LA и FNP / FNP-10

Определение 10.1. Линейную относительно

x часть полного приращения функции f(x),

дифференцируемой в точке x, т.е. выражение

f0

(x)Δx1 + f0 (x)Δx2

+ . . . + f0

(x)Δxn

(10.1)

x1

x2

xn

df(x) = f0

(x)dx1

+ f0

(x)dx2

+ . . . + f0

(x)dxn.

(10.2)

x1

x2

xn

f(x) = df(x) + α(Δx)| x|,

(10.3)

Пусть на некотором множестве A

n

Rm

→

R, i = 1, n,

Rm определены функции gi: A

причем

(n1(

)

, g

2( )

, . . . , g

n(

x

))

B

R

при x

A

.

Пусть на множестве B задана функция

g

x

x

f: B R → R. Тогда на A определена

31

F (x) = f g1(x), g2(x), . . . , gn(x) .

сложная функция

ÔÍ-12

U(a) точки a = (a1

, a2

, . . . , am) Rm, bi

= gi(a), i = 1, n, и функция f(u1, u2, . . . , un) определе-

Сложную функцию

F (x) часто задают в виде

z = f(u1, u2

, . . . , un), ui

= gi(x1, x2, . . . , xm),

i =

1, n

, вводя дополнительный набор переменных u1,

u2, . . . , un.

Эти переменные называют

промежуточными переменными, подчеркивая роль, которую они играют при задании

сложной функции.

Отметим, что если функции gi(x1, x2, . . . , xm), i =

, определены в некоторой окрестности

1, n

на в окрестности точки b = (b1, b2, . . . , bn) Rn, то в некоторой окрестности U0(a) U(a) точки

является непрерывной в точке a. (

x

) =

g

1(

)

, g

2(

)

, . . . , g

n(

x

) ,

которая

,

согласно теореме

8.6,

ÌÃÒÓ

a определена сложная функция F

f

x

x

Теорема 10.1. Если функции gi(t), i =

, дифференцируемы в точке a R, а функция

1, n

f(u1, u2, . . . , un) дифференцируема в точке b = (b1, b2, . . . , bn), где bi = gi(a), i =

, то в

1, n

некоторой окрестности точки a определена сложная функция F t

f

g

t

, g

t

, . . . , g

t

дифференцируемая в точке a, причем

( ) =

1( )

2

( )

n( ) ,

-12

dF (a)

=

∂f(b)

dg1(a)

+

∂f(b) dg2(a)

+ . . . +

∂f(b)

dgn(a)

.

(10.4)

dt

∂u2

dt

∂u1

dt

∂un

dt

J Условие дифференцируемости функции f в точке b предполагает, что эта функция определена

ÔÍ

в некоторой окрестности U(b, σ) точки b.

Так как функции gi дифференцируемы в точке a,

они определены в некоторой окрестности этой точки и являются непрерывными функциями в

точке a. Значит, согласно определению непрерывности, существует такая окрестность U(a, δ),

σ

в которой определены все функции gi, i = 1, n, и выполняются неравенства |gi(t) − gi(a)| <

√

.

n

ÌÃÒÓ

Тогда для любого t U(a, δ) точка u = (u1, u2, . . . , un), где ui = gi(t), i =

, попадает в

1, n

Пусть t U(a, δ) — произвольная

, ui

= gi(t), i = 1, n, z = f(u1, u2, . . . , un).

< r

2

окрестность U(b, σ), поскольку |u − b|

σ

· n = σ.

Следовательно, в окрестности U(a, δ)

n

определена сложная функция F (t) = f

g1(t), g2(t), . . . , gn(t) .

t = t − a, ui = ui − bi,

точка

Обозначим

z = z − c, где c = f(b). В силу дифференцируемости функций gi в

точке a имеем представление

-12

ui = gi(t) − gi(a) = gi0(a)Δt + αi(Δt)| t|,

(10.5)

где u = u − b, αi(Δt) → 0 при

x → 0.

В силу дифференцируемости f

в точке b имеем

ÔÍ

z = f(u) − f(b) =

fu0 i (b)Δui + β(Δu)|

u|,

(10.6)

аналогичное представление

n

Xi

=1

ÌÃÒÓ

где β(Δu) → 0 при

u → 0. Подставив (10.5) в (10.6), получим

t + γ(Δt)|

t|, (10.7)

n

= i=1 fu0 i (bi)gi0(a)

Xi

n

F (a) = z =

fu0 i (bi) gi0(a)Δt + αi(Δt)| t| + β u |

u| =

v

γ(Δt) =

n

fu0 i (b)αi(Δt) + β

g1(a), g2(a), . . . , gm(a)

n

gi0(a)ν(Δt) + αi(Δt)

2,

i=1

ui=1

X

X

u

значение этой функции при

u = 0. Поэтому можно считать, что β(0) = 0 и что функция

β(Δu) непрерывна при u = 0. Но тогда функция β

g1(a), g2(a), . . . ,

gm(a) непрерывна

при

t = 0, как композиция непрерывных функций. Значит, она является

при

t → 0.

n

ν(Δt)

: |ν(Δt)| = 1.

бесконечно малой

является ограниченной

Отсюда вытекает

,

-

Функция

что функ

ция η(Δt) = r

i=1 gi0(a)ν(Δt) + αi(Δt) 2

ограничена при

t → 0.

Следовательно, произведение

g1(a), g2(aP), . . . ,

.

β

gm(a)

η(Δt) есть бесконечно малая функция при

t → 0, так как пред-

функцией при t → 0. Согласно определению 9.1,

n

(10.7)

означает

,

-

представление

что функ

ция F дифференцируема в точке a. При этом сумма

i=1

fx0 i (bi)gi0(a) является, согласно (10.7),

(10.4). I

линейной частью приращения функции F , т.е. имеет

место равенство

P

причем

1

2

(x), . . . , g

n

1

2

, x

m

), эта функция дифференцируема в точке a,

F (x) = f

g

(x), g

(x) , где x = (x

, x

∂F (a)

∂f(b)

∂g1(a)

∂f(b)

∂g2(a)

∂f(b)

∂gn(a)

=

+

+ . . . +

, k = 1, m.

(10.8)

∂xk

∂u1

∂xk

∂u2

∂xk

∂un ∂xk

Fi(t) = f g1

at(i)

, g2

at(i)

, . . . , gn

at(i)

, at(i)

= (a1, . . . , ai−1, t, ai+1, . . . , am),

I

получаем формулу

(10.8).

разом:

n

∂z

∂z

∂us

∂z

∂u1

∂z

∂u2

∂z

∂un

=

=

+

+ . . . +

, j = 1, m.

(10.9)

Xs

∂xj

∂u1

∂xj ∂u2

∂xj

∂un

∂xj

=1

∂us ∂xj

именно:

∂z

и

∂us

— в точке a, а

∂z

— в точке b.

∂xj

∂xj

∂us

обыкновенной производной. Это должно быть отражено в обозначениях производных:

∂z

=

df

∂u

.

(10.10)

∂xj

du ∂xj

dz

=

∂f

du1

+

∂f

du2

+ . . . +

∂f

dun

.

(10.11)

∂u1

∂u2

∂un

dt

dt

dt

dt

ÔÍ-12

Производную сложной функции z = f(g1(t), g2(t), . . . , gn(t)) (т.е. действительной функции

действительного переменного, получаемой через несколько промежуточных переменных), вы-

числяемую в соответствии с формулой (10.11), называют полной производной функции

f(g1(t), g2(t), . . . , gn(t)).

Пример 10.1. У сложной функции y(u, v), u = u(t), v = v(t), один аргумент t, как и у

функций u(t) и v(t) (т.е. в данном случае m = 1). Согласно (10.4), находим

ÌÃÒÓ

dy(t)

=

∂y(u, v) du(t)

+

∂y(u, v)

dv(t)

,

dt

∂u

dt

∂v

dt

где частные производные

∂y(u, v)

и

∂y(u, v)

вычисляются в точке u = u(t), v = v(t).

∂u

∂v

Пусть z = g(u) — функция одного переменного u, а u = f(x, y) — функция двух переменных

x и y.

Тогда z есть сложная функция переменных x и y:

z =

z(x, y)

= g(f(x, y)), причем

12

u — единственное промежуточное переменное. В данном случае m = 2, n = 1 и мы имеем две

формулы вида (10.8):

∂z(x, y) dg(u) ∂f(x, y)

∂z(x, y) dg(u) ∂f(x, y)

-

ÔÍ

∂x

=

du

∂x

,

∂y

=

du

∂y

,

где производная

dg(u)

вычисляется в точке u = f(x, y).

du

ÌÃÒÓ

Пример 10.2. Докажем, что сложная функция двух переменных z(x, t) = g(u), u = x − at,

где g — произвольная дифференцируемая в R функция действительного переменного, является

решением дифференциального уравнения в частных производных первого порядка

∂z

+ a

∂z

= 0.

∂t

∂x

Для этого достаточно убедиться, что заданная функция обращает данное уравнение в тожде-

-12

ство.

Поскольку z(x, t) удовлетворяет условиям теоремы 10.1,

то при вычислении частных

производных zt0(x, t) и zx0 (x, t) можно воспользоваться цепным правилом, согласно которому

∂z(x, t)

=

dg(u)

∂u(x, t)

= g0(u) u=x−at = g0(x − at),

∂x

du

u=x−at

∂x

ÔÍ

∂z(x, t)

dg(u)

∂u(x, t)

∂t

=

du

u=x−at

∂t

=

−ag0(u) u=x−at = −ag0(x − at).

ÌÃÒÓ

Подставляя найденные

частные

производные

в уравнение

, убеждаемся, что в результате оно

обращается в тождество 0 = 0.

Пример 10.3. а. Найдем полную производную сложной функции z = f(t, x, y), x = sin t,

y = cos t, предполагая, что функция нескольких переменных f: R3 → R дифференцируема в R3.

В данном случае промежуточных переменных два, но удобно ввести третье промежуточное

переменное w = t и рассмотреть сложную функцию z = f(w, x, y), w = t, x = sin t, y = cos t.

Используя правило дифференцирования сложной функции, находим

ÔÍ-12

dz

∂f dw

∂f dx

∂f dy

∂f

∂f

−

∂f

=

+

+

=

+

cos t

sin t,

dt

∂w

dt

∂x dt

∂y dt

∂w

∂x

∂y

где частные производные функции f

вычисляются в точке (t, sin t,

cos t).

б.

Найдем частные производные сложной функции z(x, y) = f(u, v, x), u = u(x, y), v =

= v(x, y). Вводя, как и выше, промежуточное переменное w = x и записывая сложную функцию

n

∂df(x)

n n

∂2f(x)

Xj

XX

d(df(x)) =

∂xj

dxj =

j=1 i=1

∂xj∂xi

dxi dxj,

(10.12)

=1

∂

∂

dx1 + . . . +

dxn

∂x1

∂xn

дифференциал k-го порядка функции f Ck удобно записывать в виде

dkf(x) =

∂

∂

k

dx1 + . . . +

dxn

f(x).

(10.13)

∂x1

∂xn

∂xi

m

m

∂xim

∂

dxi

=

∂

dxim,

12-

Пример 10.6. Найдем второй дифференциал сложной функции z = eu + u, u = x2 + y2.

Первый дифференциал этой функции можно найти, используя инвариантность формы записи

ÔÍ

дифференциала. Имеем

dz = d(eu + u) = (eu + 1) du,

где

ÌÃÒÓ

=

4eu x2 + 2eu + 22 dx22+ 8eu xy dxdy + 4eu y2 + 2eu + 2 dy2,

Дальнейшее дифференцирование дает

d2z = d(eu + 1) du + (eu + 1) d2u = eu (du)2 + (eu + 1)d(2x dx + 2y dy) =

= eu (2x dx + 2y dy)2 + (eu + 1)(2 dx2 + 2 dy2) =

12

где u по-прежнему обозначает функцию u(x, y) = x

+ y .

Вычислим, например, второй дифференциал функции в точке x = y = 0. В этой точке

имеем u(0, 0) = 0. Следовательно, в выражение для дифференциала необходимо подставить

-

x = y = u = 0. В результате получаем

ÔÍ

d2z(0, 0) = 4 dx2 + 4 dy2.

Тот же ответ можно получить, вычислив производные второго порядка функции z = ex2+y2 +

ÌÃÒÓ

+x2+y2. Отметим, что дифференциал второго порядка не обладает свойством инвариантности

формы записи даже в случае функций действительного переменного. Если бы это свойство

имело место, мы могли бы записать d2z = zu002 du2 = eudu2.

Но, сравнивая с предыдущими

вычислениями, легко увидеть, что мы при этом теряем слагаемое fu0 d2u, которое в нашем

случае равно (eu + 1)(2 dx + 2 dy) и не обращается в нуль.

ÔÍ-12

10.4. Формула Тейлора

g(t) = g(0) + g0(0)t + g00(0)t2 + . . . + g(m)(0)tm

+ g(m+1)(ϑt)tm+1,

Напомним, что если у действительной функции действительного переменного g(t) в интер-

вале (0, T ) существует конечная производная (m+1)-го порядка, то при любом t [0, T ] имеет

место формула Тейлора (а точнее, формула Маклорена с остаточным членом в форме Ла-

гранжа):