7.2.3. Оценка нелинейной статистической связанности

Такая проверка может быть осуществлена двумя путями:

1. С помощью корреляционного отношения (при проверке линейной корреляции).

2. По критерию Фишера (при проверке общего случая корреляции). Рассмотрим их по-порядку.

7.2.3.1. Корреляционное отношение

По данным эксперимента мы можем вычислить дисперсию случайной величины Y, называемую общей,

,

где y_ср – среднее значение у.

Эта дисперсия обусловлена влиянием всех факторов, в том числе и исследуемого фактора X.

Получив прямую регрессии , мы находим отклонения ординат точек от этой прямой при каждом значении y_i. По этим отклонениям, оставшимся после исключения линейного влияния фактора X, вычисляем их дисперсию, называемую остаточной,

.

Разность дисперсий и показывает, на сколько исключение фактора X уменьшило общую дисперсию. Отношение меньшей дисперсии к большей / следует F-распределению Фишера-Снедекора.

Чтобы сравнивать с этим распределением, эту разность нормируют:

. (7.17)

Корень квадратный из этой разности называют корреляционным отношением η. Другое название – индекс корреляции γ.

Непосредственно влияние фактора показывает дисперсия уклонений ординат точек от общего среднего, называемая факторной, .

7.2.3.2. Свойства корреляционного отношения

1. Если между величинами существует функциональная связь, то η=0.

Это следует из того, что при функциональной связи влияние фактора Х единственное. Оно полностью убирается. Поэтому остаточная дисперсия равна нулю. Отсюда

2. Если фактор Х не оказывает никакого влияния на Н, т.е. связи нет, то остаточная дисперсия будет равна исходной =. Тогда корреляционное отношение равно нулю

3. Если фактор оказывает влияние, то 0≤η≤1.

4. Корреляционное отношение не превосходит модуля коэффициента корреляции

η≤|r|.

Стандарт определения корреляционного отношения находится как

??S_η2 (7.18)

7.2.3.3. Критерий линейности

Критерием линейности служит расхождение корреляционного отношения и коэффициента корреляции, а именно (η²-r²).

Если эта разность не превышает 0.1, то предположение о прямолинейной форме корреляции считается допустимым. Если (η²-r²)=k>0.1, то оценивают существенность различия между η и r.

Можно использовать такие способы.

Способ 1. Находят дисперсию разности, затем вычисляют нормированную разность

Если она равна 2 и менее, то различие несущественно, т.е. можно полагать, что связь линейная.

Способ 2. Вычисляется критерий z = 0.742k=(η²- r²), где η наименьшее из двух корреляционных отношений η_Y/x или η_X/Y , r - линейный коэффициент корреляции. Если z равна 2 и менее, то зависимость считается линейной.

7.2.4. Установление формы нелинейной корреляции распечатка92г.

Во многих процессах фотограмметрии наблюдается нелинейная статистическая связь между факторным и результативным признаком:

связь дисторсии с удалением точки от центра снимка;

связь высот точек местности с их плановым положением;

связь оптической плотности с экспозицией;

связь результатов дешифрирования с параметрами съемки и т.п.

Множеству значений факторного признака соответствует множество значений результативного, хотя и не однозначно. Области, где нет значений последнего, не рассматриваются, так как нет второго измерения из пары совокупных измерений*.

Искомую зависимость описывают аналитической функцией, т.е. такой функцией f(x) действительного переменного, которая представима суммой степенного ряда, расположенного по целым неотрицательным степеням в окрестностях каждой точки x₀ интервала [a,b], на котором она определена:

Широко используются степенные и тригонометрические полиномы различного типа, элементарные функции, их комбинации. Особо часто используют экспоненты. Примеры функций приведены на рис.7.5.

Рис.7.5. Примеры аналитических функций.

Для упрощения поиска зависимости проводят предварительное преобразование значений одного из признаков с помощью элементарных функций, приводящее ее к линейному или близкому к нему виду.

Примеры преобразований приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1. Примеры преобразований функций, приближающих к линейному виду

Если нужно найти единичную зависимость, то сначала строят график, на котором по оси X откладывают значения факторного признака, а по Y результативного. По положению точек графика оценивают вид искомой кривой. Учитываются и теоретические предположения о характере связи. Вначале можно взять несколько кривых. Определив их параметры, выбрать оптимальную (по минимуму параметров или по наилучшему приближению), применив некоторый критерий, например, Фишера.

Во множественном случае, например, при рисовке горизонталей, задача решается без графических построений с помощью кусочной подгонки кривыми второго порядка, ортогональными полигонами Чебышева, сплайн-функциями или какими-либо другими приемами.