3.1. Теоретические сведения

Заряд q уединенного проводника и его потенциал пропорциональны друг другу:

q = Сφ. (3.1)

Коэффициент С называют емкостью проводника. Единицей измерения емкости в СИ является Фарад: 1 Ф = 1 Кл/1 В.

При наличии вблизи рассматриваемого проводника А другого про- водника В емкость первого возрастает, так как на В под действием поля проводника А происходит перераспределение зарядов: заряды противоположного знака располагаются ближе к А и в целом происходит уменьшение модуля φ_а. Этот факт используется в специальных устройствах-конденсаторах. Конденсаторы делают в виде двух проводников, расположенных близко друг к другу и называемых обкладками. Обкладкам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое находящимися на них зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора, при этом внешние тела не влияют на его емкость. Такому условию удовлетворяют две параллельные пластины, два коаксиальных цилиндра, две концентрические сферы. Соответственно бывают плоские, сферические и цилиндрические конденсаторы.

Рассмотрим плоский конденсатор. Пусть q₁ и q₂ - заряды пластин: q₁= -q₂; S - площадь каждой пластины; d - расстояние между пластинами. Напряженность поля между обкладками

(3.2)

где ε_о - электрическая постоянная;

ε - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами;

σ = q/S - поверхностная плотность зарядов на пластинах.

Разность потенциалов между обкладками (с учетом знаков)

, (3.3)

где d - расстояние между пластинами.

Таким образом, электрическая емкость плоского конденсатора

(3.4)

Формула (3.4) емкости плоского конденсатора справедлива только при малых значениях расстояния d между пластинами, когда можно пренебречь нарушениями однородности электростатического поля у краев пластин.

Энергию конденсатора определим следующим образом. Для простоты рассмотрим плоский конденсатор, считая ε =1. На каждую пластину действует сила F = q∙Е = q (σ / 2ε_о), где q - заряд одной пластины, Е - поле, созданное другой пластиной. При изменении расстояния от 0 до d над конденсатором совершается работа

Таким образом, заряженный конденсатор обладает энергией:

, (3.5)

или , (3.6)

где V = Sd - объем, ограниченный конденсатором.

С другой стороны, результатом изменения расстояния между пластинками являются то, что теперь в объеме V = Sd имеется электрическое поле Е. Разумно, поэтому поставить вопрос: где локализована энергия конденсатора - на его пластинах или в пространстве между пластинами (т.е. там, где Е ≠ 0)? Оставаясь в рамках электростатики, ответить на этот вопрос невозможно. Однако исследования переменных полей убедительно показывают, что с электрическим полем действительно связана энергия. При этом в расчете на единицу объема она составит в соответствии с формулой (3.6) величину

(3.7)

На рис. 3.1 и 3.2 показано параллельное и последовательное соединения конденсаторов, соответственно.

Рис.3.1 Рис.3.2

При параллельном соединении напряжение на конденсаторе одинаково: U₁ = U₂ = U = φ₁ - φ₂. Общий заряд q = q₁ + q₂ = C₁U + C₂U = = (C₁ + C₂)U = CU. Таким образом, при параллельном соединении общая емкость системы

С = C₁ + C₂ . (3.8)

При последовательном соединении конденсаторы имеют одинаковый заряд q = q₁ = q₂. В этом случае очевидно , откуда

и

(3.9)

В данной лабораторной работе в основу измерения емкости конденсатора положено соотношение (3.10)

Для измерения q применяется баллистический гальванометр, схематически показанный на рис.3.3.

Рис.3.3

Между полюсами постоянного магнита на бронзовой ленточке Б подвешена рамка К, на которую плотно уложены витки измерительной катушки из тонкой проволоки. Бронзовая лента Б одновременно служит токопроводником. Вторым токопроводом является пружина П, свитая из бронзовой ленточки. На нити Б укреплено зеркало М. При прохождении тока через катушку возникает момент сил Ампера, поворачивающий рамку в магнитном поле. Режим работы гальванометра подбирается так, чтобы время прохождения тока через рамку было много мень-

ше периода собственных (крутильных) колебаний рамки. Для увеличения периода колебаний рамки специально увеличивают ее момент инерции J относительно нити подвеса Б. Время прохождения тока равно в данном случае времени разряда конденсатора через измерительную катушку. Оно сравнимо с величиной τ = RC, где R - сопротивление катушки, С - емкость. Обычно τ не превышает сотых долей секунды. Например, при R = 1000 Ом и С = 1 мкФ величина τ = RС = 10^-3 с.

Уравнение движения рамки запишется следующим образом:

(3.11)

где d²α/dt² - угловое ускорение, α - угол поворота рамки, n - число витков, В - индукция магнитного поля в воздушном промежутке между полюсами магнита, S - площадь витка, I - сила протекающего по витку тока. Благодаря большому моменту инерции рамка за время разряда конденсатора t практически не успевает выйти из положения равновесия. Поэтому из уравнения движения рамки (3.11) выведем

(3.12)

где dα /dt - угловая скорость; k = nBS - коэффициент, зависящий от конструктивных особенностей прибора; Q -заряд, прошедший через рамку. Приобретенная рамкой в момент прохождения тока кинетическая энергия расходуется на работу упругих сил

(3.13)

где b - постоянная прибора, α_макс – предельный угол отклонения стрелки гальванометра (угол первого отклонения).

Решая совместно уравнения (3.12) и (3.13), получаем

Q = B α _макс, (3.14)

где - коэффициент пропорциональности – баллистическая постоянная гальванометра.

При этом угол первого отклонения рамки из положения равновесия прямо пропорционален заряду, прошедшему через катушку.

На зеркало З от осветителя падает луч света. Световой зайчик, отражаясь от зеркала, попадает на горизонтальную шкалу.

Рис.3.4

При небольших α смещение зайчика по шкале и заряд также пропорциональны (рис.3.4) друг другу Q = В∙ n, (3.15) где n - смещение зайчика в делениях шкалы; В - баллистическая постоянная гальванометра, численно равная заряду, отклоняющему зайчик на 1 деление шкалы. Взяв известную емкость Сo и определив no при

заданном напряжении U_о, найдем В:

(3.16)

Неизвестную емкость С_x теперь можно определить, задавая U и определяя n:

(3.17)

В частности, при U = U_о, С_x= (n/n_о)С_о.