15.2 Оценки подобия двух полей (15.04.98)

Пусть имеются две реализации случайного поля (образа одного участка местности):

Pole – поле, в котором нужно найти участок, подобный (или идентичный) заданному. Например, правый фотоснимок.

Marka – заданный участок, которому нужно найти соответственный в Pole. (Область на левом снимке вокруг точки, указанной курсором).

Априори известно, что такой участок есть, м. б. известны приближенные координаты его центра в Pole.

Для поиска мы можем (а) последовательно перебирать участки по полю, перемещая каждый раз зону поиска на шаг (на пиксел), или же (б) сужать границы поиска, перемещая зону поиска на интервал, гарантирующий захват объекта, в вперед, а затем например, на половину интервала обратно, на четверть вперед и т.д., сжимая таким образом участок поиска, а возможно, и саму зону.

Анализировать можем (а) непосредственно данное поле или, (б) проведя его преобразования (продифференцировав его), или перейдя к разностям значений в смежных пикселях, или же – разделив исходное поле на слои из больших (укрупненных) и мелких (исходных) пикселов, или же - разделив поле на слои, для пиксела в которых записывается не только среднее значение, но и градиенты его изменения.

Затем с любым исходным или преобразованным полем проводим проце-дуру набора статистик подобия, анализируем их и на основе некоторого критерия принимаем решение.

Простейшим критерием может служить экстремум значения статистики.

Так как поиск проводится на значительном участке, и обрабатываются многие тысячи значений, то наряду с общими требованиями к оценкам эти статистки должны отвечать требованию минимума затрат времени.

Итак, при поиске мы сравниваем участок nn с маркой размера nn и находим статистику подобия. Выбираем из поля статистик её экстремальное значение. Соответствующие ему координаты центра участка полагаем искомой точкой.

15.2.1 Характеристики подобия.

Рассмотрим возможные варианты статистик, как применяемых, так и новых потенциально возможных.

Для вычисления статистик можно использовать как исходные значения, так и их функции. Рассмотрим их, начиная с наиболее просто вычисляемых:

Данными для вычисления статистики в точке (i, j) могут служить

исходные значения пикселов вокруг центрального пикселя марки и значения пикселов вокруг точки (i, j) в пределах размера марки. По ним мы можем подсчитывать в точках с равными пиксельными координатами следующие функции.

А. Разность:

d = D_p-D_m (15.1)

Б. Модуль разности или разности модулей:

d=Dp-Dm (15.2)

d=Dp-Dm (15.3)

В. Произведение (или его модуль):

P = D_pD_m (15.4)

Г. Отношение (или его модуль):

Div = D_p/D_m = D_p(D_m)^-1 (15.5)

центрированные (например, средним) значения пикселов, приведенные к некоторому среднему значению на этом участке в пределах размера марки. Можно подсчитать такие элементарные функции:

А. Разность:

D_cp = ( D_p-D_pcp)-(D_m-D_mcp)=(D_p-D_m)-(D_pcp-D_mcp) (15.6)

Б. Модуль разности или разность модулей:

d_cp = (D_p-D_pcp)-(D_m-D_mcp)=D_p-D_pcp-D_m-D_mcp (15.7)

В. Произведение:

P_cp = (D_p-D_pcp)(D_m-D_mcp) (15.8)

Г. Отношение:

P_cp = (D_p-D_pcp)/(D_m-D_mcp) (15.9)

центрированные средним и нормированные стандартом или САО значения пикселов марки и участка в пределах размера марки. Функции будут:

А. Разность:

d_t = (D_p-D_pcp)/S_p(cao)-(D_m-D_mcp)/S_m(cao) (15.10)

Б. Модуль разности или разность модулей:

d_t = (D_p-D_pcp)/S_p-(D_m-D_mcp)/S_m (15.11)

Â. Произведение:

P_cp = D_ptD_mt (15.12)

Г. Отношение:

P_cp = D_pt/D_mt (15.13)

центрированные наклонной средней плоскостью и нормированные стандартом или САО значения пикселов марки и участка в пределах размера марки.

Такой подход в принципе более прогрессивен, так как он учитывает разность градиентов марки и анализируемого участка поля. Однако, для этого надо определять (по полю значений участка) коэффициенты A, B и D плоскости A_i+B_j+D = dD для каждого участка, т. е. три параметра по n² значениям.

К нашему удовлетворению здесь имеются два момента, позволяющие данную процедуру ускорить.

Во-первых, можно заранее разбить все исходное потенциально обследуемое поле на участки размера марки, для которых подсчитать коэффициенты (A, B и D) участка (i, j). Получим еще одно поле, которое по аналогии с фотографией можно назвать полем “нерезкой маски”.

Во-вторых, целочисленные координаты – номера пикселов позволяют для решения по м.н.к. использовать полиномы Чебышева. Это освобождает от всех вычислений, связанных с м.н.к. По сути дела мы создаем фильтр, выделяющий сдвиг D и градиенты по осям A и B. Операции суммирования и произведения по всему участку, безусловно, сохраняются.

Однако при реализации этих двух моментов для каждого нового значения статистики (при каждом сдвиге марки) нужно подсчитывать несколько сумм (для среднего, для CKO, или для СAO). Следовательно, появляется много арифметических операций.

В итоге операции переходим от двух полей к одному полю отношений. Это поле отношений характеризует подобие двух исходных полей.

Данными для вычисления статистики в точке (i, j) могут служить аппроксимирующие поверхности второго и более высокого порядков, соответственно приведенные к ним и нормированные стандартом или САО значения пикселов марки и участка в пределах размера марки. Эта задача наследует все преимущества вышеизложенной статистики. Увеличение числа операций, связанное с вычислением большего числа параметров поверхности, незначительно.

Новые возможности – использование поверхности для отождествления, применение статистических критериев, например, хи-квадрат.

Рассмотрим, какие из возможных характеристик мы можем взять в качестве статистики подобия, и их свойства. В качестве таких характеристик в принципе можно взять :

А. Сумму рассмотренных выше соотношений (разностей, произведений, отношений); начальных, центрированных, нормированных, и нормированных и центрированных. Итого 4 группы по 4-6 видов в каждой группе, т. е. 16-24 типа сумм.

Б. Сумму соотношений, указанных в пунктах 4 и 5 (разностей, произведений, и отношений соответствующих уклонений от аппроксимирующей поверхности).

В. Нормы матриц, образующих поля отношений. (Видимо, некоторые суммы и будут нормами).

Подробно рассмотрим группу А, как наиболее простую.

Анализ отклика в поле отношений для разных характеристик.

Рис. 15.1. Разность при точном совпадении (минимум по всему полю).

поле

фон

b c

марка фон

фон

a d

D_p – D_m

d

b-a c-d c-d

Рис. 15.2. Разность и модули разности. При не совмещённом объекте изменение знака больше d. При полном совмещении и точном совпадении – по всему полю одно постоянное значение.

поле с объектом

марка

D_p – D_m

d

Рис. 15.3 Произведение. Каждая большая (малая) плотность дает свой экстремум. Вследствие наклона он может быть меньше фона произведения. На совпадение указывает минимум числа экстремумов.

поле

марка

произведение

Р

совпадение = min экстремумов

Рис. 15.4 Отношение. Устранение наклона поверхности. Значение экстремумов меняется из-за наклона. Мультипликативная составляющая их сглаживает.

поле

марка

D_p/D_m

совпадение

Модификации характеристик.

Эти характеристики можно использовать в четырех модификациях. Рассмотрим в порядке возрастания объема вычисления:

А. Принять начальные значения плотности D_p – значение плотности снимка в пикселе, D_m - плотность марки в этом же номере пикселя.

Б. Принять центрированные значения:

d_p = D_p-D_pñð, d_m = D_m-D_mñð (15.14)

где D_pñð = D_pi/n²; D_mñð = D_mi/n², i = 1, ..., n.

Рассматривая колебания плотности относительно нуля, видим, что для каждого участка МО будет свое, т. е. вычитается поле математических ожиданий (средняя поверхность).

Принять нормированные значения:

D_pt = D_p/СKO(СAO _Dp) (15.15)

D_mt = D_m/СKO(СAO _Dm) (15.16)

В этом случае большие колебания D уменьшатся, малые увеличатся, т. к. СKO будет меньше.

Все колебания на участке приводят к единой единице (СKO(СAO )).

СKO = (D²/n²)^0.5 (15.17)

Г. Принять нормированные, центрированные значения:

d_pt = (D_p-D_pcp)/СKO(СAO); d_mt = (D_m-D_mcp)/СKO(СAO) (15.18)

В принципе можно было бы вычесть ещё мультипликативную составляющую, наклонение реализации привести к горизонтали. Но наклон есть также признак подобия. Поэтому терять его нецелесообразно.