Расчет характеристик замкнутых стохастических сетей

В данной работе определяются характеристики вычислительной системы, модель замкнутой стохастической сети которой изображена на рис. 3.5. Исходными данными для расчета являются следующие величины:

 вероятности переходов заявок Р_ij из системы S_i в систему S_j;

 среднее время обслуживания заявок в каждой системе _i;

 число каналов в каждой системе K_i;

 число заявок, циркулирующих в сети M.

Все эти значения берутся из таблицы 3.1 согласно номеру варианта, указанного преподавателем. Также для данной стохастической сети известно, что она имеет две одноканальные СМО S₂ и S₃, для которых число каналов равно единице K₂=K₃=1, и две многоканальные СМО. Для системы S₁ число каналов равно К₁=2. Величина K₄ для системы S₄ определяется из таблицы 3.1.

При большом числе систем в сети n и большом количестве циркулирующих в ней заявок M трудоемкость расчетов значительно возрастает, поэтому в данном примере возьмем замкнутую стохастическую сеть, состоящую из двух СМО (n=2), где, например, S₁ моделирует систему «процессор – оперативная память», а S₂ – векторный процессор. Система S₁ является одноканальной системой, а S₂ - многоканальной. В примере для данной сети число циркулирующих заявок принято равным M=3.

Таким образом, исходными данными в примере являются следующие параметры:

 количество систем в сети:	n=2;
 количество каналов в каждой системе:	K1=1, K2=5;
 средняя длительность обслуживания заявок в каждой системе:	1=1,4 с, 2=0,2 с;
 вероятности переходов заявок Рij из системы Si в систему Sj стохастической сети:	P10=0,38, P12=0,62;
 число заявок, циркулирующих в сети:	М=3.

Граф передач для такой стохастической сети имеет вид:

На основе графа построим матрицу вероятностей передач:

С учетом выражения _i=a_i₀ и на основе матрицы переходов получим равенства

.

Выразим значение ₁ через a₁₀  ₀=0,38a₁₀; a₁=1/0,38=2,63.

Выразим значение ₂ через a₂₀  a₂₀=0,622,63₀=1,63₀, a₂=1,63.

Можно проверить полученные значения по выражению ₁=₀+₂, a₁₀=₀+a₂₀  2,63₀=(1+1,63)₀  2,63=2,63. Таким образом, найдены коэффициенты передач a₁ и a₂.

Теперь по выражению (3.18) найдем вероятности состояний Pr(M₁,M₂) сети. Число различных распределений М заявок по n системам |A(M,n)| определяется по (3.17) и равняется |А(3,2)|=4.

Существует всего четыре комбинации нахождения трех заявок в двух системах:

1) в первой системе заявок нет, во второй системе 3 заявки - Pr(0,3);

2) в первой системе 1 заявка, во второй системе 2 заявки - Pr(1,2);

3) в первой системе 2 заявки, во второй системе 1 заявка - Pr(2,1);

4) в первой системе 3 заявки, во второй системе заявок нет - Pr(3,0).

Используя (3.18)

,

составим выражения для расчета вероятностей состояний сети

Для всех этих выражений знаменатель представляет сумму их числителей, поэтому, чтобы найти знаменатель, необходимо вычислить значения числителей каждого выражения и их сложить.

Для одноканальной СМО S₁ множители R₁(0)=R₁(1)=R₁(2)=R₁(3)=1. Для многоканальной СМО S₂ при K₂=5 R_i(M_i) определяется из (3.7)

R₂(0)=1/0!=1, при 0<5;

R₂(1)=1/1!=1, при 1<5;

R₂(2)=1/2!=0,5, при 2<5;

R₂(3)=1/3!=0,166, при 3<5.

Подставляя значения R_i(M_i), a_i, _i в полученные выражения для Pr(M₁,M₂) определим эти величины:

Pr(0,3)= 0,00575/54,537=0,0001054;

Pr(1,2)=0,1955/54,537=0,003584;

Pr(2,1)=4,419/54,537=0,081;

Pr(3,0)=49,91/54,537=0,915.

Для проверки правильности расчетов произведем проверочные действия - сумма вероятностей всех состояний должна быть равна 1:

0,0001054+0,003584+0,081+0,915=0,9998465  1.

Определим коэффициенты загрузки систем S₁ и S₂, рассчитываемые для одноканальной системы S₁ по (3.19) и для многоканальной системы S₂ по (3.20), и среднее число занятых каналов в системе S₂ по (3.21).

Для одноканальной СМО берется сумма вероятностей простоя этой системы, т.е. вероятностей тех состояний, в которых в системе нет заявок. Найденная сумма вероятностей вычитается из единицы. Для рассчитываемой стохастической сети вероятность простоя первой СМО одно - Pr(0,3), поэтому коэффициент загрузки для первой СМО равен

₁=1-Pr(0,3)=1- 0,0001054=0,9998.

Для расчета коэффициента загрузки второй многоканальной СМО используются вероятности всех состояний

.

Для расчетов суммарное значение вероятностей R₂(M₂=r) берется как Pr(M₁,r), так как в сети всего две системы и более одного состояния с числом заявок r в системе S₂ быть не может.

Среднее число занятых каналов для второй СМО равно

.

Можно проверить получившееся значение

.

Теперь определим характеристики систем в сети. Интенсивность потоков для каждой системы равна

₁=₁/₁=0,9998/1,4=0,714 с^-1;

₂=k₂/₂=0,09/0,2=0,45 с^-1.

Исходя из выражений ₁=a₁₀ и ₂=a₂₀, определим интенсивность входного потока и сравним результаты по двум выражениям

₀=₁/a₁=0,714/2,63=0,2715₂/a₂=0,45/1,63=0,2760 с^-1.

Используя (3.22) и (3.23), определим среднее число заявок пребывающих m_i и ожидающих l_i в системе S_i.

m₁=1Pr(1,2)+2Pr(2,1)+3Pr(3,0)=0,003584+20,081+30,915=2,91;

m₂=1Pr(2,1)+2Pr(1,2)+3Pr(0,3)=0,081+20,003584+30,0001054=0,088;

l₁=(3-m₁)Pr(3,0)=(3-2,91)0,915=0,0823;

l₂=(1-m₂)Pr(2,1)+(2-m₂)Pr(1,2)+(3-m₂)Pr(0,3)=(1-0,088)0,081+(2-0,088) 

0,003584+(3-0,88)0,0001054=0,081.

Суммируя величины m₁ и m₂, получаем проверочное значение:

m₁+m₂=2,91+0,88=2,9883=M, что свидетельствует о правильности расчетов.

Определим среднее время пребывания u_j и ожидания _j заявок в системе S_i по (3.24) и (3.25)

u1=m1/1=2,91/0,714=4,07 с;

u2=m2/2=0,088/0,45=0,195 с;

1=l1/1=0,0823/0,714=0,115 с;

2=l2/2=0,081/0,45=0,18 с.

И, наконец, определим среднее время цикла (3.26) для каждой системы S_j:

С1=M/1=3/0,714=4,2 c;

С2=M/2=3/0,45=6,66 c.

Среднее число ожидающих l и пребывающих заявок m, а также средние времена ожидания  и пребывания u заявок для всей замкнутой стохастической сети рассчитывают точно так же, как и для разомкнутых стохастических сетей, используя выражения (3.13)-(3.16):

 среднее число заявок, ожидающих обслуживания в сети

;

 среднее число заявок, пребывающих в сети

;

 среднее время ожидания заявки в сети

;

 среднее время пребывания заявки в сети

.

Для большей наглядности результатов единицей измерения времени обслуживания заявок _i в системах S_i в данной работе взята секунда. Современные компоненты вычислительных систем работают гораздо быстрее, в результате чего реальные значения _i нужно умножить на коэффициент 0,0010,000001. Также интенсивность входного потока ₀ в реальных системах значительно (в 10-10000 раз) превышает значение, взятое в качестве исходных данных в примере.