Лекции Биомеханика / Лекция-07-ч1

БИОМЕХАНИКА

Лекция 7. Биомеханика кровеносно-сосудистой системы.

Часть 1. Реологические свойства крови.

Гемодинамика – наука, изучающая законы движения крови по сосудистой системе. Общие законы течения жидкости, изучаемые гидродинамикой, установлены в рамках классической физики и являются основой для описания гемодинамических процессов в живом организме. Однако, сложная организация реальной системы кровообращения, специфические свойства движущейся крови, механические характеристики кровеносных сосудов и ряд других факторов приводят к значительным трудностям в задаче полного количественного описания движения крови в организме.

Рассмотрим некоторые вопросы гидродинамики.

Связь между скоростью ламинарного течения жидкости и площадью поперечного сечения участка, через который она протекает, выражается формулой:

,

(7.1)

где: υ₁ и υ₂ – скорости течения жидкости в сечениях трубки соответственно S₁ и S₂.

Уравнение (7.1) представляет собой условие неразрывности струи.

Условие неразрывности струи (7.1) выполняется и в реальной гемодинамике. Здесь формулировка этого условия звучит следующим образом: в любом сечении сердечно-сосудистой системы объёмная скорость кровотока одинакова: Q=const. Объёмная скорость (расход) Q – это объём жидкости (V), протекающий через некоторое сечение за единицу времени (t): Q=V/t. Объёмная и линейная скорости течения жидкости связаны очевидным соотношением: Q=υ·S , где S – площадь поперечного сечения потока жидкости. Линейная скорость кровотока измеряется в м/с, а объёмная – в м³/с, л/мин, мл/мин и др.

Как следует из условия неразрывности струи, с увеличением площади сечения сосудистой системы скорость кровотока в её соответствующих участках уменьшается. Так, в покое средняя линейная скорость кровотока в аорте составляет около 0,4-0,5 м/с, а в капиллярах – около 0,5 мм/с. Следовательно, сумма поперечных сечений всех функционирующих капилляров примерно в 800 раз больше площади сечения аорты.

Основным количественным соотношением, описывающим течение идеальной (то есть абсолютно несжимаемой и невязкой) жидкости является уравнение Бернулли:

,

(7.2)

где: p – давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости; ρ – плотность жидкости; υ – скорость потока; h – высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости (начальная точка отсчёта – стенка сосуда, конечная – центр потока); – ускорение свободного падения.

Уравнение (закон) Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной жидкости: сумма энергии давления, кинетической и потенциальной энергии вдоль линии тока при ламинарном течении величина постоянная. Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока. Линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости.

Размерность всех слагаемых – единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости (). Первое слагаемое является работой сил давления, второе и третье слагаемые в уравнении Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Другими словами, полное давление состоит статического (р), динамического () и весового (ρgh) давлений.

Из уравнения Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Отмеченная закономерность выполняется при условии, если стенки сосуда являются жёсткими.

Уравнение Бернулли справедливо в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, т.к. при его выводе не учитывалась работа сил трения. Но его можно успешно применять и для жидкостей с невысокой вязкостью. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местные и распределённые сопротивления.

Кровь рассматривается как идеальная, несжимаемая жидкость с постоянной плотностью. Расход жидкости Q=υ·S=const. Для стационарного потока скорость υ=const. В этих условиях для характеристики движения крови применимо уравнение Бернулли (7.2).

Вязкость жидкости. Между молекулами реальной жидкости всегда существуют силы взаимодействия, которые при её течении проявляются как силы трения, направленные по касательной к поверхности перемещающихся слоев. Эти силы и определяют внутреннее трение, или вязкость, жидкости. Наличие сил внутреннего трения приводит к тому, что различные слои жидкости движутся с различными скоростями.

Вязкость (внутреннее трение) – одно из явлений переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. В результате происходит рассеяние в виде тепла работы, затрачиваемой на это перемещение.

Рис.7.1. Градиент скорости движения слоёв жидкости.

Скорость движущихся слоев вязкой жидкости изменяется от слоя к слою в направлении оси Оx, перпендикулярной направлению течения жидкости. Для частного случая, показанного на рис.7.1, изменение скорости слоев происходит по линейному закону. Количественно величина различий в скоростях движения соседних слоёв жидкости характеризуется градиентом скорости dυ/dx, называемым также скоростью сдвига. Сила трения F_ТР между слоями движущейся жидкости пропорциональна площади соприкосновения S слоёв жидкости и градиенту скорости и определяется формулой (законом) Ньютона:

.

(7.3)

Коэффициент η, зависящий от свойств жидкости и температуры, называют коэффициентом внутреннего трения, или динамическим коэффициентом вязкости, или динамической вязкостью, и часто просто вязкостью жидкости. Единицей вязкости в Международной системе является паскаль-секунда (Па·с). Применяется и внесистемная единица вязкости – пуаз (Пз), причем 1Па·с=10Пз.

В другой формулировке закон Ньютона для течения вязких жидкостей выражается так:

,

(7.4)

где: τ – касательные напряжения, действующие в плоскости соприкосновения соседних слоёв жидкости.

Динамический коэффициент вязкости капельных жидкостей уменьшается с увеличением температуры, и растёт с увеличением давления.

В технике часто приходится иметь дело с величиной ν=η/ρ и эта величина получила название кинематического коэффициента вязкости (единица измерения м²/с). Дольная единица см²/с называется Стокс (Ст). 1 м²/с = 10⁴ cм²/с. Кинематический коэффициент часто указан в сантистоксах (сСт):1 сСт = 1мм²/1c = 10⁻⁶ м²/c.

Жидкости, вязкость η которых не зависит от условий течения, называют ньютоновскими. К ним относятся в основном однородные жидкости, чистые растворители, например вода. Вязкость воды при температуре 20°С составляет 1мПа·c = 1сПз (сантипуаз). Если же вязкость жидкости зависит от градиента скорости, то жидкости называют неньютоновскими. Ими обычно являются жидкости, существенно неоднородные по составу. Типичной неньютоновской жидкостью является кровь, так как она представляет собой взвесь форменных элементов (эритроцитов, лейкоцитов и др.) в плазме. Это значит, что вязкость крови не одинакова в различных участках сосудистой системы и зависит от величины градиентов скоростей, реализующихся при её движении.

Занимаясь исследованием кровообращения, французский врач и физик Пуазейль пришел к необходимости количественного описания процессов течения вязкой жидкости вообще. Им выведена формула для вычисления расхода жидкости, называемая формулой Пуазейля:

,

(7.5)

где: Q – объём жидкости (м³), протекающей за 1 с через участок сосуда длиной 1 м с площадью отверстия S=const, Δр=р₁–р₂ – падение давления, равное разности давлений на входе р₁ и выходе р₂.

Величина

(7.6)

называется гидравлическим сопротивлением. Гидравлическое сопротивление сосуда обладает высокой чувствительностью к радиусу r: небольшое изменение размеров отверстия оказывает сильное влияние на величину гидравлического сопротивления.

При повышении давления, связанном с большими физическими и эмоциональными нагрузками, увеличиваются диаметры сосудов, уменьшается гидравлическое сопротивление, в результате расход крови увеличивается.

Вообще, между законами гидродинамики и законами протекания электрического тока по электрическим цепям существует тесная аналогия. Объёмная скорость течения жидкости Q=V/t является гидродинамическим аналогом силы электрического тока I=q/t. Причиной возникновения электрического тока является разность электрических потенциалов Δφ=φ₁–φ₂ на соответствующем участке цепи, а причиной движения жидкости является разность давлений Δр=р₁–р₂ на участке трубки (сосуда). В законе Ома: I=φ₁–φ₂/R, где величина R – электрическое сопротивление проводника, аналогом которого в законе Пуазейля (7.5) является величина W=8ηl/πr⁴, представляющая собой гидравлическое сопротивление участка трубы или сосуда.

Если от общих законов истечения вязкой жидкости перейти к задачам гемодинамики, то с помощью уравнения Пуазейля можно определить ряд характеристик кровотока. Так, зная объёмную скорость кровотока Q и величину гидравлического сопротивления W сосудов, можно найти величину давления крови в любой точке сосудистой системы: р₂=р₁–QW.

Гидравлическое сопротивление W разветвленного участка сосудистой системы может быть определено по аналогии с расчетом общего электрического сопротивления участка электрической цепи, состоящего из набора отдельных резисторов. При последовательном соединении сосудов (рис.7.2,а) общее сопротивление определяется суммой гидравлических сопротивлений их отдельных участков:

Рис.7.2. а) последовательное сосудистое русло; б) параллельное сосудистое русло.

а при параллельном ветвлении сосудистого русла

(рис.7.2,б) общее сопротивление находится из

уравнения:

Характер течения жидкости – ламинарный или турбулентный – зависит от плотности жидкости ρ, её вязкости η, скорости течения υ, диаметра трубы d, по которой течёт жидкость. Оказывается, что некоторая комбинация этих величин – один безразмерный параметр – может определять условия перехода ламинарного течения жидкости в турбулентное. Таким параметром является критерий гидродинамического подобия – число Рейнольдса (Re):

,

(7.7)

где: – средняя по поперечному сечению скорость, , ρ – плотность жидкости, d – диаметр отверстия.

При стационарном течении вязкой жидкости распределение скоростей в поперечном сечении сосуда имеет параболическую зависимость:

,

(7.8)

где: υ_max – максимальная скорость ламинарного течения в центре сосуда (z=0), z – расстояние от центра сосуда то точки, в которой определяется скорость, в перпендикулярном направлении от центра к стенке сосуда, r – радиус сечения сосуда, для которого определяется эпюра скоростей.

На внутренней поверхности стенки сосуда скорость течения равна нулю (z=r).

Особенности течения крови по кровеносным сосудам.

Физическая структура любого тела – дискретная. Можно рассмотреть движение каждой из молекул или атомов, составляющих тело, на основе законов Ньютона и описать её индивидуальное движение. Тогда совокупность уравнений, записанных для каждой молекулы (атома) тела, даст закон движения тела как континуума частиц. Но такая задача практически невыполнима. Например, в 1 см³ воздуха при комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении содержится около 10²⁰ молекул, для каждой из которых необходимо записать уравнение движения и зафиксировать начальное положение в пространственной системе координат.

Для решения таких задач вводится гипотеза сплошности – представление о том, что материя непрерывным образом заполняет геометрический объём тела. При этом отказываются от рассмотрения молекулярного строения тела, а значит, не учитывают молекулярно-тепловое движение молекул. Следовательно, сплошную среду необходимо искусственно наделить всеми свойствами реальной среды, связанными с хаотическими движениями молекул – тепло- и электропроводностью, диффузией и др. Исследуемый объект условно делится на макрочастицы, содержащие достаточно большое число молекул, плотно прилегающие друг к другу и обладающие всеми свойствами рассматриваемой среды. Неоднородные среды при таком подходе рассматриваются как однородные, но обладающие новыми, интегральными свойствами. Внутренние составляющие – фазы, компоненты – распределены по всему объёму макрочастицы. Это возможно, если характерный размер l структурного уровня среды и расстояние между элементами этого уровня много меньше размера объекта и много меньше расстояния, на котором функции, характеризующие систему, меняются значительно. Тогда можно выделить в образце и рассмотреть малый объём dV такой, что dV<<L³, где L – характерный размер образца, но при этом dV содержит достаточно много молекул, т.е. dV>>l³, где l – средняя длина свободного пробега молекул (для жидкостей и газов) или характерный размер кристаллической решётки (для твёрдых тел) или внутренней структуры (для полимерных материалов, биологических тканей). Тогда dV фактически является точечным элементом и его можно рассматривать как макрочастицу. Однако, с точки зрения движения на молекулярном уровне этот элемент весьма велик и его обобщённые свойства, такие как скорость или плотность содержащегося вещества, можно получить путём усреднения по всем входящим в него молекулам.

В плазме крови есть достаточно крупные молекулы (l_м≈0,03-0,05 мкм) и при её течении даже по капиллярам (d_к≈4 мкм) d_к>>l_м, поэтому плазму крови можно считать сплошной средой и полагать, что масса составляющих её молекул непрерывным образом распределена по объёму сплошной среды.

В крови присутствуют клетки (диаметр эритроцитов d_э≈4 мкм), поэтому кровь можно рассматривать как сплошную среду только при течении по крупным сосудам типа аорты и её главных ответвлений (d_а>2 мм), но при течении в капилляре кровь не является сплошной средой в указанном смысле, поскольку d_э≈d_а.

Кровь представляет суспензию кровяных клеток, взвешенных в плазме. Из общего числа кровяных клеток 93% составляют эритроциты, содержащие гемоглобин. Поэтому реологические свойства крови во многом определяются механическими свойствами и концентрацией эритроцитов.

Течение крови в сосудах определяется градиентом (разностью) давлений: Δр=р₁–р₂. По мере удаления от сердца кровяное давление падает. В артериях течение крови поддерживается работой сердца, в венах – естественными сокращениями мышц. Мышцы сдавливают вены, обеспечивая движение крови по направлению к сердцу. Обратному току крови препятствуют особые структурные образования – клапаны. Суммарная ёмкость вен заметно выше ёмкости артерий, а давление заметно ниже.

Основные особенности течения связаны с малой толщиной стенок вен и сравнительно малой их жёсткостью. Поэтому интенсивность течения крови в значительной степени зависит от внешнего давления. Эти особенности обусловлены тем, что вены, в отличие от артерий, не являются аккумуляторами энергии упругих деформаций.

Особенности течения крови:

1) В артериях имеет место пульсационный режим течения.

2) В крупных сосудах наблюдаются зоны турбулентности, связанные с разветвлениями и резкими изменениями проходного сечения.

3) На вязкость крови заметное влияние оказывает концентрация кровяных клеток, прежде всего эритроцитов.

4) Сеть кровеносных сосудов представляет разветвлённую пространственную систему, которая характеризуется большим разнообразием размеров и форм сосудов.

5) Стенки сосудов являются эластичными, под действием внутреннего давления они растягиваются, причём как в радиальном, так и в продольном направлениях, в результате чего криволинейные участки сосудов изменяют свою начальную кривизну.

Движение крови в организме в основном ламинарное. Однако при определенных условиях кровоток может приобретать и турбулентный характер. Анализ формулы (7.7) позволяет предсказать эти условия. Действительно, турбулентности могут проявляться в полостях сердца (велико значение d). По-видимому, их наличие здесь физиологически целесообразно, поскольку возникающие завихрения приводят к перемешиванию порций крови, поступавших из малого круга кровообращения в левый желудочек сердца и, следовательно, способствуют более равномерному обогащению кислородом крови, выталкиваемой затем в большой круг кровообращения. Сравнительно небольшие завихрения могут возникать в аорте и вблизи клапанов сердца (здесь велико и значение скорости движения крови). При интенсивной физической нагрузке скорость движения крови увеличивается и это может вызвать турбулентности в кровотоке.

Из формулы (7.7) следует также, что с уменьшением вязкости турбулентный характер течения жидкости может проявляться и при меньших скоростях её движения. Поэтому при некоторых патологических процессах, приводящих к аномальному снижению вязкости крови, кровоток в крупных кровеносных сосудах может стать турбулентным. Следует иметь в виду, что значение критического числа Рейнольдса 2300 получено для гладких труб и ньютоновской жидкости. Для крови Re_кр имеет меньшее значение и по различным литературным данным составляет около 900-1600. Кроме того, кровеносный сосуд в ряде случаев нельзя моделировать гладкой трубой. Например, при наличии атеросклеротических бляшек в просвете сосудов имеются локальные сужения, приводящие к возникновению турбулентности при течении крови. Наличие турбулентности в кровотоке может быть обнаружено по шумам, прослушиваемым с помощью фонендоскопа. Турбулентное течение крови по сосудам создает повышенную нагрузку на сердце, что способствует развитию патологических процессов в сердечно-сосудистой системе.

Рис.7.3. Деформация сосуда при возникновении пульсовой волны

При выбросе крови в аорту во время систолы часть кинетической энергии систолического объёма крови переходит в потенциальную энергию упругой деформации стенок аорты (рис.7.3,а). Образуется некоторый временный «резервуар», где запасается часть вытолкнутой желудочком крови. В диастолу проходит обратный процесс – потенциальная энергия деформированной стенки крупного кровеносного сосуда переходит в кинетическую энергию порции крови, создавая дополнительный фактор, способствующий её движению. В каком-то смысле эластичный сосуд как бы «дорабатывает» усилие сердца. Таким образом, выброс крови в аорту сопровождается упругими деформациями её стенок и периодическим изменениями (колебаниями) давления крови на эти стенки. Их источником является периодический выброс крови в аорту при сокращении желудочка сердца. Распространяющиеся далее по сосудистой системе колебания давления крови, сопровождающиеся деформацией стенок сосудов, называют пульсовой волной. Амплитуда пульсаций уменьшается при распространении волны от аорты к периферии (рис.7.4,б и 7.4,в).

Давление (р) на стенки кровеносных сосудов в некоторой точке сосудистой системы зависит от целого ряда параметров: времени (t), расстояния от сердца до данной точки (х), частоты сердечных сокращений (ω), скорости распространения пульсовой волны (υ): р=f(x,t,ω,v,α). Это давление можно представить в виде двух слагаемых: р=р_ср+р(t), где р_ср – давление, обусловленное постоянным средним уровнем кровенаполнения (постоянная составляющая), а р(t) – слагаемое, определяемое пульсовыми колебаниями кровотока.

Колебания давления вызывают и изменения объёма кровенаполнения. Считая кровеносный сосуд упругим резервуаром, связь между объёмом крови (V) в данном участке сосуда в любой момент времени и давлением можно записать: V=V₀+k р(t), где k – коэффициент пропорциональности между давлением и объёмом, характеризующий эластичность сосуда, V₀ – объём полости сосуда при среднем давлении р_ср.

Следует подчеркнуть, что среднее давление р_ср определяется не средним значением ординаты графика, а более сложным образом:

,

(7.9)

где: Т – период пульсовых колебаний, а t – текущее время.

Пульсовые колебания давления имеют довольно сложную форму и аналитическая запись зависимости р=f(x,t,ω,v,α) затруднена. Однако, как и всякий сложный периодический процесс, они могут быть представлены в виде набора гармонических составляющих (разложение в ряд Фурье). Гармонический анализ пульсовых колебаний кровотока, кстати, является одним из важных методов его изучения. Тогда для первой гармонической составляющей давления (p₁) пульсовой волны можно записать достаточно простое выражение:

,

(7.10)

где р₀ – амплитуда пульсовых колебаний, а смысл остальных параметров указан выше.

Подчеркнем, что коэффициент α зависит от свойств кровеносных сосудов и в формуле (7.10) под этой величиной можно понимать некоторое его эффективное значение. Реально, эластичность сосуда изменяется, уменьшаясь с увеличением расстояния от сердца до периферии. Морфологически это обусловлено изменением относительного содержания эластина и коллагена в сосудистой ткани. Так, в общей сонной артерии отношение эластина к коллагену составляет 2:1, а в бедренной артерии – 1:2. С удалением от сердца увеличивается доля гладких мышечных волокон, которые в артериолах являются уже основной составляющей сосудистой ткани.

Рассмотрим теперь скорость распространения пульсовой волны. В крупных кровеносных сосудах она определяется по формуле Моенса-Кортевега:

,

(7.11)

где: Е – модуль упругости стенки сосуда, h – толщина стенки, d – диаметр сосуда. ρ – плотность крови.

Как видно из формулы (7.11), с увеличением жёсткости сосуда и увеличением толщины его стенки скорость пульсовой волны возрастает. Так, в аорте она равна 4-6 м/с, в артериях мышечного типа 8-12 м/с. В венах, скорость пульсовой волны меньше, и например, в полой вене составляет около 1 м/с. Из этих данных следует, что скорость распространения пульсовой волны намного больше линейной скорости кровотока, в покое не превышающей даже в аорте значение 0,5 м/с.

С возрастом эластичность сосудов человека снижается (модуль упругости растёт), а скорость пульсовой волны возрастает. Она растёт и с увеличением давления. При повышенном давлении сосуд несколько растягивается, становится более «напряженным», и для его дальнейшего растяжения требуется большее усилие.

Распределение давления и скорости кровотока в сосудистой системе.

Само понятие «давление крови», неоднократно употреблявшееся выше, требует некоторых уточнений. В любой точке сосудистой системы давление крови зависти от: а) атмосферного давления; б) гидростатического давления ρgh, обусловленного весом кровяного столба, высотой h и плотностью ρ; в) давления, обеспечиваемого насосной функцией сердца.

Движение крови по сосудистой системе происходит за счёт превышения давления, обусловленного работой сердца, над атмосферным давлением. Именно градиент указанного давления и является движущей силой кровотока.