7.1.3. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.

Выборочным коэффициентом корреляции называется величина:

r = [(xy)/n-x_срy_ср]/(_x_y) (7.3.1)

(м. б. еще дать через центральные моменты?)

Коэффициент корреляции есть частный случай теоретического корреляционного отношения, а именно, случай линейной связи между переменными X и Y. Поэтому коэффициент корреляции можно рассматривать как показатель тесноты связи только тогда, когда зависимость между X и Y линейна.

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от –1 до +1.

Если коэффициент корреляции положительный, то связь между переменными положительная. Это значит, что с ростом значений x увеличивается y.

Коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчета и единицы измерения, т. е. переменные x и y можно уменьшать или увеличивать в а раз, можно также вычитать или прибавлять к значениям переменных одно и то же число b. От этих операций значение коэффициента корреляции не изменится.

В целом коэффициент корреляции есть мера близости статистической связи между случайными величинами к линейной функциональной зависимости. Значение коэффициента корреляции показывает, насколько зависимость между случайными переменными близка к линейной функциональной.

7.1.4. Частный коэффициент корреляции.

Парциальный?

Во множественном регрессионном анализе взаимосвязь между случайными переменными усложняется. Парный (полный) коэффициент корреляции между i-й и j-й случайными переменными может отличаться от действительности из-за влияния связи каждой из них с третьими величинами. При изучении связи только между этими двумя величинами необходимо исключить влияние x_k, т. е. найти тесноту связи при фиксированном значении x_k. Эту зависимость можно выразить через парные коэффициенты корреляции следующим образом:

r_ij,k = (r_ij-r_ikr_jk)/[(1-r_ik²)(1-r_jk²)]^0.5 (7.4.1)

где r_ij, r_ik, r_jk – парные коэффициенты корреляции.

Коэффициент r_ij,k называется частным или условным коэффициентом корреляции величин (x_i, x_j) с исключенным влиянием x_k. Если исключено влияние только одной переменной, то коэффициент корреляции называется частным коэффициентом корреляции первого порядка.

При четырех переменных можно вычислить частные коэффициенты корреляции первого и второго порядка. Коэффициенты второго порядка получаются за два шага: сначала исключают влияние парных коэффициентов корреляции, а затем коэффициентов корреляции первого порядка.

Для частных коэффициентов корреляции высших порядков при большем количестве переменных соответственно увеличивается число шагов.

7.1.5. Совокупный коэффициент корреляции.

Теснота связи при множественной регрессии оценивается корреляционным отношением, которое при линейной связи называется множественным или совокупным коэффициентом корреляции и обозначается буквой R .

Коэффициент множественной корреляции есть мера зависимости между одной случайной переменной и множеством других. Коэффициент множественной корреляции выражает точность прогноза зависимой случайной переменной по линейному уравнению регрессии.