IDU / IDU_M2_L12_13

Рис. 1

Тогда объем

Vi

части Mi

тела, расположенной между плоскостями

x = xi−1

и

x = xi

в силу сделанного выше предположения о проекциях сечений тела M при

достаточно малом диаметре разбиения (*) удовлетворяет неравенству

S(ηi)Δxi 6 Vi 6 S(ξi)Δxi ,

где

S(ηi)

и S(ξi)

− соответственно минимальное и максимальное значение функции

S(x) на отрезке

[xi−1, xi]; здесь мы предполагаем дополнительно, что S(x)

непрерывна

на

[a, b].

Геометрический смысл величин

S(ηi)Δxi и S(ξi)Δxi очевиден - это объемы прямых

V = Z

b

n

S(x)dx ,

где V = i=1

Vi − объем тела M.

a

X

V + π Za

b

f2(x)dx.

Пример. Найти объем эллипсоида

x2 y2

z2

S(x) = πbc 1 −

x2

=

πbc

(a2 − x2).

a2

a2

F (t) = Z

t

(x0

(τ))2

+ (y0(τ))2dτ,

a

p

t

S(t) = Z

(x0(τ))2

+ (y0

(τ))2dτ.

a

p

Поэтому для длины всей кривой имеем формулу

b

l( ) = Z

(x0(t))2

+ (y0

(t))2dt.

a

p

l( ) = Z

b

1 + (y0(x))2dx.

a

p

Пусть кривая

задана в полярных координатах:

r = r(ϕ), α 6 ϕ 6 β.

Тогда

x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, α 6 ϕ 6 β;

p

p

β

l( ) = Z

(r0

(ϕ))2 + r2

(ϕ)dϕ.

Отметим еще формулу

α

p

l( ) = Z

b

(x0(t))2

+ (y0(t))2

+ (z0(t))2dt

a

p

для длины пространственной кривой

, заданной уравнениями

x = x(t), y = y(t), z = z(t),

a 6 t 6 b.

Пример. Пусть кривая

задана уравнениями

x = cos t,

y = sin t,

z = ch t,

0 6 t 6 1.

Тогда

1

1

l( ) = Z

Z

sin2 t + cos2 t + sh2 tdt =

1 + sh2 tdt =

0

p

0

p

1

e2 − 1

=

ch tdt = sh t

1

= sh 1 =

.

Z0

|0

2e

n

Xi

y(x

) + y(x

)

µS0 =

2π

i−1

i

(xi − xi−1)2 + (y(xi) − y(xi−1))2.

2

p

=1

Площадью µS поверхности

S,

полученной вращением кривой вокруг оси OX,

называется предел площадей

µS0

при

λ(τ) = maxi xi → 0. Для вычисления этого

µS0 = 2π

n y(xi−1) + y(xi)

1 + (y0

(ξi))2

xi = 2π

n

y(ξi) 1 + (y0

(ξi))2 xi+

Xi

p

X

p

2

=1

i=1

n

y(xi−1)2+ y(xi) − y(ξi) · 1 + (y0

(ξi))2 xi.

( )

+2π i=1

X

p

2π Z

b

y(x)

1 + (y0

(x))2dx.

a

p

|y0(x)| 6 M

для любого

x [a, b].

Поэтому

y(xi−1)2+ y(xi) − y(ξi)

6 |y(xi−1) − y(ξi)|2+ |y(xi) − y(ξi)| =

y0

(η

)(ξ

x

) +

y0

(ξ )(x

i

ξ )

=

|

i

i −

i−1 |

|

i

−

i

|

6 M xi.

2

Пользуясь этой оценкой, получаем

1 + (y0(ξi))2 xi 6 i=1 M√1 + M2

i=1

−

2

− y(ξi)

xi2

6

n

y(xi 1) + y(xi)

n

X

p

X

n

Xi

6 λ(τ)M√1 + M2

xi

= λ(τ)M√1 + M2(b − a) → 0 при λ(τ) → 0.

=1

Поэтому в (*) вторая сумма стремится к нулю при

λ(τ) → 0 и для площади поверхности

вращения имеем формулу

µS = 2π Z

b

y(x) ·

1 + (y0(x))2dx.

a

p

Заметим, что если в этой формуле заменить под знаком интеграла y(x)

на

|y(x)|, то

условие неотрицательности функции

y(x)

можно отбросить.

x2

y2

+

= 1,

a > b.

a2

b2

Имеем

b2

b2

y · y0

y2

= b2 −

x2,

= −

x,

a2

a2

p

2

0

2

p

0

r

− a2

a4

ar

−

a2

b2

x2

+

b4

x2

=

b

a2

− b2

x2.

y 1 + y

2

= y2 + (yy

)2 = b2

a2

a2

−

Отношение

a − b

= ε2,

где

ε

эксцентриситет эллипса, поэтому, учитывая сим-

метричность рассматриваемой поверхности, для искомой площади

µS

получаем такое

выражение (которое преобразовываем с помощью замены

x =

t

):

ε

a

aε

√a2 − t2dt.

µS = 4π a Z0

√a2 − ε2x2 dx = 4π aε Z0

b

b

Используя найденную ранее первообразную

t

a2

t

Z √a2 − t2 dt =

√a2 − t2 +

arcsin

+ C,

получаем отсюда:

2

2

a

aε

b

t

a2

t

0

b

aε

a2

+

√a2 − a2ε2

+

µS = 4π aε

2√a2 − t2

2

arcsin a

= 4π aε

2

2 arcsin ε .

2 a

2

b

2 2

2

2 2

2

2

Т.к. a

−

a ε

= a

−

a

= b ,

то окончательно имеем

a

−

b

abε

a2

arcsin ε = 2πb b +

a

µS = 4π

+

arcsin ε .

aε

2

2

ε

Пусть на отрезке [a, b] задана функция

f(x).

Возьмем разбиение этого отрезка точками

xi = a +

b − a

i,

i = 0, 1, ..., n,

n

на n равных частей и выберем точки

− 2

i

2

n

ξ =

xi + xi−1

= a +

b − a

i

1

,

являющиеся серединами отрезков разбиения.

xi

На каждом отрезке [xi−1, xi]

заменим приближенно интеграл

xZ

f(x)dx интегралом

i−1

xi

xZ

(Ax2 + Bx + C)dx

( )

i−1

от квадратичной функции, график которой проходит через точки

(xi−1, f(xi−1)),

(ξi, f(ξi)),

(xi, f(xi)).

Непосредственное нахождение коэффициентов

A, B, C

связано с громоздкими вычисле-

замену переменной x = t + ξi.

Тогда получим интеграл

η

At˜

2 + Bt˜ + C˜ dt,

где η = 2

xi,

Z

1

−η

˜ 2

˜

˜

2

+ B(t + ξi) + C.

At + Bt + C = A(t + ξi)

Подставляя в последнее равенство вместо

t

последовательно числа

−η, 0,

η,

получаем

такую систему уравнений для нахождения коэффициентов

˜

˜

˜

A, B и C :

˜ 2

−

˜

˜

)

Aη

Bη + C = f(x

i−1

C˜ = f(ξi)

Aη˜ 2 + Bη˜ + C˜ = f(xi).

Используя специфику этой системы

,

легко находим что

,

A˜ =

f(xi−1) + f(xi) − 2f(ξi)

,

2η2

B˜ =

f(xi) − f(xi−1)

, C˜ = f(ξi).

2η

Поэтому последний интеграл равен

A˜

t3

t2

η

f

(

x

) + f(x

)

−

2f(ξ

)

η3

i−1

+ B˜

+ Ct˜

= 2 ·

i

i

·

+ 2f(ξi)η =

3

2

η

2η2

3

−

f(xi−1) + f(xi) + 4f(ξi)

·

f(xi−1) + f(xi) + 4f(ξi)

=

3

η =

6

xi.

Таково же и значение интеграла (*),

из которого вычисленный интеграл был получен

Za

b

заменой переменной.

Для исходного интеграла

f(x)dx

получаем теперь такую при-

ближенную формулу:

b

n

Z

xi

f(x)dx ≈

(f(xi−1) + f(xi) + 4f(ξi)) =

6

i=1

a

X

=

b − a

f(a) + f(b) + 2

n−1

f(x

) + 4

n

f(ξ ) ,

6n

=1

i

i=1

i

!