Лекции / Лекции (МП-2, Каратыгин) / 2 семестр 2005 / Лекция 12

Лекция №12.

Итерационный алгоритм.

Преобразуем функцию для напряжения на нелинейном элементе следующим образом. Мы не можем из уравнения в явном виде выразить напряжение, тогда приведем эту функцию к виду

,

где правая часть зависит от . Далее ищем решение уравнения по следующему алгоритму:

1. формируем функцию ;

2. выбираем начальную точку ;

3. вычисляем ;

4. вычисляем и т.д. до достижения необходимой степени точности.

Вопрос состоит в том, сходится ли этот алгоритм к реальному решению уравнения. Из математики известно следующее условие сходимости итерационного алгоритма:

.

С другой стороны, введенная функция имеет вид

.

Тогда условие сходимости алгоритма заключается в следующем:

,

т.е. . Если это условие не выполняется, строим функцию следующего вида:

,

для которой условие сходимости имеет вид:

, .

Если получается, что , то алгоритм не работает, нужно искать другую зависимость .

Недостатки алгоритма:

1. Работает только для одного нелинейного элемента;

2. Сходимость линейная.

Метод Ньютона-Рафсона.

При расчете нелинейных цепей этот метод реально используется на практике, поскольку у метода Н-Р сходимость квадратичная. Выберем точку , соответствующее значение функции . Построим уравнение касательной в этой точке, которая пересечет ось напряжений в точке . Тогда

.

Построим уравнение касательной к функции в точке , которая пересечет ось напряжений в точке и т.д. На м шаге получим:

.

Судя по графику (см. рис.) алгоритм достаточно быстро сходится к искомому решению, поэтому будем считать, что на м шаге требуемая степень точности достигнута и

,

тогда

.

Поскольку мы рассматриваем аналитические методы решения, вычисление производной функции тоже можно провести с помощью некоторого численного алгоритма. Разложим функцию в ряд Тейлора:

Сформируем выражение для производной:

Ошибка при данном способе вычисления производной будет определяться величиной . Изменим алгоритм подсчета производной:

,

получается знакочередующийся ряд. Вычтем почленно из уравнения уравнение :

.

Действительно, при таком определении производной ошибка пропорциональна , точность метода существенно выше.

Интерпретация метода Ньютона-Рафсона в терминах эквивалентных схем замещения.

Рассмотрим схему с одним нелинейным элементом (см. рисунок). Характеристика нелинейного элемента задана в виде:

.

Активный двухполюсник по методу эквивалентного генератора можно привести к виду или . Рассмотрим 2 случая:

1 случай: Нелинейный элемент нагружен на источник тока.

Поставим задачу не определить ток через нелинейный элемент, а построить эквивалентную схему замещения. По методу Н-Р сформируем функцию, ноль которой мы будем искать:

.

Тогда по методу Н-Р:

Приводим к общему знаменателю:

.

Фактически мы записали 1 закон Кирхгофа для шага, тогда, исходя из размерности, величина представляет собой идеальный источник тока, поскольку она не зависит от . С другой стороны, коэффициент перед должен иметь смысл проводимости.

Тогда, исходя из такой трактовки, легко построить эквивалентную схему замещения (см. рисунок). Нелинейный элемент нам удалось заменить на проводимость и источник тока:

.

Тогда алгоритм сводится к следующему. На первом шаге вычисляем эквивалентные параметры для данной схемы замещения. Исходя из полученных данных, высчитываем параметры эквивалентной схемы для следующего шага и т.д. Однако топология цепи (а значит и матрица инциденций) не меняется, поэтому проводим расчет цепи методом узловых потенциалов.

2 случай: Общий случай, который как правило и возникает при использовании метода ЭГ – нелинейный элемент нагружен на неидеальный источник ЭДС.

Введем функцию следующим образом:

.

Будем искать ноль функции . Тогда

.

По методу Н-Р, запишем:

Приводим к общему знаменателю:

Перепишем это выражения в следующем виде:

,

получили выражение точно такого же вида, как и в предыдущем случае. Эквивалентная схема замещения нелинейного элемента в общем случае изображена на рисунке.

Преимущества данного метода:

1. Сходимость квадратичная;

2. Можно показать, что метод применим для нескольких нелинейных элементов.

3. При расчете по методу узловых потенциалов, меняется только матрица параметров цепи, матрица инциденций остается постоянной.

При расчете нелинейных функций на переменном токе или при переходных процессах этот метод остается справедливым. Для реализации данного метода, например, на синусоидальном токе (см. рисунок), разбиваем характеристику на маленькие участки, на каждом из которых ток или напряжение остаются постоянным и проводим расчет по методу Ньютона-Рафсона для каждой ступени.

3