3,3) равноценны. Получили ответ, что У=2. Описанная процедура была проведена для каждого ЛПР. В качестве значений фиксированных уровней также принимались и промежуточные точки между максимальными и минимальными оценками по шкалам. Во всех случаях наблюдалось совпадение результатов. Поэтому можно сделать вывод о том, что ценностные соотношения между парой критериев К1 и К2 независимы от уровня других критериев. Таким образом заключаем, что критерии К1 и К2 независимы от других критериев по предпочтению.
Аналогичные проверки были произведены для всех пар критериев (всех возможных комбинаций). После проведения описанных процедур выяснилось, что каждая пара критериев из всех рассмотренных независима по предпочтению по отношению к другим критериям. Отсюда заключаем, что предлагаемые критерии обладают свойством независимости по предпочтению.
Применение метода анализа иерархий
Воспользуемся методом анализа иерархий для решения рассматриваемой проблемы. Для этого последовательно выполним процедуры этапов метода, описанные выше.
Уровни иерархии
Цель: наилучшее размещение подразделения.
Критерии:
привлекательность региона,
конкурентная привлекательность рынка,
объем рынка,
оценка поставщиков,
привлекательность условий доступа к торговой сети,
привлекательность условий создания торговой сети.
Альтернативы: проект А, проект Б, проект В, проект Г, проект Д.
Представленные матрицы попарных сравнений заполнены в соответствии с субъективными суждениями ЛПР, на основании их предпочтений, восприятии ограничений и возможностей, с использованием шкалы относительной важности (таблица 7). В связи с тем, что решение о размещении подразделения принимается группой лиц, состоящей из трех человек (обозначим их как ЛПР1, ЛПР2, ЛПР3), матрицы попарных сравнений построены для каждого из них. Агрегирование матриц, полученных от различных ЛПР, произведено с помощью геометрического среднего значения оценок каждого ЛПР (обозначим как ГПР).
Обозначения, приведенные в таблицах:
Критерии: привлекательность региона (К1), конкурентная привлекательность рынка (К2), объем рынка (К3), оценка поставщиков (К4), привлекательность условий доступа к торговой сети (К5), привлекательность условий создания торговой сети (К6).
Альтернативы: проект А (А), проект Б (Б), проект В (В), проект Г (Г), проект Д (Д).
Собственный вектор (СВ).
Вектор приоритетов (ВП).
Собственное значение max(СЗ).
Сумма элементов по каждому столбцу матрицы (Сумма).
Индекс согласованности (ИС).
Отношение согласованности (ОС).
Таблица 9: матрица попарных сравнений критериев для ЛПР1
|
ЛПР1 |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
К5 |
К6 |
|
СВ |
ВП |
|
К1 |
1,00 |
5,00 |
6,00 |
7,00 |
2,00 |
3,00 |
|
3,286 |
0,428 |
|
К2 |
0,20 |
1,00 |
2,00 |
3,00 |
3,00 |
5,00 |
|
1,619 |
0,211 |
|
К3 |
0,17 |
0,50 |
1,00 |
2,00 |
2,00 |
3,00 |
|
1,000 |
0,130 |
|
К4 |
0,14 |
0,33 |
0,50 |
1,00 |
1,00 |
2,00 |
|
0,602 |
0,078 |
|
К5 |
0,50 |
0,33 |
0,50 |
1,00 |
1,00 |
2,00 |
|
0,742 |
0,097 |
|
К6 |
0,33 |
0,20 |
0,33 |
0,50 |
0,50 |
1,00 |
|
0,421 |
0,055 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,34 |
7,37 |
10,33 |
14,50 |
9,50 |
16,00 |
|
СЗ |
6,841 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,168 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,136 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 10: матрица попарных сравнений критериев для ЛПР2
|
ЛПР2 |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
К5 |
К6 |
|
СВ |
ВП |
|
К1 |
1,00 |
4,00 |
3,00 |
5,00 |
0,50 |
3,00 |
|
2,117 |
0,279 |
|
К2 |
0,25 |
1,00 |
3,00 |
2,00 |
0,50 |
1,00 |
|
0,953 |
0,125 |
|
К3 |
0,33 |
0,33 |
1,00 |
5,00 |
0,33 |
2,00 |
|
0,847 |
0,111 |
|
К4 |
0,20 |
0,50 |
0,20 |
1,00 |
0,20 |
1,00 |
|
0,398 |
0,052 |
|
К5 |
2,00 |
2,00 |
3,00 |
5,00 |
1,00 |
6,00 |
|
2,667 |
0,351 |
|
К6 |
0,33 |
1,00 |
0,50 |
2,00 |
0,17 |
1,00 |
|
0,618 |
0,081 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
4,12 |
8,83 |
10,70 |
20,00 |
2,70 |
14,00 |
|
СЗ |
6,581 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,094 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11: матрица попарных сравнений критериев для ЛПР3
|
ЛПР3 |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
К5 |
К6 |
|
СВ |
ВП |
|
К1 |
1,00 |
3,00 |
0,50 |
1,00 |
0,50 |
0,33 |
|
0,794 |
0,105 |
|
К2 |
0,33 |
1,00 |
0,50 |
0,33 |
0,20 |
0,14 |
|
0,342 |
0,045 |
|
К3 |
2,00 |
2,00 |
1,00 |
2,00 |
0,50 |
0,25 |
|
1,000 |
0,133 |
|
К4 |
1,00 |
3,00 |
0,50 |
1,00 |
0,33 |
0,20 |
|
0,681 |
0,090 |
|
К5 |
2,00 |
5,00 |
2,00 |
3,00 |
1,00 |
1,00 |
|
1,979 |
0,263 |
|
К6 |
3,00 |
7,00 |
4,00 |
5,00 |
1,00 |
1,00 |
|
2,737 |
0,363 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
9,33 |
21,00 |
8,50 |
12,33 |
3,53 |
2,93 |
|
СЗ |
6,171 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,034 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,028 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12: матрица попарных сравнений критериев для ГПР
|
ГПР |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
К5 |
К6 |
|
СВ |
ВП |
|
К1 |
1,00 |
3,91 |
2,08 |
3,27 |
0,79 |
1,44 |
|
1,768 |
0,270 |
|
К2 |
0,26 |
1,00 |
1,44 |
1,26 |
0,67 |
0,89 |
|
0,808 |
0,124 |
|
К3 |
0,48 |
0,69 |
1,00 |
2,71 |
0,69 |
1,14 |
|
0,946 |
0,145 |
|
К4 |
0,31 |
0,79 |
0,37 |
1,00 |
0,41 |
0,74 |
|
0,547 |
0,084 |
|
К5 |
1,26 |
1,49 |
1,44 |
2,47 |
1,00 |
2,29 |
|
1,576 |
0,241 |
|
К6 |
0,69 |
1,12 |
0,87 |
1,71 |
0,44 |
1,00 |
|
0,893 |
0,137 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
4,00 |
9,01 |
7,21 |
12,42 |
4,00 |
7,51 |
|
СЗ |
6,265 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,053 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,043 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 13: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К1 для ЛПР1
|
ЛПР1 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
4,00 |
2,00 |
3,00 |
5,00 |
|
2,605 |
0,425 |
|
Б |
0,25 |
1,00 |
0,33 |
0,50 |
2,00 |
|
0,608 |
0,099 |
|
В |
0,50 |
3,00 |
1,00 |
2,00 |
3,00 |
|
1,552 |
0,253 |
|
Г |
0,33 |
2,00 |
0,50 |
1,00 |
2,00 |
|
0,922 |
0,150 |
|
Д |
0,20 |
0,50 |
0,33 |
0,50 |
1,00 |
|
0,441 |
0,072 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,28 |
10,50 |
4,17 |
7,00 |
13,00 |
|
СЗ |
5,057 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,014 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,013 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 14: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К1 для ЛПР2
|
ЛПР2 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
1,00 |
0,50 |
3,00 |
2,00 |
|
1,246 |
0,216 |
|
Б |
1,00 |
1,00 |
0,50 |
2,00 |
2,00 |
|
1,149 |
0,199 |
|
В |
2,00 |
2,00 |
1,00 |
5,00 |
3,00 |
|
2,268 |
0,393 |
|
Г |
0,33 |
0,50 |
0,20 |
1,00 |
1,00 |
|
0,506 |
0,088 |
|
Д |
0,50 |
0,50 |
0,33 |
1,00 |
1,00 |
|
0,608 |
0,105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
4,83 |
5,00 |
2,53 |
12,00 |
9,00 |
|
СЗ |
5,031 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,008 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,007 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К1 для ЛПР3
|
ЛПР3 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
1,00 |
0,50 |
2,00 |
3,00 |
|
1,246 |
0,215 |
|
Б |
1,00 |
1,00 |
0,50 |
2,00 |
3,00 |
|
1,246 |
0,215 |
|
В |
2,00 |
2,00 |
1,00 |
3,00 |
4,00 |
|
2,169 |
0,375 |
|
Г |
0,50 |
0,50 |
0,33 |
1,00 |
2,00 |
|
0,699 |
0,121 |
|
Д |
0,33 |
0,33 |
0,25 |
0,50 |
1,00 |
|
0,425 |
0,073 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
4,83 |
4,83 |
2,58 |
8,50 |
13,00 |
|
СЗ |
5,033 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,008 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,007 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К1 для ГПР
|
ГПР |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
1,59 |
0,79 |
2,62 |
3,11 |
|
1,593 |
0,280 |
|
Б |
0,63 |
1,00 |
0,44 |
1,26 |
2,29 |
|
0,955 |
0,168 |
|
В |
1,26 |
2,29 |
1,00 |
3,11 |
3,30 |
|
1,969 |
0,346 |
|
Г |
0,38 |
0,79 |
0,32 |
1,00 |
1,59 |
|
0,689 |
0,121 |
|
Д |
0,32 |
0,44 |
0,30 |
0,63 |
1,00 |
|
0,485 |
0,085 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
3,59 |
6,11 |
2,86 |
8,62 |
11,29 |
|
СЗ |
5,023 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,006 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,005 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 17: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К2 для ЛПР1
|
ЛПР1 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
0,50 |
0,33 |
0,25 |
0,50 |
|
0,461 |
0,083 |
|
Б |
2,00 |
1,00 |
2,00 |
0,50 |
1,00 |
|
1,149 |
0,206 |
|
В |
3,00 |
0,50 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
|
0,822 |
0,147 |
|
Г |
4,00 |
2,00 |
2,00 |
1,00 |
2,00 |
|
2,000 |
0,358 |
|
Д |
2,00 |
1,00 |
2,00 |
0,50 |
1,00 |
|
1,149 |
0,206 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
12,00 |
5,00 |
7,33 |
2,75 |
5,00 |
|
СЗ |
5,116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,029 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,026 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 18: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К2 для ЛПР2
|
ЛПР2 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
|
0,758 |
0,143 |
|
Б |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
|
0,758 |
0,143 |
|
В |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
|
0,758 |
0,143 |
|
Г |
2,00 |
2,00 |
2,00 |
1,00 |
1,00 |
|
1,516 |
0,286 |
|
Д |
2,00 |
2,00 |
2,00 |
1,00 |
1,00 |
|
1,516 |
0,286 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
7,00 |
7,00 |
7,00 |
3,50 |
3,50 |
|
СЗ |
5,000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,000 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 19: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К2 для ЛПР3
|
ЛПР3 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
0,33 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
|
0,608 |
0,109 |
|
Б |
3,00 |
1,00 |
3,00 |
2,00 |
2,00 |
|
2,048 |
0,368 |
|
В |
1,00 |
0,33 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
|
0,608 |
0,109 |
|
Г |
2,00 |
0,50 |
2,00 |
1,00 |
1,00 |
|
1,149 |
0,207 |
|
Д |
2,00 |
0,50 |
2,00 |
1,00 |
1,00 |
|
1,149 |
0,207 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
9,00 |
2,67 |
9,00 |
5,00 |
5,00 |
|
СЗ |
5,016 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,004 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,004 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 20: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К2 для ГПР
|
ГПР |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
0,55 |
0,69 |
0,40 |
0,50 |
|
0,597 |
0,112 |
|
Б |
1,82 |
1,00 |
1,82 |
0,79 |
1,00 |
|
1,213 |
0,228 |
|
В |
1,44 |
0,55 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
|
0,724 |
0,136 |
|
Г |
2,52 |
1,26 |
2,00 |
1,00 |
1,26 |
|
1,516 |
0,286 |
|
Д |
2,00 |
1,00 |
2,00 |
0,79 |
1,00 |
|
1,260 |
0,237 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
8,78 |
4,36 |
7,51 |
3,48 |
4,26 |
|
СЗ |
5,013 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,003 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,003 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 21: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К3 для ЛПР1
|
ЛПР1 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
2,00 |
1,00 |
3,00 |
5,00 |
|
1,974 |
0,330 |
|
Б |
0,50 |
1,00 |
0,50 |
2,00 |
3,00 |
|
1,084 |
0,181 |
|
В |
1,00 |
2,00 |
1,00 |
3,00 |
4,00 |
|
1,888 |
0,316 |
|
Г |
0,33 |
0,50 |
0,33 |
1,00 |
2,00 |
|
0,644 |
0,108 |
|
Д |
0,20 |
0,33 |
0,25 |
0,50 |
1,00 |
|
0,384 |
0,064 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
3,03 |
5,83 |
3,08 |
9,50 |
15,00 |
|
СЗ |
5,023 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,006 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,005 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 22: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К3 для ЛПР2
|
ЛПР2 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
2,00 |
2,00 |
3,00 |
4,00 |
|
2,169 |
0,385 |
|
Б |
0,50 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
2,00 |
|
0,758 |
0,134 |
|
В |
0,50 |
2,00 |
1,00 |
1,00 |
2,00 |
|
1,149 |
0,204 |
|
Г |
0,33 |
2,00 |
1,00 |
1,00 |
2,00 |
|
1,059 |
0,188 |
|
Д |
0,25 |
0,50 |
0,50 |
0,50 |
1,00 |
|
0,500 |
0,089 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,58 |
7,50 |
5,00 |
6,00 |
11,00 |
|
СЗ |
5,126 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,032 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,028 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 23: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К3 для ЛПР3
|
ЛПР3 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
3,00 |
1,00 |
4,00 |
4,00 |
|
2,169 |
0,368 |
|
Б |
0,33 |
1,00 |
3,00 |
2,00 |
2,00 |
|
1,320 |
0,224 |
|
В |
1,00 |
0,33 |
1,00 |
4,00 |
4,00 |
|
1,398 |
0,237 |
|
Г |
0,25 |
0,50 |
0,25 |
1,00 |
1,00 |
|
0,500 |
0,085 |
|
Д |
0,25 |
0,50 |
0,25 |
1,00 |
1,00 |
|
0,500 |
0,085 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,83 |
5,33 |
5,50 |
12,00 |
12,00 |
|
СЗ |
5,584 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,146 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,130 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 24: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К3 для ГПР
|
ГПР |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
2,29 |
1,26 |
3,30 |
4,31 |
|
2,102 |
0,367 |
|
Б |
0,44 |
1,00 |
0,91 |
1,26 |
2,29 |
|
1,027 |
0,179 |
|
В |
0,79 |
1,10 |
1,00 |
2,29 |
3,17 |
|
1,447 |
0,252 |
|
Г |
0,30 |
0,79 |
0,44 |
1,00 |
1,59 |
|
0,699 |
0,122 |
|
Д |
0,23 |
0,44 |
0,31 |
0,63 |
1,00 |
|
0,458 |
0,080 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,77 |
5,62 |
3,92 |
8,48 |
12,36 |
|
СЗ |
5,031 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,008 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,007 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 25: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К4 для ЛПР1
|
ЛПР1 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
2,00 |
3,00 |
|
1,084 |
0,171 |
|
Б |
2,00 |
1,00 |
1,00 |
4,00 |
6,00 |
|
2,169 |
0,342 |
|
В |
2,00 |
1,00 |
1,00 |
4,00 |
6,00 |
|
2,169 |
0,342 |
|
Г |
0,50 |
0,25 |
0,25 |
1,00 |
2,00 |
|
0,574 |
0,091 |
|
Д |
0,33 |
0,17 |
0,17 |
0,50 |
1,00 |
|
0,341 |
0,054 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
5,83 |
2,92 |
2,92 |
11,50 |
18,00 |
|
СЗ |
5,006 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 26: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К4 для ЛПР2
|
ЛПР2 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
5,00 |
3,00 |
2,00 |
4,00 |
|
2,605 |
0,436 |
|
Б |
0,20 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
1,00 |
|
0,549 |
0,092 |
|
В |
0,33 |
2,00 |
1,00 |
0,50 |
2,00 |
|
0,922 |
0,154 |
|
Г |
0,50 |
2,00 |
2,00 |
1,00 |
2,00 |
|
1,320 |
0,221 |
|
Д |
0,25 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
1,00 |
|
0,574 |
0,096 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,28 |
11,00 |
7,00 |
4,50 |
10,00 |
|
СЗ |
5,046 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,010 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 27: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К4 для ЛПР3
|
ЛПР3 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
3,00 |
0,50 |
2,00 |
4,00 |
|
1,644 |
0,255 |
|
Б |
0,33 |
1,00 |
0,20 |
0,50 |
2,00 |
|
0,582 |
0,090 |
|
В |
2,00 |
5,00 |
1,00 |
4,00 |
5,00 |
|
2,885 |
0,448 |
|
Г |
0,50 |
2,00 |
0,25 |
1,00 |
3,00 |
|
0,944 |
0,147 |
|
Д |
0,25 |
0,50 |
0,20 |
0,33 |
1,00 |
|
0,384 |
0,060 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
4,08 |
11,50 |
2,15 |
7,83 |
15,00 |
|
СЗ |
5,088 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,022 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,020 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 28: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К4 для ГПР
|
ГПР |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
1,96 |
0,91 |
2,00 |
3,63 |
|
1,668 |
0,295 |
|
Б |
0,51 |
1,00 |
0,46 |
1,00 |
2,29 |
|
0,885 |
0,156 |
|
В |
1,10 |
2,15 |
1,00 |
2,00 |
3,91 |
|
1,794 |
0,317 |
|
Г |
0,50 |
1,00 |
0,50 |
1,00 |
2,29 |
|
0,894 |
0,158 |
|
Д |
0,28 |
0,44 |
0,26 |
0,44 |
1,00 |
|
0,422 |
0,075 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
3,39 |
6,55 |
3,13 |
6,44 |
13,13 |
|
СЗ |
5,007 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 29: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К5 для ЛПР1
|
ЛПР1 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
3,00 |
2,00 |
4,00 |
4,00 |
|
2,491 |
0,425 |
|
Б |
0,33 |
1,00 |
2,00 |
2,00 |
2,00 |
|
1,217 |
0,208 |
|
В |
0,50 |
0,50 |
1,00 |
2,00 |
2,00 |
|
1,000 |
0,171 |
|
Г |
0,25 |
0,50 |
0,50 |
1,00 |
1,00 |
|
0,574 |
0,098 |
|
Д |
0,25 |
0,50 |
0,50 |
1,00 |
1,00 |
|
0,574 |
0,098 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,33 |
5,50 |
6,00 |
10,00 |
10,00 |
|
СЗ |
5,121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,030 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,027 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 30: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К5 для ЛПР2
|
ЛПР2 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
4,00 |
2,00 |
3,00 |
5,00 |
|
2,605 |
0,430 |
|
Б |
0,25 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
2,00 |
|
0,660 |
0,109 |
|
В |
0,50 |
2,00 |
1,00 |
2,00 |
3,00 |
|
1,431 |
0,236 |
|
Г |
0,33 |
2,00 |
0,50 |
1,00 |
2,00 |
|
0,922 |
0,152 |
|
Д |
0,20 |
0,50 |
0,33 |
0,50 |
1,00 |
|
0,441 |
0,073 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,28 |
9,50 |
4,33 |
7,00 |
13,00 |
|
СЗ |
5,051 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,013 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,011 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 31: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К5 для ЛПР3
|
ЛПР3 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
5,00 |
3,00 |
2,00 |
4,00 |
|
2,605 |
0,431 |
|
Б |
0,20 |
1,00 |
0,50 |
0,33 |
1,00 |
|
0,506 |
0,084 |
|
В |
0,33 |
2,00 |
1,00 |
0,50 |
2,00 |
|
0,922 |
0,153 |
|
Г |
0,50 |
3,00 |
2,00 |
1,00 |
2,00 |
|
1,431 |
0,237 |
|
Д |
0,25 |
1,00 |
0,50 |
0,50 |
1,00 |
|
0,574 |
0,095 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,28 |
12,00 |
7,00 |
4,33 |
10,00 |
|
СЗ |
5,038 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,009 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 32: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К5 для ГПР
|
ГПР |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
3,91 |
2,29 |
2,88 |
4,31 |
|
2,567 |
0,439 |
|
Б |
0,26 |
1,00 |
0,79 |
0,69 |
1,59 |
|
0,741 |
0,127 |
|
В |
0,44 |
1,26 |
1,00 |
1,26 |
2,29 |
|
1,097 |
0,188 |
|
Г |
0,35 |
1,44 |
0,79 |
1,00 |
1,59 |
|
0,912 |
0,156 |
|
Д |
0,23 |
0,63 |
0,44 |
0,63 |
1,00 |
|
0,526 |
0,090 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,27 |
8,25 |
5,31 |
6,47 |
10,77 |
|
СЗ |
5,020 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,005 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 33: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К6 для ЛПР1
|
ЛПР1 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
5,00 |
2,00 |
3,00 |
5,00 |
|
2,724 |
0,399 |
|
Б |
0,20 |
1,00 |
0,25 |
0,33 |
0,50 |
|
0,384 |
0,056 |
|
В |
0,50 |
4,00 |
1,00 |
6,00 |
7,00 |
|
2,426 |
0,355 |
|
Г |
0,33 |
3,00 |
0,17 |
1,00 |
2,00 |
|
0,803 |
0,118 |
|
Д |
0,20 |
2,00 |
0,14 |
0,50 |
1,00 |
|
0,491 |
0,072 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,23 |
15,00 |
3,56 |
10,83 |
15,50 |
|
СЗ |
5,388 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,097 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,087 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 34: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К6 для ЛПР2
|
ЛПР2 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
2,00 |
0,50 |
3,00 |
4,00 |
|
1,644 |
0,245 |
|
Б |
0,50 |
1,00 |
0,25 |
2,00 |
3,00 |
|
0,944 |
0,141 |
|
В |
2,00 |
4,00 |
1,00 |
6,00 |
7,00 |
|
3,201 |
0,477 |
|
Г |
0,33 |
0,50 |
0,17 |
1,00 |
2,00 |
|
0,561 |
0,084 |
|
Д |
0,25 |
0,33 |
0,14 |
0,50 |
1,00 |
|
0,359 |
0,053 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
4,08 |
7,83 |
2,06 |
12,50 |
17,00 |
|
СЗ |
5,040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,009 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 35: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К6 для ЛПР3
|
ЛПР3 |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
7,00 |
3,00 |
2,00 |
5,00 |
|
2,914 |
0,462 |
|
Б |
0,14 |
1,00 |
0,50 |
0,33 |
0,50 |
|
0,412 |
0,065 |
|
В |
0,33 |
2,00 |
1,00 |
0,50 |
2,00 |
|
0,922 |
0,146 |
|
Г |
0,50 |
3,00 |
2,00 |
1,00 |
2,00 |
|
1,431 |
0,227 |
|
Д |
0,20 |
2,00 |
0,50 |
0,50 |
1,00 |
|
0,631 |
0,100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,18 |
15,00 |
7,00 |
4,33 |
10,50 |
|
СЗ |
5,040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,009 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 36: матрица попарных сравнений альтернатив по критерию К6 для ГПР
|
ГПР |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
СВ |
ВП |
|
А |
1,00 |
4,12 |
1,44 |
2,62 |
4,64 |
|
2,354 |
0,382 |
|
Б |
0,24 |
1,00 |
0,31 |
0,61 |
0,91 |
|
0,531 |
0,086 |
|
В |
0,69 |
3,17 |
1,00 |
2,62 |
4,61 |
|
1,927 |
0,313 |
|
Г |
0,38 |
1,65 |
0,38 |
1,00 |
2,00 |
|
0,864 |
0,140 |
|
Д |
0,22 |
1,10 |
0,22 |
0,50 |
1,00 |
|
0,481 |
0,078 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
2,53 |
11,05 |
3,36 |
7,35 |
13,16 |
|
СЗ |
5,030 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИС |
0,007 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОС |
0,007 |
|
|
|
|
|
|
|
После расчетов локальных приоритетов и их агрегирования выполним иерархический синтез приоритетов. Локальные приоритеты (агрегированные) по каждой альтернативе перемножаются на приоритеты соответствующих критериев и суммируются. Получаем глобальные приоритеты для каждой альтернативы.
|
А |
0,325 |
|
Б |
0,155 |
|
В |
0,261 |
|
Г |
0,156 |
|
Д |
0,103 |
Теперь проверим согласованность всей иерархии. Индекс согласованности всей иерархии определяется как сумма произведений индексов согласованности на приоритеты соответствующих критериев. Отношение согласованности рассчитывается как отношение полученного таким образом индекса согласованности к случайному индексу согласованности, равному 1.12 (при размерности матрицы равной 5).
-
ИС=
0,0055
ОС=
0,0049
Отношение согласованности составляет всего 0.5%, поэтому мы можем судить о высокой степени согласованности построенной иерархии.
Итоговое заключение
В результате проведения последовательности парных сравнений альтернатив получили достаточно согласованные оценки. Отношения согласованности матриц попарных сравнений для каждого из лиц, принимающих решение, не превышает 15%. Для группы лиц, принимающих решение, оно не превышает 5%. Это свидетельствует о достаточно хорошей согласованности мнений у высшего руководства относительно рассматриваемой проблемы.
По результатам расчетов можно сказать о том, что проект А имеет наивысший приоритет. Далее в порядке убывания приоритетов следуют: проект В, проект Г, проект Б, проект Д.
В итоге, решением проблемы, полученным при помощи метода анализа иерархий, следует считать Альтернативу №1. Поэтому при принятии решения о размещении подразделения, высшему руководству компании следует учитывать результаты проведенного анализа, свидетельствующие в пользу проекта А (т.е. размещение подразделения в г.Санкт-Петербург).
Выводы
В результате практического применения метода анализа иерархий можно сделать некоторые выводы относительно его преимуществ и недостатков.
При использовании метода анализа иерархий не требуются точные количественные оценки альтернатив по набору критериев. Это является очень удобным при анализе слабоструктуризованных и неструктурированных проблем, когда большинство или весь набор критериев оценивается качественно. В связи с этим, нет необходимости разрабатывать содержательные шкалы оценок критериев, а сами критерии в высокой степени формализованными. Достаточно лишь иметь уверенность в том, что лицо, принимающее решение, правильно понимает содержательный смысл представленного критерия. Для получения решения задачи от него требуется лишь произвести попарные сравнения, т.е. проранжировать сравниваемые элементы и быть последовательным в своих оценках.
Сложность при применении метода может возникнуть в ситуации, когда число критериев или альтернатив больше семи. Возникают трудности в последовательности и непротиворечивости суждений. Конечно, возможно пересмотреть задачу, пересмотреть набор критериев, провести серию повторяющихся сравнений. Это поможет исследователю еще больше разобраться в проблеме, даст возможность лучше определить систему предпочтений ЛПР. Но в такой ситуации потребуется пересмотреть и возможность использования данного метода. Вполне возможно, что придется отказаться от применения метода анализа иерархий и воспользоваться другим методом.