7.2.4.4. Построение ортогональной системы полиномов

Обратимся к системе нормальных уравнений. В первой строке системы мы имеем (k-1) условие, что =0. Во второй строке повторяется первое условие в силу симметричности системы. Поэтому во второй строке будет только (k-2) новых условий. В третьей - (k-3) и т.д. В-предпоследней одно новое условие, в последней - ни одного. Всего будет (k-1)+(k-2)+…+(k-i)+... +2+1 условий =0.

В полиномах степень возрастает последовательно на единицу. Количество неизвестных коэффициентов b_ij изменяется от 1 до k. Всего будет (1+2+ ... + +k) неизвестных.

Итак, мы получаем на одно условие меньше, чем неизвестных. Поэтому одно условие можем наложить произвольно.

Приступим к построению системы для любых действительных значений x. Произвольно выберем полином нулевой степени. Возьмем самое простое условие, что b₀₀ =0. Так как x⁰ = 1, то P₀-(x)=x⁰ +b₀₀ .

Теперь найдем коэффициенты b_i1 полинома первой степени из условия ортогональности =0.

Возьмем . Тогда , где [x] - сумма всех значений x , а [1]=n. Отсюда .

Следовательно, полином первой степени - это ни что иное, как P₁(x)= x-x_cp .

Если же x представлен натуральным рядом 1, 2, , n, то .

Далее переходим к получению коэффициентов b_i2 полинома второй степени на основе условий ортогональности и . Возьмем . Из условия , где сумма квадратов всех значений x, а [1]=n, находим . Из второго условия находим . Теперь можем написать полином второй степени.

проверить.

Если же x представлен натуральным рядом 1, 2, , n, то

.

Так последовательно находят коэффициенты b_ji и выражения P_i всех полиномов.

7.2.4.5. Аппроксимация ортогональными полиномами Чебышева

Приведем вариант формул вычисления полиномов для счетного x, которое принимает возрастающие на единицу целые значения от 0 до n:

в общем виде

. (7.27)

Отсюда для первых четырех степеней

,

Суммы квадратов полиномов можно вычислить, например, так

, (7.28)

,

,

,

.,

Искомые коэффициенты при полиномах находим согласно (7.26)

a_j = /.

a₀=[y]/n, a₁ =/.,..., a_j = /,...

Затем согласно (7.22) находим искомый полином P(x), представленный суммой ортогональных частных полиномов P_j :

,

а после определения подходящей степени k полинома приводим в нем подобные члены и получаем искомый степенной полином

.

Таким образом, мы можем поднимать на единицу последовательно шаг за шагом степень полинома, причем все предыдущие слагаемые не изменяются.

На какой степени полинома следует остановиться?

Для ограничения степени полинома можно применить критерий Фишера:

если полином j-й степени существенно уменьшает дисперсию уклонений y от полиномных значений y в сравнении с j-1 степенью, т.е. F = S_j²/S_j-1² превосходит значение F, найденное по распределению Фишера, то приближение таким полиномом существено.

Пусть мы нашли коэффициенты полинома степени n. По этому полиному мы вычисляем значения y, находим отклонения измеренных значений y от вычисленных y_выч и вычисляем дисперсию этих отклонений S²_n.

Далее мы рассчитываем коэффициент полинома n+1 степени. Вычисляем новые значения y_выч , находим их отклонения измеренных значений y и дисперсию этих отклонений S²_n+1 .

Если полином этой степени дает хорошее приближение, то новая дисперсия будет намного меньше предыдущей. Если же новое слагаемое не оказало влияния, то дисперсия не изменится или даже возрастет, ибо число степеней свободы уменьшилось на единицу.

Для ограничения степени полинома вычисляют значение F_эмпир .Вычисленное значение сравнивают с критическим, найденным по числам степеней свободы ( ) и ( ) дисперсий при заданной вероятности β из распределения Фишера -Снедекора. Если F_эмпир значительно превосходит критическое значение, то данная степень хорошо описывает неслучайную составляющую. В противном случае это приближение неэффективно. Тогда при большом числе наблюдений следует поднимать степень полинома, при малой выборке пар наблюдений ограничиться полиномом более низкой степени. В любом случае, дисперсия не может быть меньше дисперсии измерений величины:

Дисперсии можно определять без вычисления разностей y-y _ср непосредственно по найденным значениям коэффициентов и частным полиномам:

,

(7.29)

..........................................

.

На практике ограничиваются построением полиномов 3 - 5 степени.

В случае нерегулярных поверхностей, а именно такие встречаем в топографии, описание ее плоского сечения полиномом высокой степени не дает удовлетворительного приближения.

В этих случаях возникают сцинтилляции: несуществующие реально "волны":в точках измерений отклонения кривой, построенной по полиному, от измеренных значений будут малыми, а при отсутствии избыточных измерений - равными нулю, н между этими точками кривая будет иметь ложные максимумы и минимумы. Особая сложность возникает тогда, когда функция многозначна. Например, множество горизонталей на карте идет, обрисовывая долины и скаты, слева-направо-вверх-налево-вниз. Это многозначная функция, так как при одном и том же значении х она имеет несколько значений у. Определить ее одним полиномом невозможно, так как произойдет усреднение нескольких значений у, соответствующих одному х. Если разделить ее на части, то особую сложность вызывает построение участков многозначной функции, идущих в общем направлении параллельно оси у. Поэтому, если известен тип зависимости, то лучше находить параметры соответствующей функции. Предпочтительнее использовать сочетания элементарных функций.

При графическом отображении профиля или лини горизонтали по регулярной цифровой модели или линии контура по цифровым данным, соответствующие им плоские кривые строят с помощью кусочно-непрерывных функций.

Функции эти суть полиномы невысокой степени, которые в точках соединения плавно переходят один в другой. Непрерывность обеспечивается равенством в общих точках значений полиномов, а плавность перехода - равенством их первых и вторых производных. Так как по такому принципу создаются лекала для кройки одежды, металлических листов и черчения, то такие функции назвали лекалами или по английски - сплайнами (spline).

Лекала могут быть получены свободным изгибом стальной пластинки вокруг ряда точек - штырей или же дополнительным растяжением ее концов с целью уменьшения прогибов. Соответственно различают построение обычных сплайнов и напряженных. В цифровой фотограмметрии штырям соответствуют вершины полилинии (например, точки горизонтали ).

Различают сплайны по степени используемого полинома, по накладываемым при их построении начальным условиям, по применению параметров.

Для интерполяции используют кусочно-полиномиальные функции (промышленный стандарт - параметрические функции С.Н.Бернштейна ( росс математ ) - Безье(P. de Casteljau. Courbes et surfaces a poles. Technical Report, A. Citroen, Paris, 1963 )) или сплайны (промышленный стандарт - неоднородные рациональные В-сплайны – NURBS: non-uniform, rational B-spline - неравномерный рациональный би-сплайн это геометрический примитив для описания кривых поверхностей).

Обобщение методов Безье и B-сплайнов в начале 70-х годов дало мощное универсальное средство геометрического моделирования криволинейных обводов - NURBS-технологию

Рациональные числа суть отношения целых чисел: ½, 2/17, 35/47, 1,2,3, 1/10 и т.п.

Рациональные функции суть отношения степенных полиномов с целыми степенями:

(5x+3x² +27x³² )/ (13x⁷ +3x +2x³ ); (5x+3x² +27x³² )/1=(5x+3x² +27x³² ).

Метод рациональных функций заключается в применении рациональных функций, например, отношений кубических полиномов

где в числителях и знаменателях стоят полиномы третьей степени: , которые связывают нормированные координатыϕ_N, λ_N, h_N точки местности с нормированными координатами x_N, y_N её изображения на снимке. Нормированные величины, получаемые из исходных значений с помощью линейного преобразования, по абсолютной величине не превосходят единицы, что повышает надёжность вычислений.

Коэффициенты, входящие в соотношения, обозначают общепринятой аббревиатурой RPC, в переводе: Rational Polynomial Coefficients и Rapid Positioning Capability; первый вариант чаще применяется к IKONOS [7], а второй для QuickBird и для стандарта NSIF, используемого НАТО для обмена образами.

Теника построения сплайна общего вида

?сплайнов

А ниже, что за текст?повторение или конспект?