4. Решение слабо обусловленных систем

Улучшение системы есть улучшение ее обусловленности. Истинную обусловленность можно улучшить, улучшая топологию пространственных измерений: нормальность расположения измеряемых элементов измерений (точек, линий), смежность (группировку объектов измерений), взаимную удаленность объектов измерений. Если мы проектируем некоторое стандартное расположение измеряемых точек, то можем рассчитывать, что исходные условия для всех определяемых объектов (стереопара снимков, маршрут, блок снимков) будут одинаковы

Если же оптимальное проектирование невозможно, то можно получить некий выигрыш, используя другие параметры. Правда, это осложнено тем, что технология должна меняться.

И наконец, можно прибегнуть к некоторым вычислительным приемам, позволяющим искусственно улучшить обусловленность решения. Здесь улучшение системы достигается

а) перестановкой элементов (и неизвестных), что равносильно умножению на матрицу, содержащую по единице в каждой строке и каждой колонке,

выбором и нумерацией неизвестных (фототриангуляция: Говоров расскажет)

б) нормированием столбцов матрицы, каждый своей нормой,

в) делением элементов гл. диагонали на некоторые коэффициенты,

г) прибавлением к элементам гл. диагонали некоторых коэффициентов,

Первый путь. Рассмотрим подход (г), как наиболее обещающий улучшение. Так как в природе ничто не исчезает и не возникает из ничего, то это улучшение достигается за счет того, что мы ищем не истинное, но смещенное решение. Но сам м.н.к. дает нам не истинное, а только удовлетворяющее каким-то условиям псевдорешение. К тому же этот метод (м.н.к.) не реагирует на систематические смещения, допущенные при измерениях.

Итак, для увеличения значения каждого из элементов на главной диагонали заменяем на приближенную систему , где обобщенная априорная оценка дисперсии искомых величин,  - эмпирически подбираемый коэффициент.

Этим мы вводим в решение ошибку .

Вы знаете, что низкая обусловленность системы определяется тем, что min крайне мала. Добавка ко всем элементам главной диагонали равного числа приведет к увеличению следа матрицы на k*dn. След есть инвариант, т.е. величина постоянная для данной матрицы.

Тогда . Малый знаменатель возрастает быстрее, поэтому число обусловленности уменьшится. Например, .

В результате нового решения искомое значение смещается на числовой оси на какую-то долю стандарта ее определения. (При =9 , смещение в районе 3S, ибо примерно ( n_ii+9S²)^-1 l_ii; l_ii + члены). Получаем, хотя и смещенное, но правдоподобное решение. Иначе – можем получить корни решения, далекие от истинных. Чтоб смещение было минимально, уменьшаем  до тех пор, пока решение сходится к реальным значениям.

2. Второй путь, о котором говорили выше, - решение систем уравнений поправок без наложения условия м.н.к., т.е. - непосредственно по уравнениям поправок. Только выполнив итерации и найдя параметры, по ним я вычислив более точно коэффициенты уравнений поправок и исключив промахи, применяют м.н.к..

Третий путь - прямые методы со сложными параметрами, без явного геометрического смысла.

Четвертый путь – метод последовательного приближения. Этот связан не с м.н.к., а с решением нелинейной системы, такой какие решаем в фотограмметрии (дробно-линейной, а ныне и дробных полиномов степени выше второй рациональные полиномы). Суть решения в том, что каждый раз, найдя поправки, в параметры вводят не всю найденную поправку, а ее долю, чаще всего, половину поправки. Осуществляется подход к решению уменьшающимися шажками с одной стороны оси вектора параметров.

DIXI. Ревизия 08.10.2003, 22.09.08,.09,10, 2011-09-28 Коршунов

полные большие формулы решения

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Один снимок

Оператор поворота, где параметры поворота

=*;

Координаты

; = *; = *;

Где тангенциальные координаты ; ; ;

Свободные члены уравнений поправок

-; ;

Коэффициенты уравнений поправок (фотограмметрия)

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

где обозначены k=;

; ;

; ;

Уравнения поправок для одной точки:

а) фотограмметрия

б) геодезия ; где ;

Матрица весов P = K^-1 =;

Матрица коэффициентов Уравнений Поправок для одной опорной точки

r1	r2	r3	Xs	Ys	Zs	X	Y	Z
ax	bx	cx	dx	ex	fx	-dx	-ex	-fx
ay	by	cy	dy	ey	fy	-dy	-ey	-fy
						1	0	0
						0	1	0
						0	0	1

Матрица коэффициентов Нормальных Уравнений для одной опорной точки (слайд) (ее верхняя часть, )

	a	b	c	d	e	f	-d	-e	-f
[a	[paa]+2k axay	[pab]+ k(axby+ aybx)	[pac]+ k(axcy+ aycx)	[pad]+ k(axdy+ aydx)	[pae]+ k(axey+ ayex)	[paf]+ k(axfy+ ayfx)	-[pad]- k(axdy+ aydx)	-[pae]- k(axey+ ayex)	-[paf]- k(axfy+ ayfx)
[b		[pbb]+ 2k bxby	[pbc]+ k(bxcy+ bycx)	[pbd]+ k(bxdy+ bydx)	[pbe]+ k(bxey+ byex)	[pbf]+ k(bxfy+ byfx)	-[pbd]- k(bxdy+ bydx)	-[pbe]- k(bxey+ byex)	-[pbf]- k(bxfy+ byfx)
[c			[pcc]+ 2k cxcy	[pcd]+ k(cxdy+ cydx)	[pce]+ k(cxey+ cyex)	[pcf]+ k(cxfy+ cyfx)	-pcd]- k(cxdy+ cydx)	-[pce]- k(cxey+ cyex)	-[pcf]- k(cxfy+ cyfx)
[d				[pdd]+ 2k dxdy	[pde]+ k(dxey+ dyex)	[pdf]+ k(dxfy+ dyfx)	-[pdd]- 2k dxdy	-[pde]- k(dxey+ dyex)	-[pdf]- k(dxfy+ dyfx)
[e					[pee]+ 2k exey	[pef]+ k(exfy+ eyfx)	-ped]- k(exdy+ eydx)	-[pee]- 2k exey	-[pef]- k(exfy+ eyfx)
[f						[pff]+ 2k fxfy	-[pfd]- k(fxdy+ fydx)	-[pfe]- k(fxey+ fyex)	-[pff]- 2k fxfy
[-d							[pdd]+ 2k dxd +Px	-[pde]- k(dxey+ dyex)	-[pdf]- k(dxfy+ dyfx)
[-e								[pee]+ 2k exey +Py	-[pef]- k(exfy+ eyfx)
[-f									[pff]+ 2k fxfy +Pz

Здесь рx, py, k –элементы обратной ковариационной K^-1, Px, Py, Pz =- веса геодезических координат.

Для каждой последующей точки окаймление (-d] -e] -f]) смещается вправо и вниз на три позиции относительно предыдущей. Эта таблица в матричной записи выглядит так .

Матрица N есть сумма всех этих слайдов. Для n точек одного снимка система нормальных уравнений (сумма слайдов) выглядит так

где - поправки параметров;

– поправки к координатам опорных точек;

;

Определитель i-го блока

, (7.13)

где Gx= ; Gy= ; Gz= .