Простой генетический алгоритм

Эволюционный процесс представляется как способность «лучших» хромосом оказывать большее влияние на состав новой популяции на основе длительного выживания из более многочисленного потомства. Основные этапы эволюционного поиска следующие:

1. Конструируется начальная популяция. Вводится точка отсчета поколений t = 0. Вычисляется приспособленность каждой хромосомы в популяции, а затем средняя приспособленность всей популяции.

2. Устанавливается t= t+1. Производится выбор двух родителей (хромосом) для реализации оператора кроссинговера. Он выполняется случайным образом пропорционально приспособляемости родителей.

3. Формируется генотип потомков. Для этого с заданной вероятностью производится оператор кроссинговера над генотипами выбранных хромосом. Далее с вероятностью 0,5 выбирается один из потомков P_i(t) и сохраняется как член новой популяции. После этого к P_i(t) последовательно применяется оператор инверсии, а затем мутации с заданными вероятностями. Полученный генотип потомка сохраняется как P_k(t).

4. Определяется количество хромосом для исключения их из популяции, чтобы ее размер оставался постоянным. Текущая популяция обновляется заменой отобранных хромосом на потомков P_k(t).

5. Производится определение приспособленности (целевой функции) и пересчет средней приспособленности всей полученной популяции.

6. Если t = t_{заданному}, то переход к 7, если нет, то переход к 2.

7. Конец работы.

Данный алгоритм известен как упрощенный «репродуктивный план Д. Холланда». Заметим, что в практических задачах вместо понятия «приспособленность» используют понятие «целевая функция».

Простой генетический алгоритм (ПГА) был впервые описан Д. Гольдбергом на основе работ Д. Холланда. Его механизм несложен. Предварительно ПГА случайно генерирует популяцию последовательностей – хромосом (альтернативных упорядоченных и неупорядоченных решений). Затем производится копирование последовательности хромосом и перестановка их частей. Далее ПГА реализует множество простых операций к начальной популяции и генерирует новые решения.

ПГА состоит из трех операторов:

• репродукция;

• кроссинговер;

• мутация.

Репродукция– процесс, в котором хромосомы копируются пропорционально значению их ЦФ. Копирование хромосом с «лучшим» значением ЦФ имеет большую вероятность для попадания в следующую генерацию. Рассматривая эволюцию Ч. Дарвина, можно отметить, что оператор репродукции (ОР) является искусственной версией натуральной селекции - «выживание сильнейших». Он представляется в алгоритмической форме различными способами. Самый простой – создать модель «колеса рулетки», в которой каждая хромосома имеет поле, пропорциональное значению ЦФ.

Рассмотрим пример Д. Гольдберга: необходимо найти значение максимума функции f(x)=x²на целочисленном интервале [0, 31]. Традиционными методами можно изменять значения переменной x, пока не получим максимальное значение f(x).

Для объяснения и реализации ПГА построим следующую таблицу:

Номер хромосом	Хромосома (двоичный код)	Десятичный код	Значение ЦФ	Значение ЦФ, в процентах
1	0 1 1 0 0	12	144	16.2
2	1 0 0 0 0	16	256	28.8
3	0 0 1 1 1	7	49	5.5
4	1 0 1 0 1	21	441	49.5

В столбце 2 табл. расположены 4 хромосомы (представленные в двоичном коде), сгенерированные случайным образом. Значение ЦФ для каждой хромосомы (столбец 4) определяется как квадрат значения десятичного кода двоичного числа, которое приведено для хромосом во втором столбце таблицы. Тогда суммарное значение ЦФ всех хромосом равно 890. Для селекции хромосом используется оператор репродукции на основе колеса рулетки. На рисунке поля колеса рулетки соответствуют значению ЦФ каждой хромосомы в процентах. В одной генерации колесо рулетки вращается, и после останова ее указатель определяет хромосому, выбранную для реализации следующего оператора. Очевидно, не всегда хромосома с большим значением ЦФ в результате ОР будет выбрана для дальнейших преобразований.

Будем считать, в рассматриваемом примере, для упрощения, что 16,2=16; 49,5 = 50; 5,5 = 5; 28,8 = 29.

Колесо рулетки для примера

На основе реализации ОР выбираются хромосомы для применения ОК. Оператор кроссинговера, как правило, выполниться в 3 шага, одним из ОК описанным выше. Точка разрыва kвыбирается случайно между 1 и числом равным длине хромосомы минус единица, то есть в интервале (1, L-1). Длина хромосомы L – это число значащих цифр в ее коде. В рассматриваемом примере таблицы длина каждой хромосомы равна пяти (L=5). На основе ОК создаются две новые хромосомы, путем обмена их частей между позициями (k+1) и L соответственно.

Например, рассмотрим хромосомы 1 и 2 из начальной популяции. Пусть k=1. Тогда получим:

P₁0 | 1 1 0 0 До применения оператора кроссинговера

P₂1 | 0 0 0 0,

-----------------

P₁0 0 0 0 0 После применения оператора кроссинговера

P₂1 1 1 0 0.

Работа ПГА начинается с репродукции. Хромосомы для следующей генерации выбираются путем вращения колеса рулетки. В примере колесо рулетки вращается 4 раза. Это число соответствуют мощности начальной популяции.

Величину отношения называют вероятностью выбора копий (хромосом) при реализации оператора репродукции и обозначают:

где f_i(x)значение ЦФ i-й хромосомы в популяции, sum f(x)суммарное значение ЦФ всех хромосом в популяции. Величину также называют нормализованной вероятностью выбора. Ожидаемое число копий

i-й хромосомы после реализации ОР определяются по формуле:

где число анализируемых хромосом, причемN_G включается вN.

Ожидаемое число копий хромосомы P_i, переходящее в следующее поколение, также иногда определяют на основе выражения:

.

где среднее значение ЦФ по всей популяции.

Тогда для рассматриваемого примера, ожидаемое число копий для первой хромосомы из таблицы равно 0,164=0,64 копий, для второй0,294=1,16 копий, для третьей0,054 = 0,2 и наконец для четвертой0,54=2. Используя модель «бросание монеты» можно определить число полученных копий. Например, (см. столбец 7 таблицы) хромосомы P₁и P₂получают 1 копию, хромосома P₄– 2 копии, и хромосома 3 не получает копий. Сравнивая этот результат с ожидаемым числом копий, получаем то, что «лучшие» хромосомы дают большее число копий, «средние» остаются и «плохие» удаляются после реализации оператора репродукции.

№	Начальная популяция	x	f(x)	Значение fi(x)/sum[f(x)]	Ожидаемое число копий	Число полученных копий
1	0 1 1 0 0	12	144	0.16	0.65	1
2	1 0 0 0 0	16	256	0.29	1.15	1
3	0 0 1 1 1	7	49	0.05	0.22	0
4	1 0 1 0 1	21	441	0.5	1.98	2
Суммарное значение ЦФ (sumf(x))			890	1.00	4.00	4
Среднее значение ЦФ			222.5	0.22	0.88	1
Max значение ЦФ			441	0.5	2	2

Для рассматриваемого примера построим таблицу. В столбце 2 приведен вид 4 хромосом после выполнения оператора репродукции. В столбце 3 приведены списки пар хромосом, которые выбраны случайным образом для реализации оператора кроссинговера. В столбце 4 указан номер позиции для точки разреза хромосом. В столбце 5 приведен вид 4 хромосом после выполнения оператора кроссинговера. В столбце 6 приведены значения десятичного кода двоичного числа каждой хромосомы столбца 5. В столбце 7 приведено значение f(x) для каждой из 4 хромосом новой популяции. В строке 5 приведено суммарное значение ЦФ хромосом новой популяции, в строке 6 –среднее значение их ЦФ, а в строке 7- максимальное значение ЦФ хромосомы из новой популяции.

№	Популяция после оператора репродукции	Пары, выбранные случайно	Точка ОК	Новая популяция	x	f(x)
1	0 | 1 1 0 0	1-4	1	0 0 1 0 1	5	25
2	1 0 | 0 0 0	2-3	2	1 0 1 1 1	23	529
3	0 0 | 1 1 1	2-3	2	0 0 0 0 0	0	0
4	1 | 0 1 0 1	1-4	1	1 1 1 0 0	28	784
Sumf(x)	1338
	334.5
Max f(x)	784

Применяя к популяции полученной после реализации оператора репродукции (столбец 2 табл.) оператор кроссинговера, получим новую популяцию хромосом (5 столбец таблицы). В принципе оператор кроссинговера можно применять любое число раз. После проведения одной генерации ПГА улучшились все показатели: среднее и максимальное значение ЦФ.

Далее, согласно схеме выполнения ПГА, реализуется оператор мутации. Существует большое количество видов операторов мутации. Заметим, что эти операторы соответствуют перестановкам элементов внутри заданного множества. Очевидно, что при небольшой длине хромосомы L (порядка 1020) можно выполнить полный перебор за приемлемое время и найти наилучшие решения. При увеличении L до 50200 и выше, полный перебор произвести затруднительно, и необходимы другие механизмы поиска. Здесь как раз и приходит на помощь направленно-случайный поиск, который реализуется на основе ПГА.

Отметим, что глобальный максимум можно было найти еще на этапе реализации кроссинговера. Для этого необходимо было увеличить пространство поиска. Например, если в столбце 5 табл. выбрать хромосомы P₂и P₄и между ними выполнить оператор кроссинговера (точка ОК выбрана случайно и равна 3), то получим:

P₂: 1 0 1 | 1 1 (ЦФ-23)

P₄: 1 1 1 | 0 0 (ЦФ-28)

P₂: 1 0 1 0 0 (ЦФ-20)

P₄: 1 1 1 1 1 (ЦФ-31).

Решение P₄, полученное в результате применения ОК случайным образом, является наилучшим результатом (глобальным оптимумом).

Как отмечалось выше, в генетических алгоритмах можно выделять два основных механизма воспроизводства хромосом:

• потомки являются точными копиями родителей (неполовое воспроизводство без мутации);

• потомки имеют «большие» отличия от родителей.

В генетических алгоритмах в основном используют комбинации этих механизмов. Отметим, что в инженерных задачах начальная популяция может выбираться любым образом, например, моделированием «бросания монеты» (орел = 1, решка = 0). Тогда оператор репродукции выполняется через моделирование движения колеса рулетки. Оператор кроссинговера в задачах вычислительного характера обычно выполняется через двоичное декодирование двух положений монеты. Часто применяют другие типы ОК и другие технологии его выполнения. Вероятность ОК допускается равной Рr(ОК) = 1.0 и меньше, вероятность ОМ допускается равной Рr(ОМ) = 0.01 и больше. В общем случае вероятность применения оператора мутации зависит от знаний о решаемой задаче.

Приведем другой стандартный тип генетического алгоритма, описанный Л.Девисом:

1. Инициализация популяции хромосом.

2. Оценка значения каждой хромосомы в популяции.

3. Создание новых хромосом посредством скрещивания текущих хромосом; применение операторов мутации и рекомбинации.

4. Устранение хромосом из популяции, чтобы освободить место для новых хромосом.

5. Оценка значений новых хромосом и вставка их в популяцию.

6. Если время, заданное на реализацию алгоритма, закончено, то останов и возврат к наилучшей хромосоме, если нет, то переход к 3.

7. Конец работы алгоритма.

Сравнивая описание ПГА Д. Гольдберга, Д. Холланда и Л. Девиса, видно, что в них реализована одна основная идея моделирования эволюции с некоторыми модификациями. Однако заметим, что эти изменения могут существенно влиять на окончательное качество решения.

Приведем пример модифицированного ПГА:

1. Создание начальной популяции решений.

2. Моделирование популяции (определение ЦФ для каждой хромосомы).

3. Пока не проведено необходимое число генераций или не закончилось время, заданное на реализацию алгоритма или не найдено оптимальное значение ЦФ (если оно известно):

а) выбор элементов для репродукции;

Применение:

б) оператора кроссинговера для создания потомков;

в) оператора мутации;

г) оператора инверсии;

д) оператора транспозиции;

е) оператора транслокации;

ж) оператора сегрегации;

з) оператора удаления вершин;

и) оператора вставки вершин;

к) рекомбинация родителей и потомков для создания новой генерации;

л) оператора редукции.

4. Реализация новой генерации.

Новые модификации ГА могут строиться путем объединения, например, пунктов «б – л» или их частичного устранения, или их перестановок, а также на основе применения адаптационных принципов управления эволюционным поиском.

Введение в аксиоматическую теорию генетических алгоритмов

Сформулируем описание генетических алгоритмов в виде научной теории. Отметим, что способ построения научной теории, в основе которой используются исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом, называется аксиоматический метод.Аксиома -положение принимаемое без доказательств в качестве исходного, отправного для данной теории. Основным в нем является метод интерпретаций. Тогда для генетических алгоритмов можно построить следующую базовую теорию.

Пусть каждому исходному понятию и отношению аксиоматической теории ГА поставлен в соответствие некоторый конкретный математический объект. Совокупность таких объектов называется полем интерпретации. Всякому утверждению U теории ГА ставится в соответствие некоторое высказывание U* об элементах поля интерпретации, которое может быть истинным или ложным. Тогда можно сказать, что утверждение U теории ГА соответственно истинно или ложно в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойства сами обычно являются объектом рассмотрения другой теории ПГА, которая в частности может быть аксиоматической. Этот метод позволяет доказывать суждения типа: если теория ГА непротиворечива, то непротиворечива и теория ПГА.

Пусть теория ГА проинтерпретирована в теории ПГА таким образом, что все аксиомы A_i теории ГА интерпретируются истинными суждениями A_i^* теории ПГА. Тогда всякая теорема теории ГА, то есть всякое утверждение А, логически выведенное из аксиом A_i в ГА, интерпретируется в ПГА некоторым утверждением A^*, выводимым в ПГА из интерпретаций A_i^* аксиом A_i и, следовательно, истинным.

Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома А теории ГА не зависит от остальных аксиом этой теории, то есть не выводима из них, и, следовательно, необходима для получения всего объема данной теории, достаточно построить такую интерпретацию ГА, в которой аксиома А была бы ложна, а все остальные аксиомы этой теории истинны. Уточнением понятия аксиоматической теории является понятие формальной системы. Это позволяет представлять математические теории как точные математические объекты и строить общую теорию или метатеорию таких теорий. Всякая формальная система строится как точно очерченный класс выражений – формул, в котором некоторым точным образом выделяется подкласс формул, называемых теоремами данной формальной системе. При этом формулы формальной системы непосредственно не несут в себе содержательного смысла. Их можно строить из произвольных знаков и символов. Общая схема построения произвольной формальной системы ГА такова:

1. Язык системы ГА: аппарат алгебры логики; теория множеств; теория графов, теория алгоритмов, основные положения биологии и теории систем.

   1. Алфавит – перечень элементарных символов системы: двоичный, десятичный, буквенный, Фибоначчи и др.

   2. Правила образования (синтаксис), по которым из элементарных символов строятся формулы теории ГА:

• построение моделей эволюций;

• конструирования популяций;

• построения ЦФ;

• разработки генетических операторов;

• репродукции популяций;

• рекомбинации популяций;

• редукции;

• адаптации.

Последовательность элементарных символов считается формулой тогда и только тогда, когда она может быть построена с помощью правил образования.

2. Аксиомы системы ГА. Выделяется некоторое множество конечных формул, которые называются аксиомами системы. В ГА существует большое число наборов аксиом. Например, базовый набор аксиом следующий:

• Популяция конструируется случайным образом.

• Выполнение оператора репродукции производится на основе «колеса рулетки».

• Обязательное использование операторов кроссинговера и мутации.

• Размер популяции после каждой генерации остается постоянным.

• Размер популяции меняется.

• Число копий (решений), переходящих в следующую генерацию меняется.

• Целевая функция определяется на основе принципа «Выживание сильнейших».

3. Правила вывода ГА. Фиксируется конечная совокупность предикатов П₁, П₂,…, П_kна множестве всех формул системы. Пусть П (x₁,…,x_ni+1) – какой-либо из этих предикатов (n_i0) если, для данных формулF₁,…,F_ni+1утверждение П (F₁,…,F_ni+1 ) истинно, то говорят, что формулаF_ni+1 непосредственно следует из формулF₁,…,F_ni+1по правилу П_i.

Заданием 1,2,3 исчерпывается задание формальной системы ГА как точного математического объекта. При этом степень точности определяется уровнем точности задания алфавита, правил образования и правил вывода. Выводом системы ГА называется всякая конечная последовательность формул, в которой каждая формула либо является аксиомой системы ГА, либо непосредственно следует из каких-либо предшествующих ей (этой последовательности) формул по одному из правил вывода П_iсистемы.

Всякую конкретную математическую теорию ГА можно перевести на язык подходящей формальной системы таким образом, что каждое ложное или истинное предложение теории ГА выражается некоторой формулой системы. Метод интерпретаций позволяет устанавливать факт относительной непротиворечивости, то есть доказывать суждения типа: «если теория ГА непротиворечива, то непротиворечива и теория ПГА». В общем случае, проблема непротиворечивости не решена и является одной из основных в математике.

Предлагается ряд основных стратегий взаимодействия методов эволюционного и локального поиска:

• «поиск – эволюция»;

• «эволюция – поиск»;

• «поиск – эволюция - поиск»;

• «эволюция – поиск - эволюция».

Заметим, что иерархически можно строить стратегии такого типа любого уровня сложности. Например, «эволюция – поиск – эволюция - поиск – эволюция - поиск» и т.д. Отметим, что такое построение зависит от наличия вычислительных ресурсов и времени, заданного на получения окончательного решения.

В первом случае любым из описанных алгоритмов поиска или их комбинаций определяется одно или пара альтернативных решений задачи. На основе этих решений строится популяция, к которой применяется одна из схем эволюции. Далее процесс продолжается итерационно до достижения критерия остановки.

Во втором случае конструируется популяция и реализуется одна из схем эволюции. Лучшее решение анализируется и улучшается (если это возможно) одним из алгоритмов поиска. Далее процесс выполняется, как в первом случае. В остальных случаях процесс поиска результатов выполняется аналогично.

Выводы

Генетические алгоритмы - поисковые алгоритмы, основанные на механизмах натуральной селекции и натуральной генетики. Они являются мощной стратегией выхода из локальных оптимумов. Она заключается в параллельной обработке множества альтернативных решений, концентрируя поиск на наиболее перспективных из них. Причем периодически в каждой итерации можно проводить стохастические изменения в менее перспективных решениях.

Существует четыре основных отличия ГА от оптимизационных методов:

• прямое преобразование кодов;

• поиск из популяции, а не из единственной точки;

• поиск через элементы (слепой поиск);

• поиск, использующий стохастические и модифицированные операторы, а не детерминированные правила.

Использование ГА при решении инженерных задач позволяет уменьшить объем и время вычислений и упростить моделирование функций, сократить число ошибок моделирования.