Техника нахождения оценки

Итак, распишем стандартную последовательность действий для получения формулы расчета дисперсии (СКО) функции.

Дана функция . Пусть это будет известное соотношение . Поступаем так.

1. Смотрим, линейна ли функция в данном диапазоне изменений (приближенно подсчитываем). Например, в диапазоне точности измерений(функция есть отрезок прямой в этом диапазоне). Если линейна в пределах предполагаемой оценки точностиSy , то идем дальше, иначе нужно сузить диапазон (уменьшить Sx) или принять во внимание, что полученная оценка будет грубой.

2. Дифференцируем функцию по тем переменным, которые измерены, и для которых известна оценка точности S. Перед дифференцированием, для упрощения, целесообразно функцию прологарифмировать (даже если в ней будут суммы).

Например,

и Логарифмирование приводит к относительным приращением, что упрощает искомую формулу.

Получаем дифференциал

Для логарифма функции дифференциал будет

Рассматриваем дифференциалы как погрешности измерений, настолько малые, что влияние их на значение соответствующих производных не превышает 10% от значения производной, (т.е. производная, вычисленная в точке Х отличается от вычисленной в точках X±S менее, чем на 10%). Т.е. функция на этом участке близка к линейной.

3. Так как дисперсия , то возводим этот дифференциал в квадрат:

Для нашего примера

4. Взяв математические ожидания обеих частей, переходим к дисперсиям. Учитывая, что _, получаем формулу для вычисления искомой оценки дисперсии S_y²: ,

или,где R – матрица коэффициентов корреляции - аргументовx_i и x_j. Для нашего примера.

Если известно, что между какой-либо парой аргументов корреляции нет, т.е. , то соответствующий член формулыисключается. Положим, что корреляция между ошибками определения высотыH и измерения продольных параллаксов р и их разностей р отсутствует (r_Hp=0 и r_Hp=0, но r_pp= 0 ). Тогда дисперсия превышения .

Для оценки стандарта (С.К.О.) достаточно извлечь корень квадратный из вычисленного по этой формуле значения.

Итак, если функцию вектора Х на участке распределения можно отождествить с прямой, то ее оценки у_ср и S_y² вычисляются по (9.1) и (9.2). При последующей обработке можно считать эти оценки функции результатом прямого измерения величины У. Это очень важно, ибо теперь мы можем оценивать другие функции, аргументом которых выступает этот y с его оценкой рассеяния, а о векторе Х можно забыть. Оценив У, мы тем самым перешли к новой СВ.

Такой подход упрощает математическую обработку измерений. Ибо в качестве прямых измерений можем принимать длины отрезков, координаты точек снимков и другие линейные функции прямых измерений (например, ЭВОС). Однако, в любом случае необходимо найти обе оценки, у_ср и S_y², этих функций, а не только y_ср .

Если одновременно оцениваем несколько функций у (например, элементы взаимного ориентирования), то они составляют вектор функций Y. Тогда нужно найти еще и коррелированность этих функций Y.

Следовательно, для вектора функций Y нужны вектор У_ср и ковариационная матрица Ку (или ).